专题03 绝对值的几何意义与最值训练8大题型（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题03 绝对值的几何意义与最值训练（8大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两个绝对值的和的最值 1 题型二、两个绝对值的差的最值 2 题型三、多个绝对值的和的最值 3 题型四、绝对值中最值问题的应用 5 题型五、已知范围的绝对值化简 6 题型六、未知范围的绝对值化简 8 题型七、绝对值化简的新定义问题 8 题型八、绝对值化简问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一：两个绝对值的和的最值 1．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 2．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 3．阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 4．综合与实践：【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为．如：表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______； 【解决问题】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______． （3）试用数轴探究：当时的值为______． 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值为______，并写出此时可取的整数值为______． 题型二：两个绝对值的差的最值 5．当 时，的值最大，最大值为 ． 6、学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 7、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 8、已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 题型三：多个绝对值的和的最值 9．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 10．点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．请根据你的理解，回答下列问题： (1)用数学符号语言表示：，的大小关系； (2)若，异号，，且． ①试判断： ；（填“”、“”、“”） ②把下面五个数：，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． (3)已知式子表示数轴上有理数所对应的点分别到数和所对应的点的距离之和．若为有理数，问式子有最小值吗？若有，请写出它的最小值及此时的值；若没有，请说明理由． 11．阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 12．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 题型四：绝对值中最值问题的应用 13．在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 14．“数轴”是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．下面就让我们利用学习过的“数轴”来进行探索活动吧． 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点之间的距离记为或，且，，请回答下列问题： (1)求________． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则________． (3)若点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①当点P在点M、N之间（含M、N两点），请化简； ②若点P表示的数是1，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，当t为________秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7． 15．定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 16．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 题型五：已知范围的绝对值化简 17．有理数在数轴上的对应点位置如图所示， (1)在图中标出，所对应的点，并用“”连接，，，，； (2)化简：． 18．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a 0，b 0，c 0； (2)根据数轴化简：①= ；②= ；③= ；④= ；⑤= ；⑥= ； (3)若，求a，b，c的值． 19．在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a 0，b 0，c 0， 0 ； (2)化简：； 20．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 题型六：未知范围的绝对值化简 21．如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 22．已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 23．若，则的所有可能值 ． 24．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 题型七：绝对值化简的新定义问题 25．定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 26．如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 27．对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如，P、Q两点表示的数如图1所示，则． (1)两点表示的数如图2所示． ①两点绝对距离为______； ②若C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数； (2)M、N为数轴上的两点（点M在点N左边），且线段，若，求出点M所表示的数． 28．综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 题型八：绝对值化简问题综合 29．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 30．已知关于的方程有四个解，化简． 31．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 32．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 1．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 3．（2024·吉林·一模）有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 4．（2024·广东汕头·一模）同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得|，这样的整数是 ． 5．[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若，分别是有理数，在数轴上对应的两点，我们就把，叫作，的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离．” (1)对照数轴，填写下表： 6 2 4 0 A，B两点的距离 (2)请说出和的意义； (3)求的最小值； (4)当的值最小时，求x的值． 6．（2024·江苏扬州·一模）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 7．（2024·浙江湖州·一模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 8．（2024·内蒙古包头·一模）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示， (1)用，，填空： ， ． (2)化简： 9．（2024·陕西西安·一模）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 10．（2024·陕西太原·一模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 绝对值的几何意义与最值训练（8大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两个绝对值的和的最值 1 题型二、两个绝对值的差的最值 2 题型三、多个绝对值的和的最值 3 题型四、绝对值中最值问题的应用 5 题型五、已知范围的绝对值化简 6 题型六、未知范围的绝对值化简 8 题型七、绝对值化简的新定义问题 8 题型八、绝对值化简问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一：两个绝对值的和的最值 1．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 2．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2)或；， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 3．阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x． (1)点A、B之间的距离为 ． (2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ． (3)若点P在点A、B之间，则 ． (4)若，则点P表示的有理数 ． 【答案】(1)3 (2)，3或 (3)3 (4)或3 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义．绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意直接求点A、B之间的距离即可； （2）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （3）由点在线段上，可得，计算求解即可； （4）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A、B之间的距离为， 故答案为：3； （2）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得：或， 故答案为：或3； （3）解：∵点在线段上， ， 故答案为：3． （4）解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3， 故答案为：或3． 4．综合与实践：【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为．如：表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______； 【解决问题】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______． （3）试用数轴探究：当时的值为______． 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值为______，并写出此时可取的整数值为______． 【答案】（1），（2）（3）或（4）， 【分析】（）用大数减小数便可求得两点的距离； （）根据定义用代数式表示即可； （）根据绝对值的意义解答便可； （）由式子表示到与到的距离之和，可知当时，两距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 【详解】解：（），， ∴数轴上表示2和7两点之间的距离是5；数轴上表示2和的两点之间的距离是3； 故答案为：，； （）依题意，数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （）依题意，：数轴上表示和的两点之间的距离为， 当数在数的左边时，则，故； 当数在数的右边时，则，故； 故答案为：或； （）依题意，由式子表示到与到的距离之和， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴最小值为， ∴可取的整数有． 故答案为：， 题型二：两个绝对值的差的最值 5．当 时，的值最大，最大值为 ． 【答案】 1 5 【分析】分、和三种情况讨论求出，问题随之得解． 【详解】当时，， 即， ∵， ∴； 当时，， 即； 当时，， 即， ∵， ∴， ∴； 综上：，当且仅当时，有最大值，最大值为5， 故答案为：1，5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简求值，注重分类讨论的思想，是解答本题的关键． 6、学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式 (2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 7、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）零点值x=-2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和．分该三种情况找出|x+2|+|x-4||的值即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 ； （2）当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式， 则的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用． 8、已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 【答案】(1)填表见解析； (2)； (3)当，的值总是一个固定值，为； (4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3． 【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案； （3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论； （4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 15 3.5 （2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；； （3）解：根据的几何意义是，到的距离之和， 如果值总是一个固定值，则， 这个固定值为：； （4）解：当时，， 当时，， 当时，， 故的最大值为； 根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短， 即当时 得到的值最小为3． 【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值． 题型三：多个绝对值的和的最值 9．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 10．点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．请根据你的理解，回答下列问题： (1)用数学符号语言表示：，的大小关系； (2)若，异号，，且． ①试判断： ；（填“”、“”、“”） ②把下面五个数：，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． (3)已知式子表示数轴上有理数所对应的点分别到数和所对应的点的距离之和．若为有理数，问式子有最小值吗？若有，请写出它的最小值及此时的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)有，当时，有最小值为 【分析】本题主要考查有理数大小比较、数轴及绝对值，熟练运用“奇点偶段”是解题的关键． （1）分情况描述a，b的大小关系； （2）①根据有理数的加法运算法则，进行作答即可； ②根据已知条件画出数轴即可； （3）根据绝对值的几何意义，利用“奇点偶段”求出最小值． 【详解】（1）解：若，且，则， 若，且，则， 若，且，则， 若，且，则， 若，，则， 若，，则． （2）解：①若，异号，，且， 则； 故答案为：； ②数轴见下图： ； （3）解：， ∴当时，有最小值为； 11．阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 12．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1) (2)2或 (3)8 (4)13 【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为3的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和，因此当x在2与之间时，这个距离之和最小，最小值为2与之间的距离8， （4）根据题意得到，，然后将，代入求解即可． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵ ∴只有当且时等式成立 ∴， ∴当，时，有最大值，即． 题型四：绝对值中最值问题的应用 13．在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)24 (2)①再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度；②结论正确，这个时间是秒，定值是6单位长度 【分析】本题主要考查了两点的距离、数轴、绝对值等知识点，掌握根据数形结合的思想是解题的关键． （1）先根据绝对值和相反数的定义确定点A、C表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可； （2）①根据“时间等于路程和除以速度和”列式计算即可；②由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，b与互为相反数， ∴，即， ∴点A、C表示的数分别为，16， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距个单位长度． 故答案为：24． （2）解：①当两火车相遇前距离8个单位长度时，（秒）． 当两火车相遇后距离8个单位长度时，（秒）； 答：再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度； ②结论正确．理由如下： ∵， ∴当在之间时，是定值4，（秒）， 此时（单位长度）． ∴这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 14．“数轴”是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．下面就让我们利用学习过的“数轴”来进行探索活动吧． 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点之间的距离记为或，且，，请回答下列问题： (1)求________． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则________． (3)若点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①当点P在点M、N之间（含M、N两点），请化简； ②若点P表示的数是1，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，当t为________秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7． 【答案】(1)5 (2)或8 (3)①5；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离、化简绝对值、解绝对值方程等知识点，掌握化简绝对值的方法是解题的关键． （1）直接运用求解即可； （2）分或两种情况解答即可； （3）①由点P在点M、N之间（含M、N两点），即，然后化简绝对值、合并同类项即可解答；②设运动时间为t秒，则运动后P表示的数为，则，然后根据，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为5． （2）解：当时，可化为，解得：； 当时，可化为，解得：． 综上，或． （3）解：①∵点P在点M、N之间（含M、N两点）， ∴， ∴； ②设运动时间为t秒，则运动后P表示的数为， ∴， ∵蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7， ∴， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解． 综上，． 故答案为4． 15．定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 【答案】（1）；（2）或1；（3）或3；（4）；应用：方案见解析，12辆 【分析】理解：（1）根据题意即可求解； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）分在的左侧、数在的右侧两种情况作图，根据作图解答即可求解； （4）由可得代数式表示x到1和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上表示数x和5的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解： 或 或． （3）在数轴上表示数到1和的距离之和等于8， 如图所示：①当数在的左侧时， ． ②当数在的右侧时， ． 故答案为：或3； （4）代数式表示数到1和的距离之和， 当在和1之间，即时，最小，最小值为， 故答案为：． 应用：根据题意，提供5种不同的调动车辆的方案，图表语言表述如下： 由图可知，调动的最少车辆数为：辆． 16．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的性质进行去绝对值即可； （2）①根据当在和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解；②根据题意得，即可求解； （3）、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为，根据题意可知，当在线段上时，、、、到的距离之和最小，则、、、到的最小距离之和为： ，即可求解． 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：； ②代数式的最小值是， ， 解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为， 由题意得：当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、到的距离之和最小， 当在线段上时，、、、到的距离之和最小， 、、、到的最小距离之和为： 当在线段上时，、、、到的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 题型五：已知范围的绝对值化简 17．有理数在数轴上的对应点位置如图所示， (1)在图中标出，所对应的点，并用“”连接，，，，； (2)化简：． 【答案】(1)作图见详解， (2) 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，掌握数轴的特点，相反数，绝对值的定义及性质是解题的关键． （1）根据数轴的特点，相反数的定义和性质进行作图，再根据数轴的特点比较大小即可； （2）根据数轴的特点确定代数式的符号，再根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”化简即可求解． 【详解】（1）解：标出，所对应的点，如图所示， ∴； （2）解：根据数轴上数的位置可得，， ∴ ． 18．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a 0，b 0，c 0； (2)根据数轴化简：①= ；②= ；③= ；④= ；⑤= ；⑥= ； (3)若，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，，，，， (3) 【分析】本题主要考查绝对值的性质，正负数，数轴上的对应点的位置； （1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据绝对值的性质再结合正负数即可得出结论． 【详解】（1）结合数轴得： 故答案为： （2），， ，， 故答案为：，，，，， （3）， 且 19．在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a 0，b 0，c 0， 0 ； (2)化简：； 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查数轴，绝对值，有理数的加减法，关键是掌握相关概念与运算，数形结合． （1）根据数轴确定数的正负，根据有理加法法则判断式子的正负； （2）根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． 20．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 【答案】(1)<，<，< (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． （1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 故答案为：； （2）由数轴得：， ∴， ∴原式 ． 题型六：未知范围的绝对值化简 21．如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 22．已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，根据绝对值的意义分别求解即可． 【详解】解：， ，，， ， 若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设，，， ； 若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设，，， ， 的值为， 故选：C． 23．若，则的所有可能值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，有理数的除法，分类讨论是解题的关键．分为；；；四种情况讨论即可． 【详解】解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：或． 24．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)①2；②0；③ (2)或1 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）通过分析确定出a，b，c的符号，三个全为负或其中一个为负，再利用绝对值的意义化简运算即可． 【详解】（1）解：①∵时， ∴，， ∴ ， 故答案为：2； ②当时， ∴，， ∴ ， 故答案为：0； ③当，时， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当时，都小于0，或中一个小于0，另外两个都大于0， 即分两种情况讨论： ①当，，时， ， ②当中一个小于0，另外两个都大于0时，不妨设， ， 综上所述：或1． 题型七：绝对值化简的新定义问题 25．定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)①④；③⑤ (3)0 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对值的式子是解答本题的关键． （1）根据新定义的运算代入数值计算即可； （2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可； （3）根据新定义的运算化简后，得到，从而通或，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：． （2）①， 是互为“望一”数； ②， 既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数； ③， 是互为“望外数”； ④， 是互为“望一数”； ⑤， 是互为“望外数”； 综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤． 故答案为：①④；③⑤． （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴或， ∵方程无解， 解方程得， ∴x的值为0． 26．如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 27．对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如，P、Q两点表示的数如图1所示，则． (1)两点表示的数如图2所示． ①两点绝对距离为______； ②若C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数； (2)M、N为数轴上的两点（点M在点N左边），且线段，若，求出点M所表示的数． 【答案】(1)①2；②7或 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值的有关内容，关键在于理解绝对距离的定义． （1）①根据绝对距离的定义，直接计算即可； ②根据题意，可计算出，则点表示的数为7或； （2）设点所表示的数为，则点所表示的数为，；注意，如果、的符号相同，则不符合题意，因此点在点左边，点在点右边，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：①、两点绝对距离为； 故答案为：2； ②根据题意得，， 则， 解得或舍去）， 因此，点表示的数为7或； （2）解：设点所表示的数为，则点所表示的数为， ； 根据题意，，，则， 即， 解得或； 因此，点所表示的数为或． 28．综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 【答案】(1)−2，4 (2)1，6 (3) (4)或 【分析】（1）依题意，结合两点距离公式直接求解； （2）依题意，结合数轴上两点之间的距离公式和中点公式直接求解即可； （3）依题意，由，先求得，进一步求解即可； （4）根据各点运动可以得到运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由此得到，，然后根据或得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，4； （2）解：依题意得：，， 故答案为：1，6； （3）解：依题意得：， ，解得：， ， 故答案为：3； （4）解：点以每秒4个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒1个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，则运动后，点表示的数为， ，， 点恰好是点的 “2倍点”， 或， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或， 综上，点恰好是点的 “2倍点”时，此时的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离公式、数轴上中点坐标公式以、绝对值方程求解及动点问题，读懂题意，数形结合由题意列出方程求解是解决问题的关键． 题型八：绝对值化简问题综合 29．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 30．已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 31．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和，分别求得和， 所以和的零点值分别为和； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上讨论，原式； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得， 所以原方程的解为或． 32．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【答案】(1)3，7 (2)2或 (3)c的值为或或或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． （1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当时，，，然后分当时；当时；当时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：3，7； （2）解：由题意知，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：2或； （3）解：当时，，， 当时，，则， 解得，； 当时，，则， 解得，； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，c的值为或或或 ． 1．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 【答案】(1)1 (2)5， (3)，，0，1 (4)5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3，进而求解； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值； 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：1； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数到所对应点之间的距离． 故答案为：5，； （3）解：由题意得：表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴表示的数为：，，0，1． 故答案为：，，0，1． （4）解：由题意得：当时，有最小值，最小值为：． 2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】本题考查了绝对值在数轴上的应用，关键判断正负去掉绝对值符号． （1）直接用两数相减的绝对值求出两点的距离； （2）根据a的大小判断出绝对值符号里面结果的正负，再去掉绝对值符号求值； （3）根据a的取值范围结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 数轴上表示和2两点之间的距离是； （2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6； 当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6； 当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6； 所以的最小值为6； （3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 综上所述或． 3．（2024·吉林·一模）有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 4．（2024·广东汕头·一模）同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得|，这样的整数是 ． 【答案】(1)5，4； (2)，1或； (3) 【分析】此题考查了绝对值函数的最值，数轴，两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键． （1）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案． （2）根据两点之间的距离为2，得到，继而可求出答案． （3）表示点到点与1的距离和为3，即数轴上点到1之间的整数解都满足，可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5，4； （2）， ∵这两点之间的距离为2， ， ， 故答案为：，1或； （3）所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是， 故答案为：． 5．[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若，分别是有理数，在数轴上对应的两点，我们就把，叫作，的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离．” (1)对照数轴，填写下表： 6 2 4 0 A，B两点的距离 (2)请说出和的意义； (3)求的最小值； (4)当的值最小时，求x的值． 【答案】(1)2，6，12，0 (2)的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；的意义为表示数x的点与表示数的点的距离 (3)3 (4)4 【分析】此题主要考查了绝对值的几何意义和应用，解答此题的关键是要明确既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据两点距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：2，6，12，0； （2）解：的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；的意义为表示数x的点与表示数－1的点的距离； （3）解：为表示数x的点到表示数2与数的点的距离之和，当表示数x的点在表示数2的点与表示数的点之间（包括2与两点）时，式子有最小值，即； （4）解：根据题意可知，为表示数x的点到表示数，4，9的点的距离之和，所以当时，式子有最小值，即． 6．（2024·江苏扬州·一模）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据数轴上两点间的距离即可求解； （）由题意得，求出的值即可； （）由表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，则，从而得到即可； （）根据数轴上两点间的距离可得当时，最小； 本题考查了数轴，绝对值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：∵表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，， ∴， ∴，，，，，，，，共个整数， 故答案为：； （4）解：根据题意得，当时，最小， ∴， 故答案为：． 7．（2024·浙江湖州·一模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 【答案】（）；（）；（）或；（），；（）；（）或；（），，，；（）或． 【分析】（）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值代数意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； 本题主要考查了数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 【详解】解：（）解决问题，的值是， 故答案为：； （）的最小值是， 故答案为：； （）若的最小值是，则的值为或， 故答案为：或；    拓展提升： （）的最小值是，最大值是，理由如下： 令， 当时，； 当时，， ∴， 当时，， 综上可知：， 故答案为：，； （）由可知：的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离， 则当与重合时，有最小值， 故答案为：； （）若的最小值是， 则当时，有最小值， 所以，则； 当时，有最小值， 所以，则； 则的值是或， 故答案为：或； （）∵，且为整数， ∴， 则的值为，，，， 故答案为：，，，； （）∵， ∴时，，则； 时，，则； 所以的值为或， 故答案为：或． 8．（2024·内蒙古包头·一模）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示， (1)用，，填空： ， ． (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的减法运算，化简绝对值等． （1）根据数轴可知，由此即可得出答案； （2）根据（1）的结果，以及绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据图示，可得：， ，； 故答案为：； （2）解：， ； 9．（2024·陕西西安·一模）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 10．（2024·陕西太原·一模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 【答案】(1)①6；② (2)小，2 (3)C，18 (4)最小值，最大值9，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的化简，分类讨论，是解答此题的关键． （1）①根据两点间距离的求法直接求解即可；②根据两点间距离的求法直接写出即可；（2）当时，；当时，；当时，；可判断有最小值2； （3）以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列，根据绝对值的几何意义，数轴上点的特点可知，当时，有最小值18； （4）分，，三种情况，对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：6； ②； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴有最小值2； 故答案为：小，2； （3）解：以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为0，D点表示的数为3，E点表示的数为6， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， 由（2）知，当时， ，有最小值18， ∴配件箱应该放在工作台C处，最短路程为18米， 故答案为：C，18； （4）解：有最小值，最大值9，理由： 当时， ； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； 故有最小值，最大值9． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$