精品解析：山东省日照市岚山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年度下学期期末质量检测八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在试卷和答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．第Ⅰ卷每题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不予评分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第I卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 7，24，25 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，12，13 2. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 4 6. 下表是小丽参加演讲比赛的得分表，她的总得分是（ ） 小丽 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 80 95 80 权重 A. 86 B. 85.5 C. 86.5 D. 88 7. 若，则一次函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 8. 下图是日照市2024年4月每日最低气温的统计图： 根据统计图提供的信息，下列四个结论中错误的是（ ） A 4月4日到4月5日气温下降幅度最大 B. 按每日最低气温由低到高排序，4月29日排在第30位 C. 4月份最低气温中位数比众数大 D. 在4月上旬（1～10日），中旬（11～20日）和下旬（21～30日）中，中旬最低气温的极差最小 9. 如图，函数和的图象交于，两点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 已知点，在的图象上， 且，则k的值可以是______（写出一个即可）． 13. 若一组数据的平均数是6，则这组数据的方差为______． 14. 如图，在中，边上的中线，的长度为_______． 15. 如图，正方形的边长为6，点是边的点，，点为对角线上的一个动点，则周长的最小值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，已知点O为对角线的中点，过点O的直线与，分别相交于点E，F，连接，．求证：四边形是平行四边形． 19. 正比例函数与一次函数的图象的交点坐标为，一次函数的图象与y轴的交点坐标为． （1）求正比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 20. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求： （1）墙的高度； （2）竹竿的长度． 21. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）． b．八年级学生成绩在这一组是： 81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； （3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 22. 首届全国职工马拉松系列赛事第一站（日照半程马拉松站）在5月19日鸣枪起跑．赛事项目分为半程马拉松，特色方阵领先跑，健康跑，其中“健康跑”起点为日照市人民广场，终点位于日照市规划展览馆．小林和爷爷参加健康跑项目，他们行程（单位：米）随时间（单位：分钟）变化的图象如图所示．根据图中信息回答以下问题： （1）小林出发时的速度为______米/分，爷爷的速度为______米/分； （2）由于体力不支，小林在第4分钟后降低速度，降速后小林速度是爷爷速度的，在第几分钟时爷爷追上小林？此时距终点还有多少米？ （3）被爷爷追上后，小林将速度恢复到出发时的速度，最终比爷爷提前到达终点，分别求小林跑完全程所用时间及整个跑步过程中爷爷和小林相距100米时的时间． 23. 在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动． （1）初步感知 如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 连接，则的形状是______三角形； （2）迁移探究 将矩形纸片换成正方形纸片，先完成（1）中的“操作一”，然后在上任选一点M（点不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，连接．请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由： ②若正方形纸片的边长为8，在以上探究中，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度下学期期末质量检测八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在试卷和答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．第Ⅰ卷每题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不予评分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第I卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 7，24，25 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等，逐项判断即可． 【详解】解：A、，该三角形符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故选项不符合题意； B、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故选项符合题意； C、，该三角形符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故选项不符合题意； D、，该三角形符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各点中，在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别将四个选项中的点的坐标代入已知解析式进行验证，即可得出答案． 【详解】解：A. 当时，，则不直线上，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，，则不在直线上，故该选项不正确，不符合题意； C. 当时，，则不在直线上，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时，，则在直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标的特点，熟练掌握函数图像上的点的坐标满足函数解析式是解题关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则计算即可． 【详解】A．，故不正确； B．与2不是同类二次根式，不能合并，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，，， ，， A、不一定平分，，不正确，故选项不符合题意； B、，但不一定平分，所以不正确，故选项不符合题意； C、，正确，故选项符合题意； D、平行四边形对角线互相平分，但不一定与边相等，所以，不正确，故选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ） A B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求得的长，结合数轴即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6. 下表是小丽参加演讲比赛的得分表，她的总得分是（ ） 小丽 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 80 95 80 权重 A. 86 B. 85.5 C. 86.5 D. 88 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：她的总得分是：（分． 故选：A 7. 若，则一次函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过第一、三象限；时，直线必经过第二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据，则，或，，分别根据，或，分析一交过后象限，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，或，， 当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限； ∴若，则一次函数的图象一定经过第一、四象限； 故选：D． 8. 下图是日照市2024年4月每日最低气温的统计图： 根据统计图提供的信息，下列四个结论中错误的是（ ） A. 4月4日到4月5日气温下降幅度最大 B. 按每日最低气温由低到高排序，4月29日排在第30位 C. 4月份最低气温的中位数比众数大 D. 在4月上旬（1～10日），中旬（11～20日）和下旬（21～30日）中，中旬最低气温的极差最小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图、中位数、众数和极差的定义，观察统计图降幅最大的那段可判断A选项，根据图中最高气温是4月29日，可判断B选项，找到中位数和众数可判断C选项，分别计算各极差，比较即可判断D选项． 【详解】A. 4月29日到4月30日气温下降幅度最大，A选项说法错误，符合题意； B. 4月29日的最低气温是，是所有最低气温中最高的，所以按每日最低气温由低到高排序，4月29日排在第30位，B说法正确，不符合题意； C. 4月份最低气温的中位数是，众数是10，所以4月份最低气温的中位数比众数大，说法正确，不符合题意； D. 4月上旬（1～10日）的极差是，中旬（11～20日）的极差是，下旬（21～30日）的极差是，，所以中旬气温的极差最小，说法正确，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，函数和的图象交于，两点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是两条直线相交问题，由函数和的图象相交于，两点，根据结合图象的位置关系，即可求出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知：当时x的取值范围为：． 故选：B． 10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出②错误；③点H与点A重合时，设，则，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点G与点A重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出③正确；④过点F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵将纸片沿直线折叠，点C落在边上的一点H处， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∴， ∴只有时平分，故②错误； ③若点H与点A重合时，如图： 设，则， 在中，， 即， 解得：， 若点E与点D重合时，， ∴， ∴线段的取值范围为，故③错误； ④当点H与点A重合时，过点F作于M， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，故④正确； 综上所述，结论正确的有①③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠问题，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 已知点，在的图象上， 且，则k的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．由时，，根据一次函数的增减性，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，在一次函数图象上，且， ∴y随着x的增大而减小， ∴， ∴k可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若一组数据的平均数是6，则这组数据的方差为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，先计算出x的值，再根据方差的计算公式进行计算． 【详解】解：∵一组数据的平均数是6， ∴， 解得：， ∴方差为：， 故答案为：8． 14. 如图，在中，边上的中线，的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理及逆定理；延长到E使，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，勾股定理的逆定理得，再由勾股定理即可求解；掌握判定方法及性质，能作出辅助线，用“倍长中线法”是解题的关键． 【详解】解：延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ； ∴ 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为6，点是边的点，，点为对角线上的一个动点，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理； 连接，，根据正方形的性质可得，证明B，P，E三点共线时，取最小值，最小值为的长，然后利用勾股定理求出，进而计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴点B，D关于对称， ∴， ∴， ∴当B，P，E三点共线时，取最小值，最小值为的长，即此时的周长取最小值， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，解题关键是掌握菱形的性质及分类讨论．根据菱形的特征求出四个顶点坐标，及对角线长度，然后分别求出直线、直线的解析式，根据菱形分成面积之比为的两个平行四边形，得一次函数分别平行于或，然后分类讨论分别求出一次函数k，b，即可得出函数解析式 【详解】解：菱形的四个顶点都在坐标轴上，， ∴，， ，，， 设直线的解析式为，将，代入得 解得：， 设直线的解析式； 设直线的解析式为，将，代入得 解得：， 设直线的解析式； ∵一次比例函数的图象将菱形分成两个平行四边形， ∴一次函数的图象平行于或， 当一次函数图象平行于时，交、于点M，N交y轴于点Q， ， 菱形分成两个平行四边形， ，， ， ∴； 或， ， ， ， ∴； 当一次函数图象平行于时， 同理可知：或， 或， 综上所述一次函数解析式为、、或． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先化简二次根式，在合并二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，在合并同类二次根式即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 如图，已知点O为对角线的中点，过点O的直线与，分别相交于点E，F，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定与性质，利用证明，得出，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】证明：∵点O为对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 19. 正比例函数与一次函数的图象的交点坐标为，一次函数的图象与y轴的交点坐标为． （1）求正比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）正比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 （2）的面积为6 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及三角形的面积的计算， （1）把交点代入正比例函数，把交点，交点代入一次函数，计算即可； （2）根据点A、B的坐标分别求出点A离y轴的距离以及的长，再根据三角形的面积公式，列式计算即可； 熟练掌握其性质是解决此题关键． 【小问1详解】 ∵正比例函数的图象经过， ∴，即， ∴正比例函数的解析式为； ∵一次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴点A离y轴的距离为， ∴的面积． 20. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求： （1）墙的高度； （2）竹竿的长度． 【答案】（1）4米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算． （1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； 【小问2详解】 解：米． 答：竹竿的长度为米． 21. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）． b．八年级学生成绩在这一组的是： 81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； （3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】（1）83.5； （2）小宇，理由见解析； （3）105人． 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案； （3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案． 【小问1详解】 八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84 故中位数； 【小问2详解】 小宇； 理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前； 【小问3详解】 （人）， 估计八年级获得优秀奖的学生有105人 【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． 22. 首届全国职工马拉松系列赛事第一站（日照半程马拉松站）在5月19日鸣枪起跑．赛事项目分为半程马拉松，特色方阵领先跑，健康跑，其中“健康跑”起点为日照市人民广场，终点位于日照市规划展览馆．小林和爷爷参加健康跑项目，他们的行程（单位：米）随时间（单位：分钟）变化的图象如图所示．根据图中信息回答以下问题： （1）小林出发时的速度为______米/分，爷爷的速度为______米/分； （2）由于体力不支，小林在第4分钟后降低速度，降速后小林速度是爷爷速度的，在第几分钟时爷爷追上小林？此时距终点还有多少米？ （3）被爷爷追上后，小林将速度恢复到出发时的速度，最终比爷爷提前到达终点，分别求小林跑完全程所用时间及整个跑步过程中爷爷和小林相距100米时的时间． 【答案】（1）250；200 （2）8分钟后爷爷追上小林，此时距终点还有米； （3）11.6；第2或6或10或分钟时，爷爷和小林相距100米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． （1）根据路程÷时间可求出结论； （2）设分钟后爷爷追上小林，即由爷爷的路程=小林的路程列出方程求解即可，求出追及的路程即可求出距终点还有多少米； （3）分，，，四种情况列方程求解即可 【小问1详解】 解：小林出发时的速度为米/分， 爷爷的速度为米/分， 故答案为：250；200； 【小问2详解】 解：设分钟后爷爷追上小林，根据题意得， 解得，， 即：8分钟后爷爷追上小林，此时，爷爷的路程为米， 此时距终点还有米； 【小问3详解】 解：小林跑完全程需要的时间为：分钟； ①当时，设所用时间为t分钟，根据题意得， 解得， 即第2分钟时，爷爷和小林相距100米； ②当时，设所用时间为t分钟，根据题意得， 解得， 即第6分钟时，爷爷和小林相距100米； ③当时，设相遇后所用时间为p分钟，根据题意得， ， 解得，， 所以，， 即第10分钟时，爷爷和小林相距100米； ④当时，设小林到终点后，爷爷所用时间为q分钟，根据题意得， ， 解得，， 所以，， 即第分钟时，爷爷和小林相距100米； 综上，第2或6或10或分钟时，爷爷和小林相距100米； 23. 在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动． （1）初步感知 如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 连接，则的形状是______三角形； （2）迁移探究 将矩形纸片换成正方形纸片，先完成（1）中的“操作一”，然后在上任选一点M（点不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，连接．请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由： ②若正方形纸片的边长为8，在以上探究中，当时，求的长． 【答案】（1）等边 （2）①，，理由见解析；②或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得得，再次折叠得，等量代换问题可求解； （2）①根据折叠性质可证即可求解；②分两种情况，当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的下方时，设，分别表示出，，有勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ，， ， ， ， 再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段， ， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边； 【小问2详解】 解：①如图2，，，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由翻折可知，， ， ， ， ， 由翻折可知：，， ； ②当点Q在点F的下方时，如图2， ， ， ，， ， 由①知， 设，， ， ， 解得：， ， 当点Q在点F的上方时，如图3， ，， ， 由①知：， 设，， ， ， 解得：， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$