精品解析：云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

蒙自市2024－2025学年学业质量监测 八年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，分别取，的中点，记为点，．若，则该工件内槽宽的长为（ ） A. B. C. D. 3. 某“中学生暑假环保小组”随机收集了班里部分同学一周内使用环保方便袋的数量，得到了这组数据的方差，关于这组数据的描述，不正确的是（ ） A. 众数是2 B. 中位数是4 C. 样本容量是5 D. 平均数是3.2 4. 已知一个多边形的各个外角都是，则它的边数是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 5. 若点是一次函数图象上的点，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某校甲、乙、丙、丁4名男生近几次1000米体质测试中成绩的平均数与方差如右表所示．根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 学生 甲 乙 丙 丁 92 90 89 95 1.2 2.3 0.955 0.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 在中，，，的对边分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 10. 若点，是一次函数图象上的两点，则（ ） A. B. C. D. 11. 在菱形中，，，对角线，交于点，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 9 D. 18 12. 如图，已知一次函数的图象与直线交于点，交轴于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，，点是上的一点，连接，当，时，的长为（ ） A. 6 B. C. D. 10 14. 观察函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 当时，取得最大值0 C. 直线与该函数图象有3个交点 D. 当时，函数的最大值与最小值的差为 15. 我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（ ） A. B. 8 C. 20 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 函数中自变量的取值范围是______． 17. 分解因式：__________. 18. 在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为________． 19. 如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，若矩形的周长等于，大正方形面积等于72，则重叠部分的小正方形面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，在中，是对角线的中点，过点作直线分别交，于点，．证明：． 22. 走进书籍世界，享受阅读乐趣．某校5月份举办＂经典阅读月＂竞赛，七年级和八年级学生积极参与，现从七年级和八年级中各随机抽取100名学生的竞赛成绩，将数据分为5组：A．；B．；C．；D．；E．；对数据整理、分析得到如下得分情况统计表． 年级 平均数 中位数 七年级 82 83 八年级 79 八年级成绩统计表 七年级成绩统计表 组别 人数 A 20 B 35 C 27 D 10 E 8 其中，八年级C组前五名和B组后五名的成绩如下： 75，76，76，78，79，81，81，81，82，83． （1）________，________，成绩较好的是________年级； （2）已知七年级和八年级分别有学生1200人，1300人，80分及80分以上的学生可以获奖．若两个年级的学生全部参加竞赛，这两个年级一共大约有多少人获奖？ 23. 已知直线与轴，轴分别交于点，，交直线于点．求： （1）直线的解析式； （2）四边形的面积． 24. 在中，，为的中点，过点作．为上的一点，且，连接，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 某校准备去学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种栽培架，已知每个甲种栽培架的价格比乙种栽培架贵40元，且用25000元购进甲种栽培架的数量和用20000元购进乙种栽培架的数量相同． （1）求甲、乙两种栽培架的单价； （2）若学校计划购进这两种栽培架共60个，采购时要求乙种栽培架的数量不得少于30个，同时乙种栽培架的数量不多于甲种栽培架数量的2倍．设购进甲种栽培架个，购买甲、乙两种栽培架的总费用为元，试求出购买总费用与之间的函数关系式，并说明应该如何采购才能使费用最低，最低费用是多少？ 26. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后，所得的直线分别与轴，轴交于点A，B，与直线交于点．直线交轴于点，是的中点，连接． （1）求，的值； （2）是线段上的一动点，是关于轴的对称点，当在内部时（不含边界），求的取值范围． 27. 如图（1），在矩形中，，是的中点，过点作于点，的延长线交于点． （1）求的度数； （2）如图②，延长至点，使得，连接，，．证明：； （3）设，且，在（2）的条件下，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙自市2024－2025学年学业质量监测 八年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：D项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、 B、C选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 2. 如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，分别取，的中点，记为点，．若，则该工件内槽宽的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直接利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解∶∵点，为，的中点，， ∴， 故选∶C． 3. 某“中学生暑假环保小组”随机收集了班里部分同学一周内使用环保方便袋的数量，得到了这组数据的方差，关于这组数据的描述，不正确的是（ ） A. 众数是2 B. 中位数是4 C. 样本容量是5 D. 平均数是3.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，理解以上知识点是解题的关键． 根据方差公式中的各个数据点确定原始数据，进而计算众数、中位数、样本容量和平均数，逐一验证． 【详解】解：A：数据中出现的次数最多，众数为，正确，故该选项不合题意； B：将数据从小到大排列为、、、、，中位数为，错误，故该选项符合题意； C：由方差公式中的各项可知，数据为、、、、，共个数据，样本容量是，正确，故该选项不合题意； D：由方差公式知，平均数为，正确，故该选项不合题意． 故选：B． 4. 已知一个多边形的各个外角都是，则它的边数是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是是解题关键．利用多边形外角和定理直接求解． 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，已知每个外角为， 则边数等于外角和除以每个外角的度数，即：边数， 因此，该多边形的边数为12， 故选：D． 5. 若点是一次函数图象上的点，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，先利用点A坐标求出一次函数的表达式，再验证各选项是否满足函数表达式． 【详解】解：将点代入函数，得， ， 因此，函数表达式为， A、代入，计算得，故在此函数图象上； B、代入，计算得，故不在此函数图象上； C、代入，计算得，故不在此函数图象上； D、代入，计算得，故不在此函数图象上； 故选：A． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ， 当即时， 原式=， 故选：C． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查考查幂运算、二次根式化简及多项式乘法，逐一分析各选项的运算是否正确，即可求解． 【详解】解：选项A：， 计算左边：，因此左边为，无法合并为，故A错误． 选项B：， 根号内计算：，．平方根结果非负，而右边为，符号错误，故B错误． 选项C：， 化简根式：，，左边为，与右边相等，故C正确． 选项D：， 展开左边：，与右边不符，故D错误． 故选C． 8. 某校甲、乙、丙、丁4名男生近几次1000米体质测试中成绩的平均数与方差如右表所示．根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 学生 甲 乙 丙 丁 92 90 89 95 1.2 2.3 0.955 0.5 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，选择成绩好且稳定的选手需同时满足平均数高、方差小两个条件．比较四人的平均数，丁的平均数最大；方差方面，丁的方差最小，因此应选择丁． 【详解】解：从平均数角度看：∵， ∴丁的成绩好， 从方差角度看∶∵， ∴丁的成绩最稳定 综上：成绩好且发挥稳定的运动员是丁，因此应选择丁． 故选：D． 9. 在中，，，的对边分别为a，b，c，满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握定义，以及三角形内角和定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴不满足三角形的三边关系， 故D符合题意； 故选：D． 10. 若点，是一次函数图象上的两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∵，是一次函数图象上的两点，且， ∴； 故选A． 11. 在菱形中，，，对角线，交于点，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，根据菱形的性质得出，，，，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：B． 12. 如图，已知一次函数的图象与直线交于点，交轴于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，将不等式转化为函数图象的位置是解题关键．观察函数图象，写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象下方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：， 故选：A． 13. 如图，在中，，，点是上的一点，连接，当，时，的长为（ ） A. 6 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含的直角三角形的性质，在中，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，在中，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选∶C． 14. 观察函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 当时，取得最大值0 C. 直线与该函数图象有3个交点 D. 当时，函数的最大值与最小值的差为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的性质，正确读懂函数图象是解题的关键．根据函数图象即可判断选项A、B、D；然后同一直角坐标系中画出的图象即可判断选项C． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小，故选项A错误； 由函数图象可知，该函数没有最大值，故选项B错误； 在坐标系中画出的图象，如下∶ 由函数图像可知， 直线与该函数图象有3个交点，故选项C正确； 当时， ； 当时， ； 当时，； 当时， ； 由函数图像可知时，函数的最小值为，最大值为0， ∴时，函数的最大值与最小值的差为，故选项D错误， 故选：C． 15. 我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（ ） A. B. 8 C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题． 17. 分解因式：__________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】3x3y﹣12xy =3xy(x2﹣4) =3xy(x+2)(x﹣2)． 故答案为：3xy(x+2)(x﹣2)． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 18. 在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据点，关于轴对称，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 19. 如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，若矩形的周长等于，大正方形面积等于72，则重叠部分的小正方形面积为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设正方形和正方形的边长分别为x，y，根据题意，得大正方形的边长为，，，结合题意，得即，解答即可． 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为x，y，根据题意，得大正方形的边长为，，， 矩形的周长等于， 得即， 故重叠小正方形的边长为， 故面积为 ， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法，绝对值的化简，负整数指数幂，解答即可． 本题考查了二次根式的乘除法，绝对值的化简，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 21. 如图，在中，是对角线的中点，过点作直线分别交，于点，．证明：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形，是对角线的中点， ∴, ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 【详解】略 22. 走进书籍世界，享受阅读乐趣．某校5月份举办＂经典阅读月＂竞赛，七年级和八年级学生积极参与，现从七年级和八年级中各随机抽取100名学生的竞赛成绩，将数据分为5组：A．；B．；C．；D．；E．；对数据整理、分析得到如下得分情况统计表． 年级 平均数 中位数 七年级 82 83 八年级 79 八年级成绩统计表 七年级成绩统计表 组别 人数 A 20 B 35 C 27 D 10 E 8 其中，八年级C组前五名和B组后五名的成绩如下： 75，76，76，78，79，81，81，81，82，83． （1）________，________，成绩较好的是________年级； （2）已知七年级和八年级分别有学生1200人，1300人，80分及80分以上的学生可以获奖．若两个年级的学生全部参加竞赛，这两个年级一共大约有多少人获奖？ 【答案】（1）144,80,七年级更好些 （2）1310人 【解析】 【分析】根据圆心角计算公式，中位数的定义解答即可． 利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，圆心角计算，用样本估计总体，中位数，会计算圆心角，掌握样本估计总体，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，中位数b是第50个数据，第51个数据的平均数， ∵A组有：(人)，C组有：(人)， B组有：(人)， 故第50个数据是79，第51个数据是81， 故， , 故； 比较平均数，中位数，七年级的都好于八年级， 故答案为：144,80,七年级更好些． 【小问2详解】 解：根据题意，得（人）， 答：两个年级的学生全部参加竞赛，这两个年级一共大约有1310人获奖． 23. 已知直线与轴，轴分别交于点，，交直线于点．求： （1）直线的解析式； （2）四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，求直线的解析式即可； （2）求得交点M的坐标，利用解答即可； 本题考查了待定系数法求解析式，方程组求交点，分割法求面积，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 【小问1详解】 解：把点，分别代入直线， 得 解得， 故直线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得 故； 与x轴的交点为C，则， 根据题意，得 ． 24. 在中，，为的中点，过点作．为上的一点，且，连接，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，为的中点，得到，结合，得到，证明四边形是平行四边形即可； （2）先证明四边形是菱形．根据勾股定理，结合菱形的面积是：，解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∴ ∵，， ∴， ∴菱形的面积是：． 25. 某校准备去学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种栽培架，已知每个甲种栽培架的价格比乙种栽培架贵40元，且用25000元购进甲种栽培架的数量和用20000元购进乙种栽培架的数量相同． （1）求甲、乙两种栽培架的单价； （2）若学校计划购进这两种栽培架共60个，采购时要求乙种栽培架的数量不得少于30个，同时乙种栽培架的数量不多于甲种栽培架数量的2倍．设购进甲种栽培架个，购买甲、乙两种栽培架的总费用为元，试求出购买总费用与之间的函数关系式，并说明应该如何采购才能使费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1）甲种栽培架的价格为200元，则乙种栽培架的价格为160元 （2）()，甲种栽培架购买20个，购买乙种栽培架40个，费用最低，最低费用10400元 【解析】 【分析】（1）设甲种栽培架的价格为x元，则乙种栽培架的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲种栽培架购买了个，则购买乙种栽培架数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种栽培架的价格为x元，则乙种栽培架的价格为元，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根。 此时， 答：甲种栽培架的价格为200元，则乙种栽培架的价格为160元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲种栽培架购买了个，则购买乙种栽培架数量为个，且， 解得， 根据题意，得， 由，得w随a的增大而增大， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故当时，w取得最小值，且最小费用为10400元． 故甲种栽培架购买20个，购买乙种栽培架40个，费用最低，最低费用10400元． 26. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后，所得的直线分别与轴，轴交于点A，B，与直线交于点．直线交轴于点，是的中点，连接． （1）求，的值； （2）是线段上的一动点，是关于轴的对称点，当在内部时（不含边界），求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数解析式的确定、对称点的性质、中点坐标公式以及直线交点的求解．解题的关键是熟练运用一次函数的相关知识，结合对称点和三角形内部点的特征，通过联立直线方程求出交点，进而确定变量的取值范围． （1）利用点C在直线上，代入求出a的值；根据直线平移规律得到解析式，再将点C代入，求出b的值． （2）确定与坐标轴交点的坐标，得到M的坐标范围；求出M关于y轴的对称点的坐标；确定中点E的坐标，求出直线和直线的解析式，联立求出交点F；根据在内部的条件，得出m的取值范围． 【小问1详解】 解析：∵点在直线上， ∴，即． ∵直线向上平移3个单位长度后得到直线， 根据平移规律“上加下减”，的解析式为． 又因为过点， 将其代入的解析式，得， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，所以的解析式为． 令，则，解得 ∴； 令，则， ∴； ∵是M关于y轴的对称点， ∴． 已知，E是的中点，，根据中点坐标公式，E的坐标为， 设直线的解析式为， ∵， 代入上式得， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，作点A关于y轴的对称点，则，连接，并与交于点F． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得，， ∴，则直线的方程为， 联立直线与直线的方程得到方程组：， 解得，则点F的坐标为， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ∵点，， ∴得到点横坐标的范围是， ∴． 27. 如图（1），在矩形中，，是的中点，过点作于点，的延长线交于点． （1）求的度数； （2）如图②，延长至点，使得，连接，，．证明：； （3）设，且，在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接，交于点， ∵矩形， ∴是，的中点， ∵线段的中点是唯一的， ∴M与重合， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴． （3）5 【解析】 【分析】（1）根据斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答即可； （2）连接，交于点，根据矩形，得是，的中点，根据线段的中点是唯一的，得M与重合，利用三角形中位线定理证明即可． （3）先证明，得到，，， ，代入计算即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵矩形中， ∴ ∵是的中点， ∴, ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据（2）得是中位线， ∴， ∵， ∴， 根据（1）得是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， ∵， ∴ 解得， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $