培优02 与三角形有关的角（3种题型12重难点突破）（专项训练）数学人教版2024八年级上册

培优02 与三角形有关的角 （3种题型12重难点突破） 题型1 三角形的内角和 三角形的内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°． 三角形的内角和定理的应用： （1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数； （2)在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数； （3)在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数. 重难点一 利用三角形内角和求角 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少． 【答案】36度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出． 由直角三角形的性质求出，由角平分线定义得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，即可得到． 【详解】解：∵于， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解答： (1)在等腰中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，求等腰三角形的底边长． (2)已知在等腰中，的外角为，求的顶角度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知等腰三角形的周长是，设等腰三角形的腰长、底边长分别为、，由题意可得或，解方程组即可求得等腰三角形的底边长； （2）由邻补角互补可得，然后分两种情况讨论：是顶角时，是底角时，分别求解即可． 【详解】（1）解：一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分， 等腰三角形的周长是：， 设等腰三角形的腰长、底边长分别为、， 由题意可得： 或， 解得：或（不合题意，故舍去）， 等腰三角形的底边长为； （2）解：的外角为， ， 分两种情况讨论： 是顶角时， 此时，的顶角度数是； 是底角时， 此时，的顶角度数是： ； 综上，的顶角度数是或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，构成三角形的条件，利用邻补角求角度，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】解：（1）是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”， ， ，解得， ； （2）∵，， ∴, 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 且,, 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 重难点二 利用直角三角形两锐角互余求角 4．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）若三角形分别满足以下条件：①，；②；③；④；⑤则其中能判断直角三角形的个数是 个 【答案】 【分析】此题考查三角形的内角和定理：掌握三角形的内角和是解决问题的前提．利用三角形的内角和定理分别求得最大角的度数，进一步判断即可． 【详解】解：①，判定三角形是直角三角形，故①符合题意； ②，， 两式相加得，故是直角三角形，故②符合题意； ③， ∴设，则 ∵ ∴， ∴ ∴三个内角为，故不是直角三角形，故③符合不题意；； ④∵ ∴设， ∵ ∴， ∴ ∴，故是直角三角形，故④符合题意； ⑤由条件得到，，而，求出，得到，判定三角形是直角三角形，故⑤符合题意． 其中能判断直角三角形的个数是个． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系， 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，, ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 重难点三 三角形内角和与平行线、角平分线的综合运用 7．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得出，即可求出答案； （2）根据垂直定义得出，根据直角三角形的两锐角互余得出，求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． 8．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，下图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东，岛在岛的北偏西方向．一艘轮船上午时从处以海里/小时的速度沿直线向岛航行，上午时到达岛．（轮船航行不考虑洋流风速影响） (1)求从C岛看A、B两岛的视角； (2)轮船上午11点从岛出发，按原速航行，轮船最快什么时间到达C岛？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，根据两直线平行同旁内角互补，三角形内角和定理，方向角的意义，解答即可． （2）利用直角三角形的性质，行程的关系解答即可． 本题考查了方向角的理解，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ，． 则． ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解： 一艘轮船上午时从处以海里/小时的速度沿直线向岛航行，上午时到达岛． ∴海里 ，， 又 ， 故用时为：． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 重难点四 三角形内角和与三角板的综合运用 10．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)①，② (2)，理由见解析 (3)、、、、 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，三角形内角和定理，角的和差计算． （1）①由角的和差运算求解即可；②由角的和差运算求解即可； （2）由角的和差运算求解即可； （3）分五种情况讨论，根据平行线的性质，三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：①，， ， ， ， 故答案为：； ②，， ， ， 故答案为：； （2）解：猜想：， 理由如下：， 又， ， 即； （3）解：的度数为、、、、． 理由：当时，如图1所示： ， ； 当时，如图2所示： ； 当时，如图3所示： ， ； 当时，如图4所示： ， ； 当时，延长交于，如图5所示： ， ，， ， ． 综上：所有满足条件的的度数为、、、、． 11．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【答案】（1）50；（2）不变化，；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理： （1）根据三角形内角和为先求出，再求出，则，问题得解． （2）利用（1）的方法即可作答 （3）利用（1）的方法即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （2）不发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （3）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． 12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点． (1)判断之间的关系，并说明理由； (2)若． ①用含的代数式表示的度数； ②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． （1）作，根据，得出，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）①设，则，，根据，得出，结合平分，，即可得出，解得，由（1）得即可求解； ②当时，，，，分为（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，即与在同一直线上时，（iv）当时，（v）当时，分别画图求解； 【详解】（1）解：． 理由如下： 作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得； ②解：当时，，，， （i）当时，延长交边于P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当绕E点旋转时，， ∴； （ii）当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当绕点E旋转时，， ∴； （iii）当时，即与在同一直线上时， ∴， ∴当绕点E旋转时，， ∴， （iv）当时， ∵， ∴． ∴当旋转时，． ∴； （v）当时， ∵，， ∴． ∴当旋转时，． ∴， 当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒． 重难点五 由三角形内角和定理探究角度之间的关系 13．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图：在中，．    (1)若，求的度数； (2)若，，求和的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出代数式解答． （）根据等腰三角形的性质解答即可； （）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及外角的性质，得出数量关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 14．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在中，平分，．    (1)如图1，若于点D，，，求的度数； (2)如图2、3，若点P是射线上一动点，过点P作于点G，直接写出与，之间的数量关系 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）如图2，先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可,；如图3，先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可． 【详解】（1）解：如图1，、， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由是：如图2，过作于，   ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 如图3，过作于，   ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 综上所述，， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江西赣州·期中）（1）如图1，在中，点在延长线上，点在线段上，连接交于点和的平分线交于点． ①若，，则的度数为_____； ②猜想出、和之间的数量关系为_____，并证明； （2）如图2，在中，点在线段上，点在延长线上，连接交于点，和的平分线交于点，直接写出和之间的数量关系为_____． 【答案】（1）①；②，见解析；（2） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练应用内角和定理是解题的关键． （1）①连接，利用三角形内角和定理求得，结合角平分线得，即可求得，则可求出； ②根据三角形内角和得，结合角平分线得，则，则可得出； （2）连接，根据三角形内角和得，结合角平分线得，则，则可得出； 【详解】（1）①如图，连接， ，， ，， ， 和的平分线交于点， ， ， ， ． ②，证明如下， 在中，， ， ， 和的平分线交于点， ， ， ， ， ． （2）如图，连接， 在中，， ， ， ， ， 和的平分线交于点， ， ， ， ， ． 16．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解即可； （2）根据三等分角，求出，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． （3）根据三等分角，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵、把三等分，把三等分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵把三等分，把三等分， ∴， ∴； ∴． 题型2 三角形的外角 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【解读】三角形外角性质的常见应用： 1）已知三角形的一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角； 2）证明一个角等于另两个角的和； 3）作为中间关系证明两个角相等. 重难点一 由三角形的外角性质求角度 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图所示，，，，则四边形外的角 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是作出辅助性构造出三角形的外角．连接并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长， 则，， ， ，，， ． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解； ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D在边上，平分，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形的性质，关键是运用相应的性质解题． 延长交于点，由等角的余角相等得，根据直角三角形两锐角互余求得，在中，由三角形外角的性质得即可求解． 【详解】解，如图，延长交于点， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 4．（20-21七年级下·江苏宿迁·期中）如图，某机器零件的横截面如图所示，按要求线段和的延长线相交成直角才算合格．一工人测得，，，请你帮他判断该零件是否合格 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题关键．延长相交F，连接F、E并延长至G．根据三角形的外角的性质可得再根据即可作出判断． 【详解】解：延长相交F，连接F、E并延长至G， 则有 ∵， ∴． 所以零件不合格． 故答案为：不合格． 重难点二 三角形的外角性质与平行线、角平分线的综合运用 5．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小； （3）设，则，得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出x的值，再求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵的周长为，， ∴设，则， ∵是的中线， ∴， 则， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上可知：或． 6．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【答案】（1）20；（2）；（3）200 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20； （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； 故答案为：200． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点M，N分别在直线，上，点H是直线与外一点，连接，． (1)【问题初探】若，，则的度数为______． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数用含x，y的式子表示 ②在①的条件下，如图3，若平分，平分，可得，平分，平分，可得依次平分下去，则的度数为______用含x，y的式子表示 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)① ；② (3)理由见解析 【分析】过点H作，利用两直线平行，内错角相等，推出，，利用角的和，通过等量代换即可求出的度数． 利用第一问的方法推出，结合角平分线的定义即可推出，从而求出的度数；利用相同的方法，求出和的度数，发现之间规律，从而求出度数． 过点H作，利用两直线平行，内错角和同位角相等，推出，，结合外角定义，利用已知条件，通过等量代换即可求出与的数量关系． 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，外角定义，解题的关键在于学会掌握过拐点作平行线以及通过求角度，发现角度之间的规律问题． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示， ， ， ，， ，， ， 故答案为： （2）解：① 过点作，如图所示， ， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ，， ， ② 解：按照上述方法可知， 平分，平分，， ， 同理可得， ， 故答案为： （3）解： 理由：过点P作交于点G，如图所示， ，， ，， ， ，， ， 故与之间的数量关系为： 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，，是的外角，的平分线所在的直线分别与，的平分线，交于点，． 图①　　　　　图② (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图②，把截去，得到四边形，则，，之间有什么样的关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由角平分线定义得，．再根据三角形的外角性质得，从而即可得解； （2）由角平分线及平角定义得，即．由可知，，从而即可得解； （3）延长，交于点，则，再根据，可得． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 由可知，， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，延长，交于点， 则， 由可知，， ∴． 【点睛】本题考查了邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线定义，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 重难点三 由三角形的外角性质确定角度之间的关系 9．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 【答案】（2），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答； （2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答； （3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答； （4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是∠ABC的平分线， ∴， 同理可得： ∴， ∵在中，， ∴； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 11．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究． (1)已知：如图，在中，和的平分线相交于点P，试探究和的关系．请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）． 解：延长交于点D． ，（__________）， ． 和的平分线相交于点P， ，（角平分线定义）， ． （__________）， （等式的性质）， __________． (2)如图，在中，的平分线和外角的平分线相交于点P，试探究和的关系，并说明理由． (3)如图，的外角的平分线和的平分线相交于点P，若，则的度数为__________． 【答案】(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了是角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理； （1） 根据提供的信息，，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，，在同一个三角形内，属于三角形内角和定理，然后根据等式的性质整理即可得到结论； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得，，再利用角平分线得定义得，， ，然后整理即可得到和的关系的关系； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出，，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：延长交于点D． ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 和的平分线相交于点P， ，（角平分线定义）， ． （三角形的内角和是）， （等式的性质）， ． 故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是；； （2）解：，， 的外角的平分线和的平分线相交于点P， ，， ， ， （3）， ， ，， 的外角的平分线和的平分线相交于点P， ，， ． 故答案为： 重难点四 与三角形的外角性质有关的规律探究 12．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，…，按此规律，记，，…，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，，进而求得，进而求解即可 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故， ， ， 故答案为： 14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点．    （1）的度数为 ； （2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为 ． 【答案】 3 【分析】（1）根据三角形内角和为，可以得到，再根据三角形外角可以得到，即，即可得到结果； （2）根据，是角平分线，可以得到，进而可以求得，同理可得，无法求得，此时可求得结果． 【详解】解：（1）由图可得：    ∵， ∴， ∴， ∵，是角平分线， ∴， ∴； （2）∵，是角平分线， ∴， ∴， ， 同理可得， ∴， 则， 此时若再作出，则可类比上述过程得到，无法组成三角形， 即此时两条角平分线无交点， 故； 故答案为：；3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，找到各个角度之间的关系是解题的关键． 15．（23-24八年级上·江西赣州·期中）如图，纸片上有个不同的点（，任意3个点不在同一直线上），探索角星的角度和的规律．    (1)如图1，当时，______； 如图2，当时，______； 如图3，当时，______． (2)①用含的式子表示：_______． ②当时，_______． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，三角形内角和定理，三角形外角的性质，四边形内角和定理等等，正确根据多边形内角和定理找到规律是解题的关键． （1）如图1，利用三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理即可得到答案；如图2，根据三角形内角和定理得到，；如图3，利用四边形内角和定理得到，，再由平角的定义和三角形内角和定理推出，据此可得答案； （2）①根据（1）所求可得规律；②根据规律代入进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，由三角形外角的性质可得， ∴；    如图2所示，∵，， ∴ 如图3所示，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，    故答案为：，，； （2）解：①当时，； 当时，； 当时，； ……， 以此类推，， 故答案为：； ②当时，， 故答案为：． 重难点五 三角形内角与外角综合问题 16．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)当垂直三角形中的一边时的度数为或或 【分析】本题主要考查图形平移的性质，三角形内角和定理，外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质得到，则，即可求解； （2）根据三角形的外加得到，可求出，则，由此即可求解； （3）根据直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质，分类计算即可． 【详解】（1）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，时， ∵， ∴， ∴当时，，即； 如图所示，时， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴； 如图所示，时，垂足为点， ∵在三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当垂直三角形中的一边时的度数为或或． 17．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，外角和性质，多边形内角和等． （1）根据可得，再利用角平分线定义可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据角平分线定义得出，再由四边形内角和定理可得结论； （3）先求出，后得到，，，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵作外角，的角平分线交于点， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 19．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． (1)若，求的度数． (2)在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数．若变化，请说明理由． (3)如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点、．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)的度数不变，； (3)等于或． 【分析】（1）由垂直的定义得，结合，可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，，，进而得到，推出，根据三角形外角性质可推出，然后分4种情况讨论：①当时，②当时， 当时，当时． 【详解】（1）解：直线与互相垂直，垂足为， ， ， ， 平分交于点，平分， ，， ； （2）解：的度数，． 直线与互相垂直，垂足为， ， 是的外角，设， ， 平分交于点，平分， ， ， ， 的值不变，且； （3）解：平分，平分，平分， ，，， ， 在中， 是的外角，是的外角， ；， ，即， 一个角是另一角的倍， 由图可知，可分种情况讨论： ①当时， ， ， ； ②当时， 即， ， ； 当时， ， ， 不符合题意，应舍去； 当时， 即， ， 不符合题意，应舍去； 综上所述，等于或． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，垂直的定义等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 20．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，中，，点在所在的直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握相关定理，并能正确识图是解题关键． （1）根据三角形内角和定理求出从而求得，然后根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求得； （2）根据三角形外角的性质求出，再根据等边对等角求得，从而求得，再根据三角形外角的性质即可求得； （3）分当点D在点B的左侧时，当点D在线段上时和当点D在点C右侧时利用三角形外角的性质和内角和定理，借助方程思想即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设，，， ①如图1，当点D在点B的左侧时， ∴， 两式相减得，， ∴； ②如图2，当点D在线段上时， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当点D在点C右侧时， ∴， 两式相减得，， ∴． 综上所述，与的数量关系是． 题型3 三角形的折叠求角 重难点一 不压边（向内翻折） 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】（1）80，110，；（2），见解析；（3）117 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，从而得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，同理求解即可； （2）由三角形外角的定义及性质得出，，整理即可得解； （3）由（2）可得，再由角平分线的定义并结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ∴，， ∴，． 在中，， ， 整理，得． 同理可得：若，则． 若，则． （2）．理由： ∵，是的两个外角， ∴，， ， ，即． （3）， 由（2），得， ． 平分，平分， ， ． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点处，求证 （2）如图2，BI平分，CI平分，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； （3）如图3，在锐角△ABC中，于点F，于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查翻折的性质，垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键； （1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，，进而求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明连结， ， ∴又 ∴ （2）又（1）知： ∴∴ ∴ 又∵BI平分，CI平分 ∴ ∴ （3）与的关系是： 证明：∵． ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 重难点二 压一边（向外翻折） 3．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据，可得． （2）由折叠的性质可得，再根据，代入数值化简，即可得到． （3）根据，可得，再由，即可得到． 【详解】（1）解：如图，，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，猜想：，理由是： 由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：如图，，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 5．（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________． 【答案】（）；（）；（），见解析；（） 【分析】（）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论； （）连接，根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论； （）根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论； （）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨即可得到答案； 本题考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的外角的性质与四边形的内角和定理是解题的关键． 【详解】研究（）：根据折叠的性质可知， ∴， 故答案为：； 研究（）：连接， 则， ∴； 故答案为：； 研究（）：猜想： 理由：由图形的折叠性质可知 ， ∵ ∴， 得 ∴ 研究（）：由根据折叠的性质可知 ，， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优02 与三角形有关的角 （3种题型12重难点突破） 题型1 三角形的内角和 三角形的内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°． 三角形的内角和定理的应用： （1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数； （2)在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数； （3)在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数. 重难点一 利用三角形内角和求角 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，平分，过点A作于E，交于点．求的度数为多少． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解答： (1)在等腰中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，求等腰三角形的底边长． (2)已知在等腰中，的外角为，求的顶角度数． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 重难点二 利用直角三角形两锐角互余求角 4．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）若三角形分别满足以下条件：①，；②；③；④；⑤则其中能判断直角三角形的个数是 个 5．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 重难点三 三角形内角和与平行线、角平分线的综合运用 7．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F．    (1)求的度数； (2)求的度数． 8．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，下图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东，岛在岛的北偏西方向．一艘轮船上午时从处以海里/小时的速度沿直线向岛航行，上午时到达岛．（轮船航行不考虑洋流风速影响） (1)求从C岛看A、B两岛的视角； (2)轮船上午11点从岛出发，按原速航行，轮船最快什么时间到达C岛？ 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 重难点四 三角形内角和与三角板的综合运用 10．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 11．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点． (1)判断之间的关系，并说明理由； (2)若． ①用含的代数式表示的度数； ②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值． 重难点五 由三角形内角和定理探究角度之间的关系 13．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图：在中，．    (1)若，求的度数； (2)若，，求和的数量关系． 14．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在中，平分，．    (1)如图1，若于点D，，，求的度数； (2)如图2、3，若点P是射线上一动点，过点P作于点G，直接写出与，之间的数量关系 ． 15．（24-25八年级上·江西赣州·期中）（1）如图1，在中，点在延长线上，点在线段上，连接交于点和的平分线交于点． ①若，，则的度数为_____； ②猜想出、和之间的数量关系为_____，并证明； （2）如图2，在中，点在线段上，点在延长线上，连接交于点，和的平分线交于点，直接写出和之间的数量关系为_____． 16．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 题型2 三角形的外角 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【解读】三角形外角性质的常见应用： 1）已知三角形的一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角； 2）证明一个角等于另两个角的和； 3）作为中间关系证明两个角相等. 重难点一 由三角形的外角性质求角度 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图所示，，，，则四边形外的角 ． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图， ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D在边上，平分，，若，，则 ． 4．（20-21七年级下·江苏宿迁·期中）如图，某机器零件的横截面如图所示，按要求线段和的延长线相交成直角才算合格．一工人测得，，，请你帮他判断该零件是否合格 （填“合格”或“不合格”）． 重难点二 三角形的外角性质与平行线、角平分线的综合运用 5．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 6．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点M，N分别在直线，上，点H是直线与外一点，连接，． (1)【问题初探】若，，则的度数为______． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数用含x，y的式子表示 ②在①的条件下，如图3，若平分，平分，可得，平分，平分，可得依次平分下去，则的度数为______用含x，y的式子表示 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，，是的外角，的平分线所在的直线分别与，的平分线，交于点，． 图①　　　　　图② (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图②，把截去，得到四边形，则，，之间有什么样的关系？请说明理由． 重难点三 由三角形的外角性质确定角度之间的关系 9．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 10．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 11．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究． (1)已知：如图，在中，和的平分线相交于点P，试探究和的关系．请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）． 解：延长交于点D． ，（__________）， ． 和的平分线相交于点P， ，（角平分线定义）， ． （__________）， （等式的性质）， __________． (2)如图，在中，的平分线和外角的平分线相交于点P，试探究和的关系，并说明理由． (3)如图，的外角的平分线和的平分线相交于点P，若，则的度数为__________． 重难点四 与三角形的外角性质有关的规律探究 12．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 13．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，…，按此规律，记，，…，，则的值为 ． 14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点．    （1）的度数为 ； （2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为 ． 15．（23-24八年级上·江西赣州·期中）如图，纸片上有个不同的点（，任意3个点不在同一直线上），探索角星的角度和的规律．    (1)如图1，当时，______； 如图2，当时，______； 如图3，当时，______． (2)①用含的式子表示：_______． ②当时，_______． 重难点五 三角形内角与外角综合问题 16．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 17．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 18．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 19．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． (1)若，求的度数． (2)在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数．若变化，请说明理由． (3)如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点、．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 20．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，中，，点在所在的直线上，点在射线上，且，连接． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 题型3 三角形的折叠求角 重难点一 不压边（向内翻折） 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点处，求证 （2）如图2，BI平分，CI平分，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； （3）如图3，在锐角△ABC中，于点F，于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论． 重难点二 压一边（向外翻折） 3．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张纸片，点分别是边上两点，若沿直线折叠． (1)如果折成图①的形状，使点落在上，则与的数量关系是____． (2)如果折成图②的形状，猜想与的数量关系是______； (3)如果折成图③的形状，猜想和的数量关系，并说明理由． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 5．（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点． 研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________； 研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由； 猜想：________； 理由： 研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$