2026届高三数学一轮复习优生加练1：集合中的新定义问题

第1练　集合中的新定义问题 解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法；归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题. 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 1.若数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P：对任意的i,j (1≤i<j≤n),aiaj与中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则(　　) A.{1,3,4}为“权集” B.{1,2,3,6}为“权集” C.“权集”中元素个数一定是有限个 D.“权集”中一定有1 2.设集合I={1,3,5,7},若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数,min(A)表示集合A中最小的元素),称集合A为I的一个“好子集”,则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 3.(2025·成都模拟)定义：如果集合U中存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空真子集A1,A2,…,Ak(k∈N*),且A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称子集族{A1,A2,…,Ak}构成集合U的一个k划分.已知集合I={x∈N|x2-6x+5<0},则集合I的所有划分的个数为(　　) A.3 B.4 C.14 D.16 4.(2025·上海模拟)若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则记Δ(X)=M-m.下列命题中正确的是(　　) A.已知X={-1,1},Y={0,b},且Δ(X)=Δ(Y),则b=2 B.已知X={x|f(x)≥g(x),x∈[-1,1]},若Δ(X)=2,则对任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥g(x) C.已知X=[a,a+2],Y={y|y=x2,x∈X},则存在实数a,使得Δ(Y)<1 D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得Δ(X∪Y)≤3 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 5.设A为非空实数集,若对任意x,y∈A,都有x+y∈A,x-y∈A,且xy∈A,则称A为封闭集.下列叙述中,正确的为(　　) A.集合A={-2,-1,0,1,2}为封闭集 B.集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集 C.封闭集一定是无限集 D.若A为封闭集,则一定有0∈A 6.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,例如A={a,b,c},则card(A)=3.已知U是全集,A,B是U的两个非空真子集,card(U)=24.则下列说法正确的是(　　) A.若card(A)=18,则card(∁UA)=6 B.若card(B)=18,card(A∩B)=8,则card((∁UA)∩B)=10 C.若card(A)=12,card(B)=16,card(A∪B)=20,则card((∁UA)∩(∁UB))=8 D.若=则= 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.设集合U={1,2,3},对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多,其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,依次类推.若将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第6位的子集是　　　　　　.  8.(2024·驻马店模拟)已知集合M={1,2,3,4,5},A⊆M,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”,且规定：当集合A只有一个元素时,其累积值即为该元素的数值,空集的累积值为0,设集合A的累积值为S. (1)若S=3,则这样的集合A共有　　　　个；  (2)若S为偶数,则这样的集合A共有　　　　个.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1　集合、不等式 第1练　集合中的新定义问题 (分值：42分) 解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法；归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题. 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 1.若数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P：对任意的i,j (1≤i<j≤n),aiaj与中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则(　　) A.{1,3,4}为“权集” B.{1,2,3,6}为“权集” C.“权集”中元素个数一定是有限个 D.“权集”中一定有1 答案　B 解析　对于A,因为3×4与均不属于数集{1,3,4},所以A错误； 对于B,因为1×2,1×3,1×6,2×3都属于数集{1,2,3,6},所以B正确； 对于C,举例A={x|x=2n,n∈N*},由“权集”的定义易知其为“权集”,所以C错误； 对于D,举例{2,3,6},因为2×3都属于数集{2,3,6},则其为“权集”, 所以“权集”中不一定有1,所以D错误. 2.设集合I={1,3,5,7},若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数,min(A)表示集合A中最小的元素),称集合A为I的一个“好子集”,则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　当|A|=1时,即集合A中元素的个数为1时,A的可能情况为{1},{3},{5},{7}； 当|A|=2时,即集合A中元素的个数为2时,A的可能情况为{3,5},{3,7},{5,7}； 当|A|=3时,即集合A中元素的个数为3时,A的可能情况为{3,5,7}, 综上所述,I的所有“好子集”的个数为8. 3.(2025·成都模拟)定义：如果集合U中存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空真子集A1,A2,…,Ak(k∈N*),且A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称子集族{A1,A2,…,Ak}构成集合U的一个k划分.已知集合I={x∈N|x2-6x+5<0},则集合I的所有划分的个数为(　　) A.3 B.4 C.14 D.16 答案　B 解析　依题意,I={x∈N|x2-6x+5<0}={x∈N|1<x<5}={2,3,4}, I的2划分为{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}},共3个, I的3划分为{{2},{3},{4}},共1个, 故集合I的所有划分的个数为4. 4.(2025·上海模拟)若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则记Δ(X)=M-m.下列命题中正确的是(　　) A.已知X={-1,1},Y={0,b},且Δ(X)=Δ(Y),则b=2 B.已知X={x|f(x)≥g(x),x∈[-1,1]},若Δ(X)=2,则对任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥g(x) C.已知X=[a,a+2],Y={y|y=x2,x∈X},则存在实数a,使得Δ(Y)<1 D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得Δ(X∪Y)≤3 答案　D 解析　A选项,由X={-1,1},Y={0,b},可得Δ(X)=2,Δ(Y)=|b|, 因为Δ(X)=Δ(Y),所以|b|=2,b=±2,故A错误； B选项,由Δ(X)=2知,-1∈X且1∈X, 则f(1)≥g(1)且f(-1)≥g(-1), 但是f(0)≥g(0)不一定成立,例如f(x)=x2-1,g(x)=0,故B错误； C选项,由X=[a,a+2],Y={y|y=x2,x∈X}, 当a+2≤0,即a≤-2时,Δ(Y)=a2-(a+2)2=-4a-4≥4； 当-2<a≤-1时,可得Δ(Y)=a2≥1； 当-1<a<0时,可得Δ(Y)=(a+2)2>1； 当a≥0时,可得Δ(Y)=(a+2)2-a2=4a+4≥4, 所以不存在实数a,使得Δ(Y)<1,故C错误； D选项,由X=[a,a+2],Y=[b,b+3],取b=a, 可得Δ(X∪Y)=3,对任意实数a,总存在实数b使之成立,故D正确. 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 5.设A为非空实数集,若对任意x,y∈A,都有x+y∈A,x-y∈A,且xy∈A,则称A为封闭集.下列叙述中,正确的为(　　) A.集合A={-2,-1,0,1,2}为封闭集 B.集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集 C.封闭集一定是无限集 D.若A为封闭集,则一定有0∈A 答案　BD 解析　对于A,在集合A={-2,-1,0,1,2}中, -2-2=-4不在集合A中,∴集合A不是封闭集,故A错误； 对于B,集合A={n|n=2k,k∈Z},设x,y∈A,则x=2k1,y=2k2,k1,k2∈Z,∴x+y=2(k1+k2)∈A,x-y=2(k1-k2)∈A,xy=4k1k2∈A,∴集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集,故B正确； 对于C,封闭集不一定是无限集,如：{0}为封闭集,故C错误； 对于D,若A为封闭集,则取x=y,得x-y=0∈A,故D正确. 6.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,例如A={a,b,c},则card(A)=3.已知U是全集,A,B是U的两个非空真子集,card(U)=24.则下列说法正确的是(　　) A.若card(A)=18,则card(∁UA)=6 B.若card(B)=18,card(A∩B)=8,则card((∁UA)∩B)=10 C.若card(A)=12,card(B)=16,card(A∪B)=20,则card((∁UA)∩(∁UB))=8 D.若=则= 答案　ABD 解析　A选项,card(U)=24,card(A)=18,所以card(∁UA)=24-18=6,所以A选项正确； B选项,card(U)=24,card(B)=18,card(A∩B)=8, 则card((∁UA)∩B)=18-8=10,所以B选项正确； C选项,card(A∪B)=20,card((∁UA)∩(∁UB))=card(∁U(A∪B))=24-20=4,所以C选项错误； D选项,若= 则=1-=1- ==所以D选项正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.设集合U={1,2,3},对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多,其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,依次类推.若将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第6位的子集是　　　　　　.  答案　{1,3} 解析　集合U={1,2,3},将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列, 结果为∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, 所以将集合U的全部子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第6位的子集是{1,3}. 8.(2024·驻马店模拟)已知集合M={1,2,3,4,5},A⊆M,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”,且规定：当集合A只有一个元素时,其累积值即为该元素的数值,空集的累积值为0,设集合A的累积值为S. (1)若S=3,则这样的集合A共有　　　　个；  (2)若S为偶数,则这样的集合A共有　　　　个.  答案　(1)2　(2)25 解析　(1)根据题意,M={1,2,3,4,5},A⊆M,结合“累积值”规定可知, 当S=3时,集合A可以为{3}或{1,3},共2个. (2)由题意知M={1,2,3,4,5},A⊆M,则集合A共有25=32(个). 当S为奇数时,共有S=1,3,5,15四种情况, 当S=1时,A={1}； 当S=3时,A={3}或{1,3}； 当S=5时,A={5}或{1,5}； 当S=15时,A={3,5}或{1,3,5}, 故当S为偶数时,集合A共有32-7=25(个). 学科网（北京）股份有限公司 $$