24.2.2 直线和圆的位置关系 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.2.2 直线和圆的位置关系 同步练习 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（　　） A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线 第1题 第2题 第4题 第5题 3．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（　　） A．130° B．60° C．70° D．80° 4．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．75° 5．如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若∠DBC＝α，则（　　） A．∠A＝90°﹣α B．∠A＝α C．∠ABD＝α D．∠ABD＝90°α 6．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 8．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB、AC相切，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．2 D．4 9．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 第6题 第7题 第8题 第9题 10．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　） A．h＝R+r B．R＝2r C．ra D．Ra 第10题 第13题 第14题 二．填空题（共8小题） 11．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O位置关系是 　 　 （选填“相离，相切，相交”）． 12．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为　 　 ． 13．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝6cm，O为直线b上一动点，若以2cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 　 　 ． 14．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为　 　 ． 15．如图，AB是⊙O的切线，OB为半径，连结AO交圆于点C，点D在优弧CDB上．已知∠A＝40°，则∠D的度数为 　 　 ． 16．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，若的度数是160°，且∠A＝40°，则∠PBD的度数为　 　 °． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M、N分别是△ABC的内心和外心，则MN＝　 　 ． 18．如图，正方形ABCD的边长为6，以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，于DC相交于点E，则AE＝ 　 　 ． 第15题 第16题 第17题 第18题 三．解答题（共7小题） 19．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与AB的位置关系． （1）r＝3cm； （2）r＝4.5cm； （3）r＝6cm． 20．如图，P为正比例函数yx图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）． （1）求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标． （2）请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围． 21．如图，若等腰三角形ABC中，AB＝AC，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D，求证：AC与圆O相切． 22．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC； （2）若⊙O的半径为5，ED＝4，求CE的长． 23．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若△ABC的边长为4，求EF的长度． 24．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小； （Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小． 25．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠DCA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B D C C A C 一．选择题（共10小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：连接OD， ∵∠DOC＝2∠A＝2×30°， ∴∠DOC＝60°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°，∠C＝30°， ∴AD＝DC＝5， 故选：B． 2．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（　　） A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线 【解答】解：（A）∵PA、PB为圆O的切线， ∴PA＝PB， ∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意． （B）由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意． （C）连接OB、OA， ∵PA、PB为圆O的切线， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意． （D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB， ∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（　　） A．130° B．60° C．70° D．80° 【解答】解：如图所示：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°． 故选：D． 4．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．75° 【解答】解：由题意得，连接OA、OC、OE、OD、OB，所得图形如下： 由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE， ∵AO＝OE＝OB， ∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS）， ∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD∠AOB， ∵∠APB＝40°， ∴∠AOB＝140°， ∴∠COD＝70°． 故选：C． 5．如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若∠DBC＝α，则（　　） A．∠A＝90°﹣α B．∠A＝α C．∠ABD＝α D．∠ABD＝90°α 【解答】解：∵直线EC是⊙O的切线， ∴AB⊥EC， ∴∠ABC＝90°， 即∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣α， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠D＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°， ∴∠A＝∠DBC＝α． 故选：B． 6．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD， ∴AD+BC＝AB+CD， ∵AB＝10，BC＝7，CD＝8， ∴AD+7＝10+8， 解得：AD＝11． 故选：D． 7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【解答】解：连接IE、IF，如图， ∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F， ∴IE⊥AC，IF⊥AB， ∴∠AEI＝∠AFI＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠EIF， ∵∠EDF∠EIF， ∴∠EDF＝90°∠A， ∵∠B＝55°，∠C＝75°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°， ∴∠EDF＝90°50°＝65°． 故选：C． 8．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB、AC相切，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．4 C．2 D．4 【解答】解：设⊙O与AC的切点为E， 连接AO，OE， ∵等边三角形ABC的边长为8， ∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°， ∵圆分别与边AB，AC相切， ∴∠BAO＝∠CAOBAC＝30°， ∴∠AOC＝90°， ∴OCAC＝4， ∵OE⊥AC， ∴OEOC＝2， ∴⊙O的半径为2， 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G， 则PE⊥y轴，PF⊥x轴， ∵∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∵PE＝PF，PE∥OF， ∴四边形PEOF为正方形， ∴OE＝PF＝PE＝OF＝5， ∵A（0，8）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣5＝3， ∵四边形OACB为矩形， ∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB， ∴EG∥AC， ∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形， ∴CG＝AE＝3，EG＝OB， ∵PE⊥AO，AO∥CB， ∴PG⊥CD， ∴CD＝2CG＝6， ∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2， ∵PD＝5，DG＝CG＝3， ∴PG＝4， ∴OB＝EG＝5+4＝9， ∴D（9，2）． 故选：A． 10．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　） A．h＝R+r B．R＝2r C．ra D．Ra 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O， 设OE＝r，AO＝R，AD＝h， ∴h＝R+r，故A正确； ∵AD⊥BC， ∴∠DAC∠BAC60°＝30°， 在Rt△AOE中， ∴R＝2r，故B正确； ∵OD＝OE＝r， ∵AB＝AC＝BC＝a， ∴AEACa， ∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2， ∴r，Ra，故C错误，D正确； 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O位置关系是 　相交　 （选填“相离，相切，相交”）． 【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，4＞3， ∴直线l与⊙O位置关系是相交， 故答案为：相交． 12．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为　2　 ． 【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F； 其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF； 则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF； ∵∠C＝90°， ∴四边形ODCF为正方形， ∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）； 由勾股定理得： AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100， ∴AB＝10；由切线的性质定理的： AF＝AE，BD＝BE； ∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4， ∴R＝2， 它的内切圆半径为2． 13．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝6cm，O为直线b上一动点，若以2cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 　4cm或8cm　 ． 【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点， ∴⊙O与直线a相切时，切点为H， ∴OH＝2cm， 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示： OP＝PH﹣OH＝6﹣2＝4（cm）； 当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示： OP＝PH+OH＝6+2＝8（cm）； ∴⊙O与直线a相切，OP的长为4cm或8cm， 故答案为：4cm或8cm． 14．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为　14　 ． 【解答】解：△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5， ∴△ABC的周长＝AD+DB+BC+CF+AF＝AD+AF+BC+（BD+CF）＝14， 故答案为：14． 15．如图，AB是⊙O的切线，OB为半径，连结AO交圆于点C，点D在优弧CDB上．已知∠A＝40°，则∠D的度数为 　25°　 ． 【解答】解：∵AB是⊙O的切线，OB为半径， ∴AB⊥OB， ∴∠ABO＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°， ∴∠D∠AOB＝25°， 故答案为：25°． 16．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，若的度数是160°，且∠A＝40°，则∠PBD的度数为　120　 °． 【解答】解：连接OC，OD，OP，如图： 由题意可得：∠OPA＝∠OCA＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠COP＝360°﹣∠A﹣∠OPA﹣∠OCA＝140°， ∵的度数是160°， ∴∠COD＝160°， ∴∠POD＝360°﹣∠COP﹣∠COD＝60°， 由题意可得：∠OPB＝∠ODB＝90°， ∴∠PBD＝360°﹣∠OPB﹣∠ODB﹣∠POD＝120°， 故答案为：120． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M、N分别是△ABC的内心和外心，则MN＝　　 ． 【解答】解：连接MA、MB、MC，过点M作MD⊥AB于点D，作ME⊥AC于点E，作MF⊥BC于点F， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵N为Rt△ABC的外心， ∴AN＝BN＝5， ∵M为△ABCD的内心， ∴MD＝ME＝MN， ∵S△ABC＝S△MAB+S△MAC+S△MBC， ∴， ∴MD＝ME＝MF＝2， ∵∠MEC＝∠MCF＝∠MFC＝90°， ∴四边形MECF为正方形， ∴CF＝MF＝2， ∴BF＝6﹣2＝4， ∵MD＝MF，BM＝BM， ∴Rt△BDM≌Rt△BFM（HL）， ∴BD＝BF＝4， ∴DN＝BN﹣BD＝5﹣4＝1， ∴MN， 故答案为：． 18．如图，正方形ABCD的边长为6，以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，于DC相交于点E，则AE＝ 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝AB＝6，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°， ∵BC为直径， ∴AB和CD都为⊙O的切线， ∵AE为⊙O的切线， ∴EC＝EF，AF＝AE＝6， 设CE＝x，则EF＝x，DE＝6﹣x， 在Rt△ADE中，∵AD2+DE2＝AE2， ∴62+（6﹣x）2＝（6+x）2， 解得x， ∴AE＝AF+EF＝6． 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 19．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与AB的位置关系． （1）r＝3cm； （2）r＝4.5cm； （3）r＝6cm． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵等边△ABC的边长为6cm，AD是高， ∴AD＝ABsin60°＝9cm，∠BAD＝30°， ∴DE＝4.5cm， 故当（1）r＝3cm时，⊙D与AB相离， （2）r＝4.5cm时，⊙D与AB相切； （3）r＝6cm时，⊙D与AB相交． 20．如图，P为正比例函数yx图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）． （1）求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标． （2）请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围． 【解答】解：（1）过P作直线x＝2的垂线，垂足为A； 当点P在直线x＝2右侧时，AP＝x﹣2＝3，得x＝5； ∴P（5，）； 当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2﹣x＝3，得x＝﹣1， ∴P（﹣1，）， ∴当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为（5，）或（﹣1，）； （2）当﹣1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交 当x＜﹣1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离． 21．如图，若等腰三角形ABC中，AB＝AC，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D，求证：AC与圆O相切． 【解答】证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点， 则∠OEC＝90°， ∵AB切⊙O于D， ∴OD⊥AB， ∴∠ODB＝90°， ∴∠ODB＝∠OEC， 又∵O是BC的中点， ∴OB＝OC， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴△OBD≌△OCE， ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径， ∴AC与⊙O相切． 22．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC； （2）若⊙O的半径为5，ED＝4，求CE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OD． ∵ED为⊙O的切线，OD为半径， ∴OD⊥ED． ∴∠EDO＝90°， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B． ∵AC＝AB， ∴∠C＝∠B． ∴∠C＝∠ODB． ∴OD∥AC． ∴∠AED＝180°﹣∠EDO＝90°． ∴DE⊥AC． （2）解：如图，过O点作OF⊥AC于点F． ∴∠OFE＝90°． 由条件可知四边形OFED为矩形． ∴OF＝ED＝4，EF＝OD＝5． ∵AO＝OB＝5， ∴在Rt△OAF中，AF3， ∵AC＝AB＝10， ∴CE＝AC﹣EF﹣AF＝10﹣5﹣3＝2． 23．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若△ABC的边长为4，求EF的长度． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°． ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B＝60°． ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°． ∴∠EDC＝30°． ∴∠ODE＝90°． ∴DE⊥OD于点D． ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接AD，BF， ∵AB为⊙O直径， ∴∠AFB＝∠ADB＝90°． ∴AF⊥BF，AD⊥BD． ∵△ABC是等边三角形， ∴，． ∵∠EDC＝30°， ∴． ∴FE＝FC﹣EC＝1． 24．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小； （Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小． 【解答】解：（Ⅰ）连接OA、OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°， 由圆周角定理得，∠ACB∠AOB＝50°； （Ⅱ）连接CE， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵∠ACB＝50°， ∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BAE＝∠BCE＝40°， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝70°， ∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°． 25．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠DCA＝∠B． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形． 【解答】证明：（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠BCO， ∵∠DCA＝∠B， ∴∠BCO＝∠DCA， ∴∠BCO+∠ACO＝∠DCA+∠ACO， ∴∠ACB＝∠DCO＝90°， 即OC⊥CD， ∵OC过O， ∴CD是⊙O的切线； （2）∵DE⊥AB， ∴∠FEA＝90°， ∴∠A+∠EFA＝90°， 同理∠A+∠B＝90°， ∴∠B＝∠EFA， ∵∠DCA＝∠B，∠DFC＝∠EFA， ∴∠DCF＝∠DFC， ∴DC＝DF， 即△DCF是等腰三角形． 声明： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$