专题24.6 直线和圆的位置关系（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题24.6 直线和圆的位置关系 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】直线和圆的位置关系 1 【题型1】判断直线和圆的位置关系 2 【题型2】已知直线和圆的位置求值 3 【知识点二】切线的判定定理 6 【题型3】切线的证明 6 【知识点三】切线的性质定理 7 【题型4】切线的性质 8 【题型5】切线的性质与判定综合 12 【知识点四】切线长定理 15 【题型6】利用切线长定理求值 16 【题型7】利用切线长定理证明 18 【知识点五】圆外切四边形性质 21 【题型8】圆的外切四边形 21 【知识点六】三角形的内切圆 23 【题型9】特殊三角形的内切圆 24 【题型10】一般三角形的内切圆 27 二. 同步练习 29 【基础巩固（16题）】 29 【能力提升（16题）】 44 1． 知识梳理与题型分类精析 【知识点一】直线和圆的位置关系 　　（1） 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　（2） 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3） 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到: 即：直线和⊙O相交； 直线和⊙O相切； 直线和⊙O相离； 【题型1】判断直线和圆的位置关系　 【例题1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查根的判别式，判断直线和圆的位置关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．通过方程无实数根的条件，利用判别式得到d与r的关系，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系即可． 解：∵方程无实数根， ∴，即． ∵圆心到直线的距离小于半径， ∴直线与相交． 故答案为：相交． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直接根据直线与圆的位置关系可得出结论． 解：∵的半径是2，圆心O到直线l的距离是，， ∴直线与相交． 故选：B． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：是的切线． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，切线的判定有关知识，过点O作，垂足为点，根据角平分线性质定理可得，从而可知为的切线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：证明：过点O作，垂足为点，如图， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴是的切线． 【题型2】已知直线和圆的位置求值　 【例题2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，由题意可得点的纵坐标为，分两种情况求解即可． 解：∵与轴相切，的半径为3， ∴点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， 此时的坐标为或， 当时，， 解得：， 此时的坐标为， 综上所述，圆心的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式1】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相离得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 【答案】当时，与射线没有公共点；当或时，与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点 【分析】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作于点N，求出，分情况讨论求解即可． 解：作于点N，如图， ∵， ∴， ∴当时，与射线OA只有一个公共点； 当时，与射线OA没有公共点； 当时，与射线OA有两个公共点； 当时，与射线OA只有一个公共点． ∴当时，与射线OA没有公共点；当或时，与射线OA只有一个公共点；当时，与射线OA有两个公共点． 【知识点二】切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【题型3】切线的证明　 【例题3】（24-25八年级下·北京·期末）如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线是的切线． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了切线的定义，要使得直线是的切线，只要使即可． 解：∵是⊙O的直径， ∴， ∴． 当时， 则，即， 又是的半径， ∴直线是的切线， 故答案为： （答案不唯一）． 【变式1】（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【知识点三】切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 【题型4】切线的性质　 【例题4】（2025·青海西宁·三模）如图所示，的两条切线和相交于点，与圆相切于两点，是圆 上的一点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理． 连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 【答案】33 【分析】本题考查了切线的性质，三角形的外角以及等腰三角形的性质，已知圆的切线常用的辅助线是连接圆心和切点． 连接，根据切线的性质可得是直角三角形，则的度数即可求得，然后根据等腰三角形的外角的性质即可求得． 解：连接， ∵是圆的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：33． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，平行线的性质可得出，然后根据垂径定理即可得证； （2）根据切线的性质以及（1）的结论可证明四边形是矩形，则，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求解即可． 解：（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵，， ∴． 【点拨】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识，熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 【题型5】切线的性质与判定综合　 【例题5】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是正方形，以点A为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点E，连接并延长，交于点F． （1）求证：． （2）若，求． 【答案】（1）见分析；（2）1； 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键合理的作出辅助线； （1）先根据全等三角形的判定定理得到三角形全等，根据切线的判定定理判定切线，进而可以得到答案； （2）设出未知数，根据正方形的性质用未知数表示出对应边的长度，运用勾股定理进而可以得到答案； 解：（1）解：如图，设的中点为O，连接， ， 在正方形中， 由题可知：， 又∵， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线， 又∵是的切线， ∴； （2）解：在正方形中， ， ∴，， 设为，则， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为1． 【变式1】（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 解：（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式2】（2023·陕西渭南·一模）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【知识点四】切线长定理 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 【要点说明】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【要点说明】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 【题型6】利用切线长定理求值　 【例题6】（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键， 利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解． 解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D， ∴，， ∵的周长为2，即， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 【题型7】利用切线长定理证明　 【例题7】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】见分析 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 解：证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【变式1】（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 解：证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 【变式2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． （1）求的长度； （2）求M、N两点的距离． 【答案】（1）米；（2）米． 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线的性质定理是关键． （1）连接，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）设线段与相交于点，证明垂直平分线段，由得到，即可得到答案． 解：（1）解：如图，连接， 由题意可得，均是的切线， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 即的长度为米； （2）设线段与相交于点， ∵均是的切线， ∴, ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴米， ∴米， 故M、N两点的距离为米． 【知识点五】圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【题型8】圆的外切四边形 【例题8】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 【变式1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点拨】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 【变式2】（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见分析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 解：∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点拨】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 【知识点六】三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 　　要点诠释： 　　（1） 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　（2） 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即（S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径）. 　　（3） 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形内部 内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条角平分线的交点 （1）到三角形三边距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； （3）内心在三角形内部. 【题型9】特殊三角形的内切圆　 【例题9】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，三角形的内切圆，熟练掌握一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的内切圆的性质是解题的关键．先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边边长，再结合切线长的性质，即可求解． 解：， ∴， 解得：， ∴直角三角形的两条直角边长分别为5，12， ∴斜边长为， 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，则直角三角形内切圆半径为（    ） A．12 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，利用内切圆半径（a、b为直角边，c为斜边）易得这个三角形的内切圆的半径． 解：因为直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，， 则这个三角形的内切圆的半径． 故选：B． 【变式2】如图，在中，，设为的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，连接，设的半径为r， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即此直角三角形的内切圆的半径为2． 故答案为：2 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，． （1）尺规作图：求作，使它与三边、、都相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题主要考查了作三角形的内切圆，切线长定理： （1）分别作的平分线交于点P，过点P作边的垂线，垂足为点E，再以点P为圆心，长为半径作圆，即可； （2）证明四边形为正方形，可得，再根据切线长定理可得，即可求解． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，设与三边、、的切点分别为F，E，D，连接，设的半径为r， ∵， ∴， ∵与三边、、都相切， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即的半径为2． 【题型10】一般三角形的内切圆　 【例题10】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． （1）求的长． （2）已知，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 解：（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 【变式1】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查三角形内切圆．如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得由此即可求解． 解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴， ∴ ， ∵的面积是24，周长为12， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为4， 故答案为：4． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 【答案】D 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径之间的关系即可解决． 解：设圆心O到直线l的距离为d， 根据题意，在直线l上存在一点P，使得， 因为垂线段最短，所以圆心O到直线l的距离，即， 又因为圆的半径，所以， 当时，直线l与相切； 当时，直线l与相交， 故直线l和的位置关系可能是相切或相交 故选：D． 2．（22-23九年级上·江苏泰州·月考）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 3．（11-12九年级上·河北·期末）如图，两个圆是以为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则下列结论可能错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，由切线的性质，可知，结合，可知，从而得出答案． 解：连接，如图所示： 两个圆是以为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于点， 不一定能得到， ，故B正确； 、都是大圆的半径， ，故D正确； ，故A正确； 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 5．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据切线长定理和勾股定理可得，进而可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质． 解：如图， 根据题意，得 ， 设圆O是等腰的内切圆，切圆于点D，切圆于点E， 连接， ∴， ∴， ∴， 根据切线长定理可知： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 6．（17-18九年级上·天津·期中）如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键． 作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 8．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点拨】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    【答案】/31度 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据切线的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 解：连接，    ∵与相切于点，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 10．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键． 由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长． 解：∵分别切于点A，B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知，，的长分别是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为 ． 【答案】 5 2 【分析】此题考查三角形的内切圆，解一元二次方程．先解一元二次方程可得和的长，根据勾股定理计算的长，进而解答即可． 解：∵和的长分别是一元二次方程的两根， 可得：， 解得或8， 不妨设， ∴，， ∵， ∴， 设圆O切于D，切于F，切于E，内切圆的半径为，连接、， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得，， ∴，即， ∴， ∴的外接圆的半径为5，内切圆的半径为2， 故答案为：5；2． 12．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【答案】130 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键，连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证． 解：证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 14．（2021·陕西·一模）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，需熟练掌握圆的相关性质，包括直径所对的圆周角为． （1）根据等边对等角可得，，由此可得，即可得平行，再由平行线的性质即可证明． （2）根据直径所对的圆周角为，可得，再设，由勾股定理即可求解． 解：（1）证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 与相切． （2）解：为的直径， ， ， 设，则， 在中，则， 又， 即， ， ． 15．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见分析；（2）1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 解：（1）证明：连接．    ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 16．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： （1）上面日记中“依据”指的是 ； （2）下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 （3）请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【答案】（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）B；（3）证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． （1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解； （2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解； （3）根据材料提示方法证明即可． 解：（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）解：根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围． 解：作于D，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴，即圆心C到的距离， ∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：． 故选：D． 2．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线以及含度角的直角三角形，分类讨论与半圆相切，半圆O与相切于点D，半圆O与相切三种情况即可求解； 解：①如图1，当点Q运动到与点B重合时，，与半圆相切，此时半圆O运动的距离为，所求运动时间． ②如图2，当半圆O与相切于点D时，则， ∵，，则，此时点O与点B重合， ∴半圆O运动的距离为，所求运动时间． ③如图3，当半圆O与相切时，此时点P与点B重合，半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 综上所述，t的值为或或． 故选：D． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，找到线段长度的最大值的条件成为解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，如图：过Q作，由垂径定理可得、，则可得；再根据勾股定理可得，则，即当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接， 再根据切线的性质证明可得，则，进而得到当三点共线时，的最大值为，进而确定线段长度的最大值即可． 解：如图：连接， ∵在中，， ∴， 如图：过Q作， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴当最大时，取最大值； 如图：设与的两边都相切于G、H，连接， ∵与的两边都相切且半径为1， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为． ∴取最大值为． 故选D． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（此时不合题意，舍去）． 故选D 二、填空题 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 设直线的解析式为，当直线与圆相切时切点为C，连接，则，由于直线与x轴正方向夹角为，所以是等腰直角三角形，故，再根据勾股定理求出的长即可． 解： ∵直线与x轴正方向夹角为， ∴设直线的解析式为，切点为C，连接， ∴， ∵的半径为1， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，， ∴． 8．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 【答案】 【分析】该题考查了切线的性质，一次函数与几何综合，得出点的运动轨迹是解题的关键． 根据题意得出点的运动轨迹为以4为半径的，得出当的图象与只有1个交点时，即与的图象相切，根据等面积法求解即可． 解：设， 则， ∵， ∴， ∴，且， 故点的运动轨迹为以4为半径的， 在中，令，则，即， 令，则，即， 则， 当的图象与只有1个交点时， 即与的图象相切， 此时， 如图，则，即， 解得：， 故答案为：． 9．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 10．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点拨】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 12．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且 （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）与相切，理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂直平分线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得为直径，再证，即可得解； （2）先证垂直平分，再利用等面积求出长即可． 解：（1）解：与相切，理由如下： 四边形内接于， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线，即与相切； （2）解：如图，记、交于点， ， ， ， 为直径， 垂直平分， ， ， ， 根据等面积可得， ． 14．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． （1）如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． （2）如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 【答案】（1）①（或）（答案不唯一）；②；（答案不唯一）；（2）见分析 【分析】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线； （2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线； 解：（1）解：①当（或）可判断为的切线； ②当， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 故答案为∶ ①（或）（答案不唯一）、②；（答案不唯一） （2）证明：如图，作直径，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴为的切线； 【点拨】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若时，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论． 解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ， ∴是的切线； （2）解：连接． ∵为半径， ∴是的切线， ∴， ， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 16．（18-19九年级上·北京昌平·期末）有这样一个问题： 如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.    小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令，，    设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，， 根据勾股定理得， 整理，得 所以 请你参考小冬的做法. 解决以下问题： （1）当时，求的面积； （2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 . 【答案】（1）35；（2） 【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题; （2）探究规律，利用规律即可解决问题． 解：（Ⅰ）如图，令    设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，，， 据勾股定理得， 整理，得 所以 （Ⅱ）由（1）可知： 【点拨】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.6 直线和圆的位置关系 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】直线和圆的位置关系 1 【题型1】判断直线和圆的位置关系 2 【题型2】已知直线和圆的位置求值 2 【知识点二】切线的判定定理 3 【题型3】切线的证明 3 【知识点三】切线的性质定理 3 【题型4】切线的性质 4 【题型5】切线的性质与判定综合 5 【知识点四】切线长定理 6 【题型6】利用切线长定理求值 6 【题型7】利用切线长定理证明 7 【知识点五】圆外切四边形性质 7 【题型8】圆的外切四边形 8 【知识点六】三角形的内切圆 8 【题型9】特殊三角形的内切圆 9 【题型10】一般三角形的内切圆 9 二. 同步练习​ 10 【基础巩固（16题）】 10 【能力提升（16题）】 14 1． 知识梳理与题型分类精析 【知识点一】直线和圆的位置关系 　　（1） 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　（2） 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3） 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到: 即：直线和⊙O相交； 直线和⊙O相切； 直线和⊙O相离； 【题型1】判断直线和圆的位置关系　 【例题1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，的半径为2，直线与相切，若某一条直线上存在点到圆心O的距离为，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的角平分线，，以点为圆心，为半径画圆，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：是的切线． 【题型2】已知直线和圆的位置求值　 【例题2】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为 ． 【变式1】（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 【知识点二】切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【题型3】切线的证明　 【例题3】（24-25八年级下·北京·期末）如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ，使得直线是的切线． 【变式1】（23-24九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【知识点三】切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 【题型4】切线的性质　 【例题4】（2025·青海西宁·三模）如图所示，的两条切线和相交于点，与圆相切于两点，是圆 上的一点，若，则 ． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长． 【题型5】切线的性质与判定综合　 【例题5】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是正方形，以点A为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点E，连接并延长，交于点F． （1）求证：． （2）若，求． 【变式1】（2024·安徽·二模）如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． （1）求证：是的切线；（2）若，，求的面积． 【变式2】（2023·陕西渭南·一模）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【知识点四】切线长定理 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 【要点说明】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【要点说明】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 【题型6】利用切线长定理求值　 【例题6】（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 【题型7】利用切线长定理证明　 【例题7】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【变式1】（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【变式2】（23-24九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． （1）求的长度； （2）求M、N两点的距离． 【知识点五】圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【题型8】圆的外切四边形 【例题8】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【变式1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【知识点六】三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 　　要点诠释： 　　（1） 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　（2） 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即（S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径）. 　　（3） 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形内部 内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条角平分线的交点 （1）到三角形三边距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； （3）内心在三角形内部. 【题型9】特殊三角形的内切圆　 【例题9】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，则直角三角形内切圆半径为（    ） A．12 B．2 C．3 D．6 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，． （1）尺规作图：求作，使它与三边、、都相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的半径． 【题型10】一般三角形的内切圆　 【例题10】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． （1）求的长． （2）已知，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知的半径为5，圆心O到直线l上一点的距离为5，则直线l和的位置关系可能是（  ） ①相交；②相切；③相离 A．①②③ B．② C．①③ D．①② 2．（22-23九年级上·江苏泰州·月考）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（11-12九年级上·河北·期末）如图，两个圆是以为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则下列结论可能错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 5．（2025九年级下·浙江·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 6．（17-18九年级上·天津·期中）如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 二、填空题 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ． 8．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    10．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，分别切于点A，B，，那么的长为 ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知，，的长分别是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为 ． 12．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    三、解答题 13．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 14．（2021·陕西·一模）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 15．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 16．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： （1）上面日记中“依据”指的是 ； （2）下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 （3）请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·河南周口·开学考试）如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ． 8．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 9．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 10．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为 ． 12．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    三、解答题 13．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且 （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 14．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知：内接于，过点A作直线． （1）如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ①___________；②_____________． （2）如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线． 15．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若时，求的长． 16．（18-19九年级上·北京昌平·期末）有这样一个问题： 如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.    小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令，，    设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，， 根据勾股定理得， 整理，得 所以 请你参考小冬的做法. 解决以下问题： （1）当时，求的面积； （2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $