精品解析：河北省保定市安国市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024—2025学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式x2+A+1是个完全平方式，那么代数式A不可能为（　　） A. 2x B. x C. ﹣2x D. x4 4. 如图，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要钉上木条（ ） A. 1根 B. 2根 C. 4根 D. 3根 5. 如图，直线和相交于点，，将分成的两个角．若较小角，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，则第三条边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 7. 如图，将一副三角板放置在一组平行线内，若，则结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 9. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 为测量池塘两端的距离，数学小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小明：如图1．选定点，连接．并分别延长到点，使，．连接．则量出的长即为的距离． 小红：如图2，先过点作的垂线，在上取两点，使．再过点作的垂线．交的延长线于点．则量出的长即为的距离． 小丽：如图3，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．则量出的长即为的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是（ ） A. 小明和小红 B. 小明和小丽 C. 小红和小丽 D. 三个人的方案都可以 12. 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A. B. C. D. 二、填空题．（本大题4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 的结果用科学记数法表示为_________． 14. 若x，y均为正整数，且，则的值为_________． 15. 如图，D是平分线上一点，交于点，若，则的度数为_________． 16. 如图，等边的边长为，D、E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1） （2）（用简便方法） 18. 如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称． （1）的面积为________； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴； （3）请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使． 19. 已知洋洋家、公园、图书馆在同一条东西方向的直线街道上，周末洋洋一早从家步行去公园游玩，接着去图书馆看书，然后回家，假设洋洋行走时的平均速度保持不变，洋洋离家的距离与时间之间的对应关系如图中的实线所示．根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是__________，因变量是__________；（用文字表达） （2）洋洋在图书馆看书的时间是__________； （3）洋洋行走时的平均速度为__________ ； （4）求图中，的值． 20. 如图，点、、、在一条直线上，，．若___________，则．请从①；②；③这三个选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 21. 小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． （1）求小明去观看足球比赛的概率； （2）你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； （3）请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 22. 如图，在的内部有一点，过点分别作，． （1）与有怎样的数量关系？并说明理由；如果点P在的外部，结论还成立吗？ （2）请你用文字语言表述以上结论． （3）类比这个结论，你能提出新的猜想吗？画出图形并进行验证． 23. 转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 24. 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式乘除运算，涉及幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识，根据幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中计算错误，不符合题意； B、，选项中计算正确，符合题意； C、，选项中计算错误，不符合题意； D、，选项中计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 多项式x2+A+1是个完全平方式，那么代数式A不可能为（　　） A. 2x B. x C. ﹣2x D. x4 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A．x2+2x+1=（x+1）2，是完全平方公式； B．原式=x2+x+1不是完全平方公式； C．x2﹣2x+1=（x﹣1）2，是完全平方公式； D. x2+x4+1=(x2+1)2，是完全平方公式. 故选B. 4. 如图，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要钉上木条（ ） A. 1根 B. 2根 C. 4根 D. 3根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故选：D． 5. 如图，直线和相交于点，，将分成的两个角．若较小角，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由将分成的两个角，得，由此可判断选项D；由得，再根据，由此可判断选项A；由可判断选项B；由可判断选项C． 【详解】解：，将分成的两个角， ，故D选项错误； ， ， ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； 故选：C． 6. 一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，则第三条边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题， 【详解】解：设三角形第三边长是， 由题意得：， ， 第三边长为整数， 第三条边长可能为8． 故选：C． 7. 如图，将一副三角板放置在一组平行线内，若，则结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差运算、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用三角板的原有角度结合平行线的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵∠， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵是的外角， ∴，故A选项正确，符合题意， 故选：A． 8. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法证明， 故选：A． 9. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【详解】解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 10. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 11. 为测量池塘两端的距离，数学小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小明：如图1．选定点，连接．并分别延长到点，使，．连接．则量出的长即为的距离． 小红：如图2，先过点作的垂线，在上取两点，使．再过点作的垂线．交的延长线于点．则量出的长即为的距离． 小丽：如图3，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．则量出的长即为的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是（ ） A. 小明和小红 B. 小明和小丽 C. 小红和小丽 D. 三个人的方案都可以 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意判断对应三角形是否全等即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故小明的方案可行； ∵，， ∴， ∴，故小红的方案可行； ∵，， ∴， ∴，故小丽的方案可行； 故选：D． 12. 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二、填空题．（本大题4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 的结果用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的除法、科学记数法以及负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据单项式的除法法则结合科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 14. 若x，y均为正整数，且，则的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，逆用幂的乘方法则，根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶5． 15. 如图，D是平分线上一点，交于点，若，则的度数为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，根据平行线的性质求出的度数，然后根据角平分线求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵D是平分线上一点， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶ ． 16. 如图，等边的边长为，D、E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由将沿直线折叠，点A落在点处，根据折叠的性质，即可得，又由等边的边长为，易得阴影部分图形的周长为：，则可求得答案． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1） （2）（用简便方法） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）原式变形为，然后根据完全平方公式计算即可； （2）先把变形为，然后根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解∶原式 ． 18. 如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称． （1）的面积为________； （2）请在如图所示的网格中作出对称轴； （3）请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使． 【答案】（1） （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）利用割补法求解即可； （2）在如图所示的网格中作出对称轴即可； （3）在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求作； 【小问3详解】 解：如图，即为所求作． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，画对称轴，三角形全等的判定，画出直线、射线、线段等知识点，熟练掌握轴对称的性质及全等三角形的判定是解题的关键． 19. 已知洋洋家、公园、图书馆在同一条东西方向的直线街道上，周末洋洋一早从家步行去公园游玩，接着去图书馆看书，然后回家，假设洋洋行走时的平均速度保持不变，洋洋离家的距离与时间之间的对应关系如图中的实线所示．根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是__________，因变量是__________；（用文字表达） （2）洋洋在图书馆看书的时间是__________； （3）洋洋行走时的平均速度为__________ ； （4）求图中，的值． 【答案】（1）t，s （2）30 （3）0.1 （4）6，66 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数图象的读图能力，根据函数图象的性质得到信息是解题的关键． （1）根据横轴表示时间，纵轴表示路程即可得到答案； （2）根据函数图象知：洋洋第到达图书馆，第离开图书馆，即可求解； （3）根据函数图象得到洋洋从公园到图书馆的路程为，行驶时间为，即可求得速度； （4）根据（3）中速度，利用路程、速度、时间之间的关系列式求解即可． 【小问1详解】 解：图中的自变量是时间t，因变量是距离s， 故答案为：t，s； 【小问2详解】 解：洋洋在图书馆看书的时间是， 故答案为：30； 【小问3详解】 解：根据题意，得洋洋行走时的平均速度为， 故答案为：0.1； 【小问4详解】 解：，． 20. 如图，点、、、在一条直线上，，．若___________，则．请从①；②；③这三个选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】 ①或②， 理由：， ，即， 选择①， ， ， 在和中， ， ， ； 选择②， 在和中， ， ， ； 选择③，根据不能证明，则③不能使得结论成立． 故答案为：①或②． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．选择①，利用证明，根据全等三角形的性质得到；选择②，利用证明，根据全等三角形的性质得到；选择③，根据不能证明，则③不能使得结论成立． 【详解】略 21. 小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． （1）求小明去观看足球比赛的概率； （2）你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； （3）请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】（1） （2） 解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3） 解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． 【解析】 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据小明去的概率为，设计转盘即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，在的内部有一点，过点分别作，． （1）与有怎样的数量关系？并说明理由；如果点P在的外部，结论还成立吗？ （2）请你用文字语言表述以上结论． （3）类比这个结论，你能提出新的猜想吗？画出图形并进行验证． 【答案】（1）或；成立 （2）角的内（或外）部有一点，过这个点分别作角的两边的平行线，所得的角与原角相等或互补 （3）角的内（或外）部有一点，过这个点分别作角的两边的垂线，所得的角与与原角相等或互补 【解析】 【分析】本题考查了四边形的内角和定理，平行线的性质，垂直的意义，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． （1）画出图形，分两种情况讨论，分别求出与；如果点P在的外部，分两种情况讨论，分别求出与； （2）根据（1）总结出结论； （3）分点在角的内（或外）两种情况讨论，画出图形，分别求出与． 【小问1详解】 解：当交于点，交于点时，如图， ， ， ， ， ∴； 当交于点，交于点时，如图， ， ， ， ， ∴， 又， ∴； 如果点P在的外部时， 如图，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 角的内（或外）部有一点，过这个点分别作两角平行线，所得的角与原角相等或互补； 【小问3详解】 当点在的内部时， 如图连结，，， 则， ， ， ， ，， ， ； 如图，连结，，， 则， 又，， ， 又，， ， ， ， ， ； 当点在的外部时， 如图，，， 则， 又， ， ； 如图，如图，，， 则， 又， ， ， 又， ． 23. 转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）根据轴对称性的性质得出，，然后根据“两点之间，线段最短”得出，即可得证； （4）作P关于的对称点，关于的对称点，连接交于E，于F即可； （5）利用轴对称的性质可以解决最短问题． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）连接， ∵、关于对称， ∴，， ∴，， ∴； （4）如图，点E、F即为所求， （5）感悟：利用轴对称的性质可以解决最短问题． 24. 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 【答案】（1）， （2），；， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程解决动点问题，全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）先求得，再求得，然后利用证明，从而可说明，再求得，从而可得； （2）先用表示出，再分“，”、“，”两种情况，分别求得相应的与的值． 【小问1详解】 解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $