培优01 空间角与空间距离8大考法归类（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

培优01空间角与空间距离8大考法归类 题型1 求异面直线所成的角 用空间向量法求异面直线夹角的步骤： ①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 1．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 2．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 【答案】 【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为. 故答案为： 3．如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面， 所以，因为正四棱锥， 所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， 所以， ， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 4．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 题型2 求直线与平面所成的角 用空间向量法求线面夹角的步骤： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 5．在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 6．在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点O，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为. 又，设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 7．如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积 ，直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】（1）运用台体体积公式计算，. （2）建立如图空间直角坐标系，则，， 所以. 设平面的法向量为，则取， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 8．在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为为中点， 所以，， 即为等边三角形，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）由（1）可知，为三棱锥的高， ， 所以； （3）由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， ,,，,， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为．    9．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴且， 又，，则且， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）取的中点为，连接，因，则， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又面，则， 又，，，则，故，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即平面的一个法向量为； ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 题型3 求二面角（平面与平面）所成的角 用空间向量法求面面夹角的步骤： ①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 10．已知长方体中，，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以． 设平面的法向量为， 则， 令，则． 易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 故选：A． 11．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 12．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装礼盒．包装礼盒如图所示，与均为正三角形，平面平面，点在底面上的投影分别是线段的中点，，且三棱锥的体积为，则平面与平面所成角的余弦值为 ． 【答案】/0.125 【详解】取中点，连接，则平面，所以为三棱锥的高， 所以三棱锥的体积为，解得． 连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 设平面的法向量为，则 取，则， 同理平面的法向量为， 则，所以平面与平面所成角的余弦值为． 故答案为： 13．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若，求侧面与底面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解法1：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 解法2：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 因为平面，平面，直线直线， 所以平面平面，又平面，所以平面． （2）解法1：取的中点，的中点，连接，， 因为为正三角形，所以， 因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面， 又，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 又，故，，， 故，，，，， 设平面的法向量为， 则即 解得，令，则，所以， 又底面的法向量为， 设侧面与底面所成角大小为， 所以， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 解法2：取的中点，的中点，连接，，， 由题意易得，， 因为是的中点，所以， 又，所以是二面角的平面角， 因为为正三角形，所以， 又因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面，， 又，所以，，， 所以由余弦定理得， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 14．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意：，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，且四边形为梯形，且，所以与必相交， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系，因为平面，所以轴. 设，，则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 设平面的法向量为，则 ，取. 所以，，. 所以， 所以，即二面角所成平面角的正弦值为. 题型4 已知空间角求其它 15．在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图， 以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由得，，即， 所以，， 设面的法向量为：，则 取， 取面的法向量为：， 设二面角为， 由得，，则， 所以， 故选：C. 16．四棱锥中，底面为矩形，底面为线段上一点，，当异面直线与所成角的正切值为时，三棱锥的体积为 ． 【答案】 【详解】四棱锥的底面为矩形，且平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则，， 设异面直线与所成角为，即，则，解得， 于是， 整理得，即，而，解得， 因此为的中点，， 所以三棱锥的体积为. 故答案为：    17．如图，在三棱锥中，，，点在棱上（不与端点重合），直线与平面所成角的正弦值为． (1)求异面直线，所成角的正弦值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为，所以，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以异面直线，所成角的正弦值为． （2）如图，因为，易知，则， 取的中点，连接，易知，又平面，易知两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设，易得，，则，，，， 则，，设，， 则，故， 设平面的法向量为，则， 令，则，设直线与平面所成角为， 则， 解得或， 所以使得直线与平面所成角的正弦值为， 则点位于棱上靠近点或点的四等分点处， 所以或. 18．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点O，连接，由是等边三角形，是等腰三角形， 得，，又平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内射影为直线， 即为与底面的夹角，， 由正边长为4，，得，， 在中，由余弦定理得， 而，解，因此，， 又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，由与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，而，解得， 所以 19．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 题型5 求点到直线的距离 用向量法求点到直线的距离： ①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 20．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 21．在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】由题意，直线为，经过点， 且为一个方向向量， 所以， 故点到直线的距离为. 故答案为：. 22．已知是正方体，点为的中点，点为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故，故， 所以； （2）由图可知，平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 平面与平面夹角的余弦值为； （3），，， 点到直线的距离为 . 题型6 求点面、异面直线的距离 用向量法求点到平面的距离： ①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式、 用向量法求异面直线的距离： ①确定两异面直线的方向向量，求与两者都垂直的公垂向量； ②在两直线上各取一点，得连接两点的向量；③代入距离公式 23．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 24．已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 【答案】 【详解】因为AB、AC、AD两两垂直，以点A为坐标原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面BCD的一个法向量为， ， 令，则， 则顶点A到平面BCD的距离， 即顶点A到平面BCD的距离为． 故答案为： 25．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 26．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，三角形是正三角形，M是棱的中点.    (1)证明：； (2)若二面角为，求点M到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析; (2). 【详解】（1）    证明：取与中点，.连接，，，， 则运用中位线性质知，且，， 则，，则四边形是平行四边形， 又因为是正三角形，为中点， 所以， 底面是菱形，，则是正三角形，则，，平面，平面， 平面，， 由于四边形是菱形，四边形是平行四边形，所以，， . （2）由（1），则过做的垂线，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系如图，    由二面角为，可得， 因为，四边形是菱形，可得， 又因为三角形是正三角形，可得，所以可得， 则，，，， 由M是棱的中点，可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故法向量为， 又由， 所以M到平面的距离， 故M到平面的距离为. 27．如图（1），四边形ABCD中，，分别为的中点，现以AC为折痕把折起，使点到达点的位置（如图（2）），且． (1)证明：平面平面ACD； (2)若为PD上的一点，平面ACM与平面ACD的夹角为，求点到平面ACM的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在中，由，得， 在中，，而， 由余弦定理，得，则， 即，由，得，则， 又平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）连接，由分别为的中点，得，由（1）得平面， 由，得，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由点在PD上，令， 设平面的法向量，则，取，得， 而平面的法向量，则，解得， 于是，而，则点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 题型7 已知距离求其它 28．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【详解】（1）连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 29．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度； (3)若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面为直角梯形，且，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 过点可以作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面，平面，所以， 在梯形中，由∥,得， 所以， 所以∥， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 可得， 又因为，所以，即. （3）以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， ，，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 点到平面的距离为，解得， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设与平面所成角为， 则，即与平面所成角的正弦值为. 30．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，如图1所示， 因为底面是矩形，所以是的中点， 因为是的中点，所以在中， 是中位线，所以， 因为平面平面， 所以平面； （2）如图2，因为底面，所以，， 又在矩形中，，所以两两垂直．以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以 所以， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， ， 设直线与平面所成的角为， 则， ， ， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）知平面的一个法向量为， 设，， 则，又， 则，所以， ， 设点到平面的距离为， 则，得， 解得或（舍去）， 又，故， 所以的长度为． 31．如图，在三棱锥中、底面ABD，．动点C在平面ABD内、且点A，C在直线BD两侧． (1)若四边形ABCD为正方形，求直线PC与平面PAB所成角的大小； (2)若点C到平面PBD的距离为、求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）底面ABD，平面， 所以，， 因为，四边形ABCD为正方形，所以， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，，， 设平面PAB的一个法向量为，则， 所以，解得，令，则，故， 直线PC与平面PAB的所成角为， 所以， 所以直线PC与平面PAB的所成角的大小为； （2）过A作直线平面ABCD，又， 以A为原点，AB，AD，AW所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，设点， 可得，，， 设平面PBD的一个法向量为，则， 所以，解得，令，则，得， 设点C到平面PBD的距离为d， 则， 所以或， 因为点A，C在直线BD两侧，故，故舍去， 直线PB的单位方向向量为， 设C点到直线PB的距离为， 其中 则 ， 当且仅当时取等号， 综上，的面积 32．如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：设，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以是中点， 又因为是的中点，所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为直线垂直于梯形所在的平面，，平面，， 所以，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示坐标系， 由题意可知，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，则， 取可得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 故直线与平面所成角的余弦值为． （3）在（2）所建空间直角坐标系中， 设， 由（2）可知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，解得， 又因为，所以， 即的长为． 题型8 空间角、空间距离的最值范围 33．如图，在四棱锥中，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD的交点为O，且平面ABCD，是等边三角形，点E是线段AD上的动点． (1)证明：； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值的最大值，并指出点E此时所在的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3)，点E在线段AD上靠近D点的处． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，PO、平面，所以平面， 又平面，所以． （2）过P在平面内作于H，连接OH， 因为平面，平面，所以， 又，PO、平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以， 由， 得， 在直角中，， 所以二面角的平面角的正切值为2． （3）因为，且平面，平面，所以平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离h， 因为，所以， 即， 所以，即E到平面的距离为， 设直线PE与平面所成的角为，则， 要使的正弦值最大，则需使PE最小，此时， 由对称性知，，所以的最大值为， 此时， 故直线PE与平面所成角的正弦值最大值为， 此时点E在线段AD上靠近D点的处． 34．如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求取最大值时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），平面，平面，平面， 平面，平面平面，. （2）取中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， 平面，平面， 又平面，，，又， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，， 即二面角的正弦值为. （3），，， 设，则， ， 设平面的法向量， 则，令，则，，； ，， ，， （当且仅当，即时取等号）， 取得最大值时，， 又，，. 35．如图，在中，，O为边的中点，点D，E分别在，上，将绕直线旋转α到的位置，点E对应点M，交于点F，点P在线段上，连接，，．已知，，． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，则、分别为、， 由，则，故， 又平面，平面，故平面； （2）由，O为边的中点，则， 如图，在平面内作，则可建立如图所示空间直角坐标系， 设为单位长度，则有，，，， 由交于点，则，， 则，则，， 则，，， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，，即可取， 设与平面所成角为， 则 ， 由，则，则， 则，故. 36．在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． (1)若，求的长度； (2)求点到平面距离的取值范围． 【答案】(1)1； (2). 【详解】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则，设且， 则，，又， 则，可得， 所以的长度为1. （2）若是面的一个法向量，则， 令，则，而，故， 所以点到平面距离，， 所以，且，故. 37．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.    (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【详解】（1）证明：取中点，连接，    因为分别是棱的中点， 所以‖，， 因为四边形是平行四边形， 所以，‖， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形为正方形，所以，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，. 所以二面角的平面角为， 所以，所以. 因为，，， 所以两两垂直， 所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 则，， 所以 ， 所以， 设，则， 因为，所以 所以 所以 所以当时，取到最小值.    38．如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，，，为的中点， ∴为矩形，，又∵，是中点， ∴，∵，∴， ∵，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面． （2）∵，分别为的中点，∴， 又，，∴，又， 平面，∴平面， 平面，∴， 如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， 平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即，取，得，， 则， ∴， ∵平面与平面所成锐二面角， ∴，即， 由，得：，由得：或， ∴的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优01空间角与空间距离8大考法归类 题型1 求异面直线所成的角 用空间向量法求异面直线夹角的步骤： ①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 1．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 3．如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 4．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 题型2 求直线与平面所成的角 用空间向量法求线面夹角的步骤： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 5．在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积 ，直线与平面所成角的正弦值为 . 8．在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 9．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 题型3 求二面角（平面与平面）所成的角 用空间向量法求面面夹角的步骤： ①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 10．已知长方体中，，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装礼盒．包装礼盒如图所示，与均为正三角形，平面平面，点在底面上的投影分别是线段的中点，，且三棱锥的体积为，则平面与平面所成角的余弦值为 ． 13．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若，求侧面与底面所成角的余弦值． 14．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，． (1)证明：平面平面； (2)求二面角所成平面角的正弦值． 题型4 已知空间角求其它 15．在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 16．四棱锥中，底面为矩形，底面为线段上一点，，当异面直线与所成角的正切值为时，三棱锥的体积为 ． 17．如图，在三棱锥中，，，点在棱上（不与端点重合），直线与平面所成角的正弦值为． (1)求异面直线，所成角的正弦值； (2)求的值． 18．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 题型5 求点到直线的距离 用向量法求点到直线的距离： ①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 20．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 21．在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为 . 22．已知是正方体，点为的中点，点为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求点到直线的距离． 题型6 求点面、异面直线的距离 用向量法求点到平面的距离： ①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式、 用向量法求异面直线的距离： ①确定两异面直线的方向向量，求与两者都垂直的公垂向量； ②在两直线上各取一点，得连接两点的向量；③代入距离公式 23．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 24．已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 25．已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 26．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，三角形是正三角形，M是棱的中点.    (1)证明：； (2)若二面角为，求点M到平面的距离. 27．如图（1），四边形ABCD中，，分别为的中点，现以AC为折痕把折起，使点到达点的位置（如图（2）），且． (1)证明：平面平面ACD； (2)若为PD上的一点，平面ACM与平面ACD的夹角为，求点到平面ACM的距离． 题型7 已知距离求其它 28．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 29．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且. (1)求证：平面； (2)求的长度； (3)若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值. 30．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度． 31．如图，在三棱锥中、底面ABD，．动点C在平面ABD内、且点A，C在直线BD两侧． (1)若四边形ABCD为正方形，求直线PC与平面PAB所成角的大小； (2)若点C到平面PBD的距离为、求的面积的最小值． 32．如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若点到平面的距离为，求的长． 题型8 空间角、空间距离的最值范围 33．如图，在四棱锥中，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD的交点为O，且平面ABCD，是等边三角形，点E是线段AD上的动点． (1)证明：； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值的最大值，并指出点E此时所在的位置． 34．如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求取最大值时的值． 35．如图，在中，，O为边的中点，点D，E分别在，上，将绕直线旋转α到的位置，点E对应点M，交于点F，点P在线段上，连接，，．已知，，． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 36．在长方体中，侧面为正方形，，为线段（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题． (1)若，求的长度； (2)求点到平面距离的取值范围． 37．如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.    (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值. 38．如图，在四棱锥中，，，，，分别为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$