第一章 有理数（复习讲义）数学冀教版2024七年级上册

第一章 有理数（复习讲义） ①掌握正数与负数的概念，学会有理数的概念和分类； ②理解并掌握数轴、相反数、绝对值等相关概念，学会用数形结合的方法解决问题； ③熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，并能在混合运算中选择合适的运算律简便运算； ④能利用有理数的四则运算法则解决简单的生活实际问题； 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，，-2，-（+1）等. 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 有理数 有理数分类： 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 题型一 正数和负数的相关概念 【例1】下列语句正确的个数是（ ） ①不带“-”号的数都是正数；②如果a是正数，那么一定是负数；③一个有理数不是正数就是负数；④一个整数不是正整数就是负整数；⑤非正数就是负数 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（    ）    A． B． C．10 D．20 【变式1-2】负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果商店收入400元记作+400元，那么商店支出300元，可记作 元． 【变式1-3】中秋节前，月饼销量大幅度增加，某月饼加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000盒月饼，由于各种原因，实际每天的产量与原计划相比有出入，下表是某一周的生产情况（超过计划产量的部分记作正数，不足计划产量的部分记作负数，单位：盒）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知星期四实际生产______盒月饼，星期______生产了2200盒月饼； (2)求该月饼加工厂这一周实际生产月饼多少盒？ (3)已知该月饼加工厂实行计件工资制，每生产一盒月饼可获得5元．若按天计算，超额完成任务，超出部分每盒再加3元；若未完成任务，不足部分每盒扣2元，那么该月饼加工厂这一周的工资总额是多少元？ 题型二 有理数的概念与分类 【例2】在，5，，，，中，有理数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】在，2020，，0，，，，中，正整数有个，负分数有个，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】下列各数：4，，，，0，中，非负数有 ；整数有 ；分数有 ． 【变式2-3】如图，已知圈A表示整数，圈B表示正数，圈C表示分数． (1)圈D表示 数，圈 E表示 数． (2)给出下列各数：15，，，0，，1，，，，请将它们填入图中相应的圈中去． 题型三 数轴 【例3】琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 【变式3-1】图中所画的数轴，正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，4，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距1，则点表示的数是 ． 【变式3-3】将下列各数在数轴上表示出来：，，，，，并按从小到大的顺序将它们用“”连接起来． 题型四 数轴上点的运动 【例4】点、、在数轴上，且点分别到点、的距离相等．点沿着数轴从数字处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点沿着数轴从数字处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒个单位长度的速度向左匀速运动 【变式4-1】如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【变式4-2】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【变式4-3】【预备知识】 如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则． 【实际问题】 如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts． （1）M，N两点之间的距离______； 【综合运用】 （2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______； （3）若甲、乙都向左运动． ①当t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？ 题型五 相反数 【例5】下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和2 D．和 【变式5-1】如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ． 【变式5-2】计算的结果为 ． 【变式5-3】分别写出下列各数的相反数：，，0，，． 题型六 绝对值及其性质 【例6】如果，那么（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【变式6-2】已知实数a，b满足则 ． 【变式6-3】已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数． (1) ， ． (2)已知，求． 题型七 绝对值的化简问题 【例7】已知数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-1】已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【变式7-2】已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【变式7-3】有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1)________，________，________． (2)化简：． 题型八 有理数的运算 【例8】计算下列各题． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式8-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-2】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九 有理数的简便计算 【例9】下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 【变式9-1】脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式9-2】用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式9-3】阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 题型十 有理数的规律计算 【例10】规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【变式10-1】探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【变式10-2】根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，如：，，，．请你根据以上规律解答下列问题： (1)写出下列各式去掉绝对值符号后的形式：（不需要计算出结果）________，________； (2)计算：； (3)计算：． 【变式10-3】观察下列各式： … (1)猜想______． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ①； ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是______． 题型十一 有理数的实际应用 【例11】某种型号汽车油箱容量为56升，每行驶100千米耗油8升，油箱内剩油量随着行驶路程的变化而变化． (1)用表格表示汽车从出发地行驶100 千米、200 千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程(千米) 100 200 300 400 油箱内剩油量(升) 　　　 40 24 (2)这辆汽车行驶360千米时剩油多少升？ (3)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议汽车油箱内剩余油量为油箱容量的 时必须加油，按此建议，问该辆汽车最多行驶多少千米必须加油？ 【变式11-1】～范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到， (1)金属丝的长度经历了怎样的变化？ (2)最后的长度比原长度约伸长多少毫米？ 【变式11-2】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【变式11-3】南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 题型十二 含乘方的有理数混合运算 【例12】计算： 【变式12-1】计算：． 【变式12-2】计算： 【变式12-3】计算：． 题型十三 程序流程图 【例13】如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式13-1】按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【变式13-2】如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为 ． 【变式13-3】数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 题型十四 算24点 【例14】有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【变式14-1】中考新趋势·一题多问  在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3，，，10，请你帮助他写出两个算式，使其运算结果分别等于24、： 、 ． 【变式14-2】有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【变式14-3】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 基础巩固通关测 1．（2025·河北邯郸·三模）如果向南走记为“”，那么“”表示（   ） A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走 2．（2025·河北·模拟预测）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·河北·模拟预测）通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等．下列4个验光记录中，需要持续佩戴眼镜矫正视力的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西咸阳·一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量．下列图示中，表示采集120颗野果的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·云南文山·期末）2025的倒数是 ． 7．（24-25七年级上·河北沧州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案） 8．（2024·河北石家庄·模拟预测）计算： ． 9．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，则输出的结果为 ． 11．（24-25七年级上·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）计算 (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·河北张家口·期末）计算： (1)； (2)． 14．（24-25七年级上·河北唐山·期末）佛山地铁3号线部分站点如图所示，志愿者小刚在图中个地铁站点做值勤服务．小刚从季华六路站开始乘坐地铁，在图中个地铁站点做值勤志愿服务，到站下车时，本次活动结束，约定向潭州会展站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请你通过计算说明站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程． 15．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少； (2)动点从点运动到点需要多少秒？ 能力提升进阶练 16．（2025·河北唐山·三模）如图，实数，，在数轴上的对应点分别是，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下如为小亮某次测试的答卷，每小题分，他的得分应是（   ） （1）； （2）数轴上到距离为的点是； （3）已知，则； （4）几个非零有理数相乘，负因数的个数为奇数个时积为负，这句话是正确的； A．分 B．分 C．分 D．分 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存（   ）吨 A．413 B．414 C．415 D．416 19．（24-25七年级上·广东惠州·期中）若，，，那么的值是（    ） A．2或 B．或8 C．或8 D．或2 20．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形在数轴上绕着顶点顺时针连续无滑动翻转，翻转次后，点在数轴上所对应的数为．在正方形连续翻转的过程中，下列说法错误的是（   ） A．翻转次后，点与在数轴上表示“”的点重合 B．翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“” C．在翻转过程中，顶点可与数轴上表示“”的点重合 D．连续翻转次后，数轴上数“”所对应的点是 21．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，，则的值为 ． 22．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）若，则 ． 23．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 24．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：对于一个有理数，我们把称为的有缘数．若，则；若，则．计算的结果为 ． 26．（24-25七年级上·河北承德·期末）计算： (1) (2) 27．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，， 正数集合{             } 整数集合{             } 分数集合{             } 非正数集合{             } 负分数集合{             } 28．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 29．（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数（复习讲义） ①掌握正数与负数的概念，学会有理数的概念和分类； ②理解并掌握数轴、相反数、绝对值等相关概念，学会用数形结合的方法解决问题； ③熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，并能在混合运算中选择合适的运算律简便运算； ④能利用有理数的四则运算法则解决简单的生活实际问题； 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，，-2，-（+1）等. 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 有理数 有理数分类： 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 题型一 正数和负数的相关概念 【例1】下列语句正确的个数是（ ） ①不带“-”号的数都是正数；②如果a是正数，那么一定是负数；③一个有理数不是正数就是负数；④一个整数不是正整数就是负整数；⑤非正数就是负数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正、负数的意义是解题的关键． 根据正负数的定义和有理数的分类方法，逐项进行判断即可，注意0既不是正数，也不是负数． 【详解】解：①0不带“”号，但它不是正数，故原说法错误； ②正数a前面加“”号一定是负数，故本选项说法正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④0既不是正整数，也不是负整数，故原说法错误； ⑤0是非正数，但不是负数，故原说法错误； 正确的有②，共1个． 故选：B． 【变式1-1】古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（    ）    A． B． C．10 D．20 【答案】B 【分析】根据正负数以及绝对值表示的含义解题即可． 本题主要考查了正数和负数，理解正负数表示的含义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，指针指向负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， 又指针越接近0就越接近标准音， ，， 更接近0 故选：B． 【变式1-2】负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果商店收入400元记作+400元，那么商店支出300元，可记作 元． 【答案】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果商店收入400元记作元，那么商店支出300元，可记作元． 故答案为：． 【变式1-3】中秋节前，月饼销量大幅度增加，某月饼加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000盒月饼，由于各种原因，实际每天的产量与原计划相比有出入，下表是某一周的生产情况（超过计划产量的部分记作正数，不足计划产量的部分记作负数，单位：盒）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知星期四实际生产______盒月饼，星期______生产了2200盒月饼； (2)求该月饼加工厂这一周实际生产月饼多少盒？ (3)已知该月饼加工厂实行计件工资制，每生产一盒月饼可获得5元．若按天计算，超额完成任务，超出部分每盒再加3元；若未完成任务，不足部分每盒扣2元，那么该月饼加工厂这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)1900；五． (2)该月饼加工厂这一周实际生产月饼14400盒 (3)该月饼加工厂这一周的工资总额是73550元 【分析】本题考查了正负数的实际应用： （1）根据利用计划每天生产月饼量加上增减量可得星期四的生产量，利用生产了2200盒月饼减去计划生产的量与表格中的增减量对比即可求解； （2）先在一个周的增减量计算出来，再加上七天计划生产总量即可； （3）先将总工资计算出来，再减去被扣的即可求解； 熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，故星期四实际生产1900盒月饼． ，故星期五生产了2200盒月饼， 故答案为：1900；五． （2）（盒）， （盒）， 答：该月饼加工厂这一周实际生产月饼14400盒． （3）（元）， （元）， （元）， 答：该月饼加工厂这一周的工资总额是73550元． 题型二 有理数的概念与分类 【例2】在，5，，，，中，有理数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的判断，掌握有理数的概念是解题的关键． 根据有理数的概念判断即可解答，整数和分数统称有理数，无限不循环小数不是有理数． 【详解】解：，5，，是有理数，一共有4个， 故选：D． 【变式2-1】在，2020，，0，，，，中，正整数有个，负分数有个，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的加法计算，正整数和大于0的整数，负分数为小于0的分数，据此求出m、n的值，再计算加法即可． 【详解】解：在，2020，，0，，，，中，正整数有2020，，共2个，负分数有，共1个， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】下列各数：4，，，，0，中，非负数有 ；整数有 ；分数有 ． 【答案】 4，，0， 4，，0 ，， 【分析】此题考考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：4，，，，0，中，非负数有4，，0，；整数有4，，0；分数有，，． 故答案为：4，，0，；4，，0；，，． 【变式2-3】如图，已知圈A表示整数，圈B表示正数，圈C表示分数． (1)圈D表示 数，圈 E表示 数． (2)给出下列各数：15，，，0，，1，，，，请将它们填入图中相应的圈中去． 【答案】(1)正整，正分 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的特点及分类是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． （1）既符合整数又符合正数特点的数为正整数，既符合正数又符合分数特点的数为正分数； （2）根据图中数的特点，填入图中相应的圈即可． 【详解】（1）解：圈D表示正整数，圈E表示正分数， 故答案为：正整数，正分数； （2）解：如图所示， 题型三 数轴 【例3】琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识，解题的关键是根据数轴确定被墨迹盖住部分数的取值范围，再据此判断选项中的数是否在该范围内． 先确定数轴上被墨迹盖住部分数的取值范围，然后逐一分析选项中的数是否在这个范围内． 从数轴上可以看出，被墨迹完全盖住部分的数的取值范围是大于且小于0． 【详解】A、，不在到0这个范围内，所以A选项错误； B、，在到0这个范围内，所以B选项正确； C、，不在到0这个范围内，所以C选项错误； D、，不在到0这个范围内，所以D选项错误． 故选：B． 【变式3-1】图中所画的数轴，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是数轴的知识，掌握数轴的三要素是解题的关键．根据数轴的三要素：原点、单位长度、正方向，即可得出答案． 【详解】解：A、选项中没有正方向，故本选项错误，不符合题意； B、选项中没有原点，故本选项错误，不符合题意； C、选项中单位长度不一样，故本选项错误，不符合题意； D、选项中原点、单位长度和正方向都是对的，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式3-2】如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，4，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距1，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数形结合是解题的关键．根据与表示的数求出的长，再由折叠后的长，求出的长，即可确定出表示的数． 【详解】解：∵表示的数为， ∴， ∵折叠后， ∴， ∵点在的左侧， ∴C点表示的数为． 故答案为：． 【变式3-3】将下列各数在数轴上表示出来：，，，，，并按从小到大的顺序将它们用“”连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析图，． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，根据在数轴表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． 【详解】解：在数轴上标出如图， 根据数轴特点：． 题型四 数轴上点的运动 【例4】点、、在数轴上，且点分别到点、的距离相等．点沿着数轴从数字处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点沿着数轴从数字处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒个单位长度的速度向左匀速运动 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想是解题的关键．设运动时间为秒，则秒后，点表示的数为，点表示的数为，由“点分别到点、的距离相等”可得点表示的数为，于是得解． 【详解】解：设运动时间为秒， 则秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点分别到点、的距离相等， 点表示的数为：， 从数字处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动， 故选：． 【变式4-1】如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 【变式4-2】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【变式4-3】【预备知识】 如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则． 【实际问题】 如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts． （1）M，N两点之间的距离______； 【综合运用】 （2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______； （3）若甲、乙都向左运动． ①当t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？ 【答案】（1）32；（2）；8；（3）①s；②s或s 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， （1）根据两点之间的距离公式计算即可； （2）根据甲运动的路程加上乙运动的路程等于列出方程，再求出解即可； （3）①根据甲运动的路程加上等于乙运动的路程列出方程，再求出解即可； ②，分两种情况相遇前，甲乙之间的距离等于10单位长度列出方程，求出解；相遇后，甲乙之间的距离等于10单位长度列出方程，求出解即可． 【详解】解：（1）. 故答案为：32； （2）根据题意，得， 解得，则， 所以点A表示的数是. 故答案为：； （3）①根据题意，得：． 解得． ∴当s时，乙恰好追上甲． ②分两种情况： 情况一：乙追上甲之前相距10个单位长度． 根据题意，得． 解得． 情况二：乙追上甲之后相距10个单位长度． 根据题意，得． 解得． 综上，当s或s时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度． 题型五 相反数 【例5】下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和2 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，化简绝对值，化简多重符号，先根据相关性质化简各个数，再结合相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）进行分析，即可作答． 【详解】解：A、，它们互为相反数，故该选项符合题意； B、，它们不互为相反数，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，它们不互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：A 【变式5-1】如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数与数轴，相反数，利用相反数的性质确定原点的位置，再利用原点的位置解答即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点A表示的数字为，点B表示的数字为3， ∴原点距离点一个单位长度，点在原点的右侧， ∴点C表示的数字为1． 故答案为：1． 【变式5-2】计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键； 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解： ． 【变式5-3】分别写出下列各数的相反数：，，0，，． 【答案】，9，0，， 【分析】该题主要考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数．特别地，0的相反数是0．一般地，任意的一个有理数a，它的相反数是．a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零”是解题的关键． 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的相反数是9， 0的相反数是0， 的相反数是， 的相反数是． 题型六 绝对值及其性质 【例6】如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式6-1】若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 【变式6-2】已知实数a，b满足则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 【变式6-3】已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数． (1) ， ． (2)已知，求． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的性质，代数式求值， 对于（1），根据相反数的定义求出a，再根据绝对值的性质求出b； 对于（2），根据绝对值的非负性求出m，n的值，进而得出答案． 【详解】（1）因为a与4互为相反数， 所以； 因为b的绝对值是最小的正整数， 所以； 故答案为：； （2）由（1），得， 所以， 解得， 所以． 题型七 绝对值的化简问题 【例7】已知数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查数轴的相关知识，根据所给数值在x轴上的位置，判断出相应的符号，然后化简绝对值计算即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-1】已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得： ，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：，，，，． 【变式7-2】已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 【变式7-3】有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，回答下面问题： (1)________，________，________． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值．熟练掌握数轴，化简绝对值是解题的关键． （1）由数轴可知，，，然后求解作答即可； （2）根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 题型八 有理数的运算 【例8】计算下列各题． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）利用加法交换律和结合律计算即可； （）先进行乘除运算，再进行加法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先进行括号内的运算，再进行括号外运算即可； （）利用乘法分配律计算即可； （）先进行括号内运算，再进行除法运算，最后进行减法运算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）原式 ． 【变式8-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照加减法运算法则运算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加法即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，计算括号内的值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-2】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)1 (2) (3) (4)22 (5)1 (6)8 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）直接利用有理数加法法则计算即可． （2）直接利用有理数减法法则计算即可． （3）先计算各绝对值，再按有理数混合运算法则计算即可． （4）按照有理数混合运算法则计算即可． （5）先将除法转化为乘法，再运用乘法分配律计算即可． （6）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先化减为加，然后运用有理数加减运算法则计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则计算即可； （3）先算乘方，然后根据有理数四则混合运算法则计算即可； （3）先算括号内乘方，再算加减，然后根据有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型九 有理数的简便计算 【例9】下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算． （1）先将除法换为乘法，再根据乘法结合律计算即可； （2）根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式9-1】脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再算括号里的，最后计算乘法即可； （2）先将小数化为分数，再计算乘法即可； （3）先将除法化为乘法，再根据乘法计算，最后计算减法即可； （4）先将小数化为分数，再将除法化为乘法，根据乘法结合律计算即可； （5）先计算括号里的，再计算除法即可； （6）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式9-2】用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数加减运算和加法运算律即可求解； （）先把除法转化为乘法，然后根据有理数乘法分配律即可求解； （）根据有理数乘法运算律即可求解； （）利用加法分配律逆运算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，有理数的运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式9-3】阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）分析三种方法的解答过程可得答案； （2）根据解答过程可得答案； （3）类比解法③的方法求解即可． 【详解】（1）解：以上三种不同的解法中，没有除法分配律，故解法①是错误的；解法②和③解答过程正确； 故答案为：①； （2）解：解法②和③解答过程正确，解法③比较简便， 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 题型十 有理数的规律计算 【例10】规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-1】探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【答案】(1)①，②1.331，1331000 (2)移动规律：①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数的乘方的定义是解题的关键； （1）根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）观察（1）的计算结果，即可得出移动规律． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②，， 故答案为：1.331，1331000； （2）解：观察（1）的计算结果，我们可以得到①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位，②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位． 【变式10-2】根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，如：，，，．请你根据以上规律解答下列问题： (1)写出下列各式去掉绝对值符号后的形式：（不需要计算出结果）________，________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的加减计算： （1）根据题意可知两个正数的差的绝对值等于较大的正数减去较小的正数，据此求解即可； （2）根据两个正数的差的绝对值等于较大的正数减去较小的正数先化简绝对值，再计算加减法即可； （3）仿照（2）先化简绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式10-3】观察下列各式： … (1)猜想______． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ①； ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ … ∴ 故答案为：； （2）解：① ；                                  ②由题意得， ． 题型十一 有理数的实际应用 【例11】某种型号汽车油箱容量为56升，每行驶100千米耗油8升，油箱内剩油量随着行驶路程的变化而变化． (1)用表格表示汽车从出发地行驶100 千米、200 千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程(千米) 100 200 300 400 油箱内剩油量(升) 　　　 40 24 (2)这辆汽车行驶360千米时剩油多少升？ (3)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议汽车油箱内剩余油量为油箱容量的 时必须加油，按此建议，问该辆汽车最多行驶多少千米必须加油？ 【答案】(1)48，32 (2)升 (3)600千米 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）先求出每千米耗油量，然后用56升减去消耗的油量即可； （2）用56升减去消耗的油量即可； （3）用消耗的油量除以每千米耗油量即可求解． 【详解】（1）升/千米， 升，升， 故答案为：48，32； （2）升， （3）千米． 【变式11-1】～范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到， (1)金属丝的长度经历了怎样的变化？ (2)最后的长度比原长度约伸长多少毫米？ 【答案】(1)金属丝先伸长，再缩短 (2)最后的长度比原来长度伸长． 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用， （1）根据题意分别计算出温度上升伸长的长度和温度下降缩短的长度， （2）将（1）的结果再相减即可得到答案． 【详解】（1）解：把的这种金属丝加热到，金属丝伸长 再使它冷却降温到，金属丝缩短 所以金属丝先伸长再缩短 （2）最后的长度比原来长度伸长 【变式11-2】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）先把表格中的数据相加，再加上，即可求解； （2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可； （3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， 答：工厂当周一共加工件零件； （2）解：根据题意得：（元）， 答：该工厂当周的加工总成本为元； （3）解：根据题意得：元， 答：该工厂当周的奖励总额为元． 【变式11-3】南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1)南，0.4 (2)送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气 (3)在整个过程中，张师傅共收到车费34元 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以每千米消耗压缩天然气0.09升，即可解答； （3）根据表格中的数据是超过2千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第五批客人后，张师傅共收到的车费． 【详解】（1）解：（千米）， 即送完第五批客人后，张师傅在公司的南边，距离公司0.4千米的位置； 故答案为：南，0.4； （2）解：（升， 送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气； （3）解：由题可知： （元， 在整个过程中，张师傅共收到车费34元． 题型十二 含乘方的有理数混合运算 【例12】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先算乘方，再算乘法，最后算加减，如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： ． 【变式12-1】计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式12-2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算括号内的以及乘方，然后计算乘除，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： ． 【变式12-3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘方、乘除、加减的运算顺序，以及符号的处理．先计算乘方然后进行有理数的加减运算即可． 【详解】解： 题型十三 程序流程图 【例13】如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 【变式13-1】按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算；按照题意依次计算乘方与减法，计算结果与10比较，若小于继续计算，否则输出结果即可．第一次计算的结果为，以作为输入值，计算后结果为，以作为输入值，计算后结果为，则可得输出结果． 【详解】解：，，， 则输出结果为11； 故答案为：11． 【变式13-2】如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的数值运算程序，看懂流程框图，根据得到式子，结合有理数乘法运算及加法运算求解即可得到答案．看懂流程图是解决问题的关键 ． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 【变式13-3】数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． 题型十四 算24点 【例14】有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则计算24点即可． 【详解】解：由题意，得． 答案为：． 【变式14-1】中考新趋势·一题多问  在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3，，，10，请你帮助他写出两个算式，使其运算结果分别等于24、： 、 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：或． 故答案为：或．（答案不唯一） 【变式14-2】有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 【变式14-3】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 基础巩固通关测 1．（2025·河北邯郸·三模）如果向南走记为“”，那么“”表示（   ） A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走 【答案】D 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量．题目中规定向南走记为“”，则相反方向向北走应记为“”． 【详解】根据题意，向南走记为， “”表示向南，“”表示其相反方向，即向北， “”表示向北走， 故选：D． 2．（2025·河北·模拟预测）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入程序中计算得到结果，判断大于输出即可． 【详解】解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为， 故选：． 3．（2025·河北·模拟预测）通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等．下列4个验光记录中，需要持续佩戴眼镜矫正视力的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正数和负数，根据近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，求出各位同学近视的度数即可作答． 【详解】解：A、表示近视250度，近视超过200度，需要持续佩戴眼镜矫正视力； B、表示近视150度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力； C、表示近视100度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力； D、表示近视50度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力； 故选：A． 4．（2025·陕西咸阳·一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．若他一共采集到了47个野果，则在第2根绳子上的绳结数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，得第二根绳上共有个，结合一个结表示5个，故有(个)，解答即可． 本题考查了计算方法，正确理解数位的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第二根绳上共有个， 由一个结表示5个， 故有(个)， 故选：C． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量．下列图示中，表示采集120颗野果的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数字表示事件，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意来求出每个图形表示的数．根据满七向左进一，分别算出每个选项表示的数即可得到答案． 【详解】解：A．，故此项不符合题意； B．，故此项符合题意； C．，故此项不符合题意； D．，故此项不符合题意． 故选：B． 6．（24-25七年级上·云南文山·期末）2025的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·河北沧州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案） 【答案】 【分析】本题考查根据新定义进行有理数的混合运算，解题的关键是准确理解两种图形所代表的运算规则，并按照规则进行计算． 分别依据三角形和正方形图形对应的运算规则，计算出各自的结果，再将结果相加． 【详解】解析： ， 故答案为：． 8．（2024·河北石家庄·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算律，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质．根据折叠分类讨论，当点A落在4和12对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：∵对折后的点到点的距离为4， ∴对折后的点的对应点为或， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数12对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或0， 故答案为：或0． 10．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，则输出的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与0的大小，以此类推，得到结果大于0，输出即可． 【详解】解：把代入运算程序得：， 把代入运算程序得：， 故输出的结果y为． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，进行有理数混合运算时注意运算顺序和符号的确定；并灵活运用加法运算律． （1）按有理数加减混合运算法则按顺序进行计算即可得出结果； （2）根据有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后加减；如果有括号，先算括号内的运算． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， 12．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握乘方运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减法运算法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·河北张家口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，掌握有理数的相关运算法则成为解题的关键． （1）先化除为乘，然后运用有理数乘法运算律进行简便运算即可； （2）先计算有理数乘方、除法、绝对值化简，然后再计算加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（24-25七年级上·河北唐山·期末）佛山地铁3号线部分站点如图所示，志愿者小刚在图中个地铁站点做值勤服务．小刚从季华六路站开始乘坐地铁，在图中个地铁站点做值勤志愿服务，到站下车时，本次活动结束，约定向潭州会展站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请你通过计算说明站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程． 【答案】(1)站是岳步站 (2)小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程为千米 【分析】本题考查有理数运算的应用、正数和负数的应用； （1）将题目中的数据相加，观察结果，即可得到A站是哪一站； （2）将题目中数据的绝对值相加，再乘，即可得到小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程． 【详解】（1）解： （站）， 则A站是岳步站； （2） （千米）， 即小刚在服务期间乘坐地铁行进的总路程为千米． 15．（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少； (2)动点从点运动到点需要多少秒？ 【答案】(1)动点出发3秒时，所在位置对应的数是 (2)20秒 【分析】本题主要考查数轴，有理数的运算，解题关键是读懂题意． （1）求出动点出发3秒的距离加上即可； （2）分别求出动点在每一段上运动的时间，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在段所用时间为秒， 所以出发3秒时，动点在段上，所以， 所以动点出发3秒时，所在位置对应的数是； （2）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒， ，， 所以动点从点运动至点需要的时间为（秒）． 能力提升进阶练 16．（2025·河北唐山·三模）如图，实数，，在数轴上的对应点分别是，，．若，互为相反数，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，相反数，掌握数轴，相反数的性质是解题的关键．根据数轴先得出，根据有理数加法的法则和数轴，可对选项分析作出判断． 【详解】解：，互为相反数， ， 由数轴可得：， ，，，，故A、C、D错误，B正确， 故选：B． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下如为小亮某次测试的答卷，每小题分，他的得分应是（   ） （1）； （2）数轴上到距离为的点是； （3）已知，则； （4）几个非零有理数相乘，负因数的个数为奇数个时积为负，这句话是正确的； A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方、数轴上两点间距离、非负数的性质、多个有理数的乘法、知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据相关知识即可逐项判断即可． 【详解】解：（1），答案正确； （2）数轴上到距离为的点是或，故该说法错误； （3），则，，故，故该说法错误； （4）几个非零有理数相乘，负因数的个数为奇数个时积为负，这句话是正确的，该说法正确； 综上所述，一共有个题正确，一道题分，共计分； 故选：C 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存（   ）吨 A．413 B．414 C．415 D．416 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加法运算，利用有理数的加法运算是解题的关键． 根据有理数的加减法运算，可得答案． 【详解】解：吨， 故本周五天后这种小麦库存415吨， 故选：C． 19．（24-25七年级上·广东惠州·期中）若，，，那么的值是（    ） A．2或 B．或8 C．或8 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，求代数式的值，由题意得出，或，，再分情况分别计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是2或， 故选：A． 20．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形在数轴上绕着顶点顺时针连续无滑动翻转，翻转次后，点在数轴上所对应的数为．在正方形连续翻转的过程中，下列说法错误的是（   ） A．翻转次后，点与在数轴上表示“”的点重合 B．翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“” C．在翻转过程中，顶点可与数轴上表示“”的点重合 D．连续翻转次后，数轴上数“”所对应的点是 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键．根据翻转得到规律，进而分析即可得解． 【详解】解：实际操作可得每翻转次，正方形相对于数轴的方位与未翻转时一致， 翻转次后，点落在数轴上表示“”的点处，故项说法正确； 翻转次后，与数轴重合的两个顶点表示的数分别为“”和“”，故说法正确； 在翻转过程中，顶点落在数轴上时，其表示的数依次是，，，，．…，点落在数轴上时所表示的数不会是，故说法错误； 因为每次翻转为一个循环组，所以，所以数轴上数“”所对应的点是，故说法正确， 故选：． 21．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数，绝对值，倒数，平方的概念及性质：根据互为相反的两个数和为0，，互为倒数的两个数的积为1直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查非负数的性质和有理数的乘方，根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∴，且 ∴ ∴， ∴ 故答案为：9． 23．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【详解】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 【答案】 3 610 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据任意相邻三个台阶上数的和都相等，得到求出即可； （2）先求出，进而求出相邻三个数的和，根据每三个数一循环，且和等于，进行计算即可． 【详解】（1）∵任意相邻三个台阶上数的和都相等， ； （2） 每三个数一循环，且和等于 ， ． 故答案为：3，610． 25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：对于一个有理数，我们把称为的有缘数．若，则；若，则．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，解题关键是理解新定义的含义和有理数的运算法则．先根据新定义，求出和的值，再代入求值即可． 【详解】解：若，则；若，则， ，， ， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·河北承德·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，有理数的四则混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算加减即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，， 正数集合{             } 整数集合{             } 分数集合{             } 非正数集合{             } 负分数集合{             } 【答案】，，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；， 【分析】本题考查有理数分类，根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、整数、分数、非正数、负分数分别填入相应的小括号内即可．解题的关键掌握：有理数分为整数和和分数；整数分正整数、、负整数；非正数是指零和负数；分数分为正分数、负分数；具体的正负数判断方法：需将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“－” ，如果有“－”就是负数，否则是正数． 【详解】解：下列各数：，，，，，，，，，，， 正数集合{，，，，，，}， 整数集合{，，，，，}， 分数集合{，，，，，}， 非正数集合{，，，，，}， 负分数集合{，，}． 故答案为：，，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，． 28．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 【答案】（1）；（2）3745；（3）1045 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，八进制与十进制数的转换： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据二进制数与十进制数的转换方法分别求出图2中四个二进制数转换成十进制数的结果即可得到答案； （3）仿照二进制数与十进制数的转换方法将八进制数各位上的数字乘以8的相应次方再求和即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，从左起第四个符号表示的二进制数为； 故答案为：； （2）图2对应的二进制数从左往右依次为，，，， ∵， ， ， ， ∴这个四位数是3745； （3）． 29．（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，… (1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________； (2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算： ①； ②直接写出结果：________； (3)根据以上探索经验，计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式再归纳即可解答； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1）解：∵， 归纳可得：第5个式子是；第n个式子是； 故答案为：； （2）解：① ； ② ， 故答案为：； （3）解： ） ． 30．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$