2026届高三数学一轮复习优生加练9：函数的新定义问题

第9练　函数的新定义问题 (分值：43分) 1.新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝. 2.新定义问题的方法和技巧 (1)可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解得较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会新信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用课本中的概念. 一、单项选择题(每小题5分,共15分) 1.函数D(x)=被称为狄利克雷函数,则下列结论成立的是(　　) A.若D(x0)=1,则D(x0+2)=0 B.命题∃x∈R,D(x+)=1为假命题 C.若D(x1)-D(x2)=0,则x1-x2∈Q D.函数D(x)的值域为{0,1} 答案　D 解析　若D(x0)=1,则x0∈Q,则x0+2∈Q,所以D(x0+2)=1,所以A错误； 当x=1-时,x+=1,则D(x+)=D(1)=1,∃x∈R,D(x+)=1为真命题,所以B错误； 若x1=x2=则D(x1)-D(x2)=0-0=0,但x1-x2∉Q,所以C错误； 由于D(x)=所以函数D(x)的值域为{0,1},所以D正确. 2.对于函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=-f(-x0),则称点(x0,f(x0))与点(-x0,f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”,若函数f(x)=的图象存在“隐对称点”,则实数k的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[2,6] C.[6,+∞) D.(-∞,2]∪[6,+∞) 答案　A 解析　设g(x)为奇函数,且当x>0时,g(x)=kx+1, 则当x<0时,g(x)=kx-1, 则原问题转化为关于x的方程x2+4x=kx-1在(-∞,0)上有解,求k的取值范围问题. 由关于x的方程x2-(k-4)x+1=0在(-∞,0)上有解得 ⇒ ⇒ k≤2. 3.一般地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb](k>0),则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论不正确的是(　　) A.函数f(x)=x存在“跟随区间” B.若[0,b]为f(x)=x2的“跟随区间”,则b=1 C.函数f(x)=1+存在“跟随区间” D.二次函数f(x)=-x2+x存在“2倍跟随区间” 答案　C 解析　对于A,因为f(x)=x在R上单调递增,所以对于x∈[a,b],其值域为[a,b], 由“跟随区间”的定义可知,函数f(x)=x存在无数个“跟随区间”,故A正确； 对于B,若[0,b]为f(x)=x2的“跟随区间”,且f(x)=x2的对称轴为直线x=0, 所以b2=b,解得b=1或b=0(舍),故B正确； 对于C,假设f(x)=1+存在“跟随区间”[a,b], 因为f(x)=1+在区间(-∞,0),(0,+∞)上均单调递减, 则有解得a=b=又a≠b, 故f(x)=1+不存在“跟随区间”,故C错误； 对于D,若函数f(x)=-x2+x存在“2倍跟随区间”, 设定义域为[a,b],值域为[2a,2b], 当a<b≤1时,函数f(x)在定义域上单调递增,则 则a,b是方程-x2+x=2x的两个不相等的实数根,解得x=0或x=-2 , 故存在定义域为[-2,0] 使得值域为[-4,0],D正确. 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 4.(2024·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　) A.y= B.y= C.y=1-x2 D.y= 答案　BD 解析　由“[a,b]交汇函数”定义可知,“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0,1]. y=的定义域A=[0,+∞),值域B=[0,+∞),则A∩B=[0,+∞),A错误； y=的定义域A=(-∞,1],值域B=[0,+∞),则A∩B=[0,1],B正确； y=1-x2的定义域A=R,值域B=(-∞,1],则A∩B=(-∞,1],C错误； y=的定义域A=[-1,1],值域B=[0,1],则A∩B=[0,1],D正确. 5.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2.设f(x)=x-[x],则下列结论正确的有(　　) A.f(-1.1)=0.9 B.函数f(x)的图象关于原点对称 C.f(x+1)=f(x)+1 D.函数f(x)的值域为[0,1) 答案　AD 解析　对于A,因为f(x)=x-[x], 所以f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9,故A选项正确； 对于B,因为f(0.5)=0.5-[0.5]=0.5-0=0.5,f(-0.5)=-0.5-[-0.5]=-0.5-(-1)=0.5, 所以f(0.5)+f(-0.5)=1≠0,即函数f(x)的图象不关于原点对称,故B选项错误； 对于C,因为∀x∈R,∃k∈Z,使得k≤x<k+1,此时有k+1≤x+1<k+2, 所以f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-(k+1)=x-k,f(x)=x-[x]=x-k,故C选项错误； 对于D,由C选项分析可知∀x∈R,总有f(x+1)=f(x),即f(x)是周期为1的周期函数, 不妨设0≤x<1,则此时有0≤f(x)=x-[x]=x-0=x<1,因此函数f(x)的值域为[0,1),故D选项正确. 6.已知函数y=f(x)的定义域为D,区间I⊆D,若存在非零常数t,使得对任意x∈I,x+t∈D,都有f(x+t)<f(x),则称函数f(x)是区间I上的“t-衰减函数”.下列说法正确的有(　　) A.函数f(x)=是(-2,-1)上的“1-衰减函数” B.若函数f(x)=x2是(-2,-1)上的“t-衰减函数”,则t的最大值为1 C.已知函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x-a|-a(a>0),若f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,则a的最大值为 D.已知函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=|x-a|-a(a>0),若f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,则a的最小值为 答案　ACD 解析　选项A,f(x)=的定义域是{x|x≠0},f(x+1)=当x∈(-2,-1)时,x+1∈(-1,0), -=>0,即>满足f(x+1)<f(x),A正确； 选项B,f(x)=x2是(-2,-1)上的“t-衰减函数”,f(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 若x∈(-2,-1),则x+t∈(-2+t,-1+t), f(x+t)<f(x),即(x+t)2<x2,2tx+t2<0, 当t>0时,t<-2x恒成立,而-2x∈(2,4),所以t≤2,即t的最大值是2,B错误； 选项C,f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=|x-a|-a(a>0),作出y=f(x)的大致图象,如图, 把它向左平移1个单位长度得g(x)=f(x+1)的图象, f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,则在区间(-2,-1)上g(x)的图象在f(x)图象的下方,点(-1,0)在点(-2a,0)的左侧或与点(-2a,0)重合, 因此-2a≥-1,解得a≤a的最大值是C正确； 选项D,函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=|x-a|-a(a>0), 作出y=f(x)的大致图象,如图, 把它向左平移1个单位长度得h(x)=f(x+1)的图象, f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,则在区间(-2,-1)上h(x)的图象在f(x)图象的下方, 点(-1,0)不能在点(-2a,0)的左侧, 图中A点所在f(x)上的表达式为y=x+2a,在h(x)上的表达式为y=-x-1, 由得A点横坐标不大于-2, 因此有解得a≥即a的最小值是D正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.我们用||x||表示实数x到离它最近的整数的距离,例如||-1||=0==则||x||的最大值是　　　　；对于函数f(x)=若满足f(x)=f(2x),则f(x)有　　　　种可能的值.  答案　　12 解析　由定义可知||x||≤故||x||的最大值为. 设x2=n+α,n∈N,α∈[0,1),则f(x)=||x2||=||α||,f=||12(n+α)||=||12α||, 所以f(x)=f(2x)⇔||α||=||12α||,也就是α和12α的小数部分要么相同,要么和为1. 当α和12α的小数部分相同时,则12α-α=k,可得α=k∈N且k≤10, 所以f(x)==k1∈{0,1,2,…,5},有6种可能的值； 当α和12α的小数部分和为1时,则12α+α=l,可得α=l∈N*且l≤12, 所以f(x)==l1∈{1,2,…,6},有6种可能的值. 综上所述,f(x)有12种可能的值. 8.设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意的x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2 026型增函数”,则实数a的取值范围是　　　　　.  答案　 解析　由已知f(x)是定义在R上的奇函数, 当x>0时,f(x)=|x-a|-2a, 当x<0时,f(x)=-f(-x)=-|-x-a|+2a=-|x+a|+2a, 则f(x)= 由f(x)为R上的“2 026型增函数”, 则f(x+2 026)>f(x), 当x>0时,即|2 026+x-a|-2a>|x-a|-2a,即|x-(a-2 026)|>|x-a|, 根据绝对值的几何意义可知a+a-2 026<0,解得a<1 013； 当x=0时,|2 026-a|-2a>0,可知当a≤0时恒成立,当a>0时,可得0<a<即a<； 当x<0时, ①当x+2 026<0,即x<-2 026时,f(x+2 026)>f(x),即-|x+2 026+a|+2a>-|x+a|+2a,化简可得|x+2 026+a|<|x+a|, 即-2 026-a-a>2×(-2 026),即a<1 013； ②当x+2 026=0,即x=-2 026时,0>-|-2 026+a|+2a,可知当a≤0时恒成立,当a>0时,可得0<a<即a<； ③当x+2 026>0,即0>x>-2 026时,f(x+2 026)>f(x),即|x+2 026-a|-2a>-|x+a|+2a,即|x+2 026-a|+|x+a|>4a, 可知当a≤0时恒成立, 当a>0时,|x+2 026-a|+|x+a|≥|2 026-2a|,即|2 026-2a|>4a,解得0<a<即a<. 综上所述,若f(x)为R上的“2 026型增函数”, 则a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9练　函数的新定义问题 1.新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝. 2.新定义问题的方法和技巧 (1)可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解得较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会新信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用课本中的概念. 一、单项选择题(每小题5分,共15分) 1.函数D(x)=被称为狄利克雷函数,则下列结论成立的是(　　) A.若D(x0)=1,则D(x0+2)=0 B.命题∃x∈R,D(x+)=1为假命题 C.若D(x1)-D(x2)=0,则x1-x2∈Q D.函数D(x)的值域为{0,1} 2.对于函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=-f(-x0),则称点(x0,f(x0))与点(-x0,f(-x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”,若函数f(x)=的图象存在“隐对称点”,则实数k的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[2,6] C.[6,+∞) D.(-∞,2]∪[6,+∞) 3.一般地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb](k>0),则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论不正确的是(　　) A.函数f(x)=x存在“跟随区间” B.若[0,b]为f(x)=x2的“跟随区间”,则b=1 C.函数f(x)=1+存在“跟随区间” D.二次函数f(x)=-x2+x存在“2倍跟随区间” 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 4.(2024·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　) A.y= B.y= C.y=1-x2 D.y= 5.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2.设f(x)=x-[x],则下列结论正确的有(　　) A.f(-1.1)=0.9 B.函数f(x)的图象关于原点对称 C.f(x+1)=f(x)+1 D.函数f(x)的值域为[0,1) 6.已知函数y=f(x)的定义域为D,区间I⊆D,若存在非零常数t,使得对任意x∈I,x+t∈D,都有f(x+t)<f(x),则称函数f(x)是区间I上的“t-衰减函数”.下列说法正确的有(　　) A.函数f(x)=是(-2,-1)上的“1-衰减函数” B.若函数f(x)=x2是(-2,-1)上的“t-衰减函数”,则t的最大值为1 C.已知函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x-a|-a(a>0),若f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,则a的最大值为 D.已知函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=|x-a|-a(a>0),若f(x)是(-2,-1)上的“1-衰减函数”,则a的最小值为 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.我们用||x||表示实数x到离它最近的整数的距离,例如||-1||=0==则||x||的最大值是　　　　；对于函数f(x)=若满足f(x)=f(2x),则f(x)有　　　　种可能的值.  8.设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意的x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2 026型增函数”,则实数a的取值范围是　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$