专题05 一元二次方程中的实际问题6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题05 一元二次方程中的实际问题 目录 典例详解 1 类型一、数字问题 1 类型二、营销问题 3 类型三、与图形有关的问题 5 类型四、图表信息题 7 类型五、分式方程转化成一元二次方程的实际问题 10 类型六、动态几何问题 12 压轴专练 15 类型一、数字问题 【例1】已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【例2】如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【变式1-1】第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 ； （2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，则 ． 【变式1-2】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 【变式1-3】已知5个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且，求这5个连续整数． 类型二、营销问题 先明确基本量关系：利润=（售价-成本）×销量，销量随售价变化，可设调价幅度为未知数，用含的式子表示售价和销量，根据利润目标列一元二次方程，解方程后结合实际取舍（售价、销量需为正数），验证结果是否符合营销逻辑。 【例3】“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． (1)设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； (3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【例4】小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 【变式2-1】2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件，每件盈利30元，为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． (1)降价后每件T恤衫的利润为_____（元），平均每天可售出______件（用含x的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 【变式2-2】2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑．本次赛事按照中国田径协会类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题．在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件．今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元． (1)预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）； (2)每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠； (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明． 【变式2-3】杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 类型三、与图形有关的问题 先分析图形特征（如面积、边长、体积关系），设关键线段长度为未知数，用含未知数的式子表示相关边或面积，根据图形等量关系列一元二次方程，注意未知数需满足图形实际意义（长度为正等），解方程后验证结果是否符合图形尺寸。 【例5】如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形．若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【例6】在周长相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为4，它的另一边长为6． (1)设矩形的一边长为x，用含x的代数式表示它的另一条边长和面积； (2)圆圆说其中有一个矩形的面积为21，方方说有一个矩形的面积为30．你认为圆圆和方方的说法是否正确？请说明理由． 【变式3-1】把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【变式3-2】如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 【变式3-3】某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃．花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米．下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）： (1)如图1是小高同学设计的方案，花圃的一边靠墙（米），另三边用篱笆围成．设的长为x米， ①求的长（用含x的代数式表示）； ②当花圃面积为42平方米时，求x的值； (2)如图2是小周同学设计的方案，花圃的一边由围墙（）和部分篱笆（）组成，另三边由剩余的篱笆围成．问花圃面积能达到50平方米吗？请通过计算说明． 类型四、图表信息题 【例7】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【例8】为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【变式4-1】荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 【变式4-2】某工厂购买的原材料的单价从前年开始进行了调整．如图，、分别表示该工厂前年和今年采购原材料的总价y（万元）与数量x（吨）之间的关系，请根据函数图象提供的信息回答下列问题：    (1)该厂前年采购原材料的单价是每吨 　　万元； (2)该厂今年采购原材料的总价y关于数量x的函数解析式是 　　； (3)如果该原材料的单价从前年开始，每年的增长率都相同，那么这个增长率是 　　． 【变式4-3】材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15100 15200 15300 15400 15500 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … (1)该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 类型五、分式方程转化成一元二次方程的实际问题 【例9】2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【例10】某紫砂壶专卖店购进汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶两种销量款，每把汉瓦紫砂壶的进价比每把西施紫砂壶的进价少30元，专卖店用900元购进的汉瓦紫砂壶的数量比用900元购进的西施紫砂壶的数量多1个． (1)求每把汉瓦紫砂壶和每把西施紫砂壶的进价； (2)该店用4500元购进了一批汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶，每把汉瓦紫砂壶的售价是200元，每把西施紫砂壶的售价是300元，售完这批紫砂壶，要想利润至少为2400元，则汉瓦紫砂壶最多购进多少个？ 【变式5-1】小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？ 【变式5-2】学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【变式5-3】列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 类型六、动态几何问题 先确定点的运动路径和时间变量，用含时间的式子表示相关线段长度或图形面积，根据运动中不变的等量关系（如面积相等、线段相等、位置关系等）列一元二次方程，注意变量取值范围（时间非负、线段长度为正），解方程后结合运动过程验证结果是否符合几何图形动态变化。 【例11】如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例12】如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【变式6-1】如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【变式6-2】如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【变式6-3】如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 1．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 2．小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 3．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．如图，会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是多少？ 5．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 6．某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 7．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 8．【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 9．阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 10．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 11．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 12．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程中的实际问题 目录 典例详解 1 类型一、数字问题 1 类型二、营销问题 5 类型三、与图形有关的问题 9 类型四、图表信息题 14 类型五、分式方程转化成一元二次方程的实际问题 19 类型六、动态几何问题 22 压轴专练 28 类型一、数字问题 【例1】已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 【例2】如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【变式1-1】第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 ； （2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，则 ． 【答案】 2023 9 【详解】解：（1） ， 故答案为：2023； （2）由题意得：，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元二次方程的应用，正确理解换算方法是解题关键． 【变式1-2】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 (4)15 【详解】（1）解：∵位置C的数字为x， ∴位置B的数字为， 位置A的数字为， 位置D的数字为， 位置E的数字为． 故答案为：，，， （2）解：规律为：； 故答案为： （3）解：； （4）解：∵最小的数和最大的数的乘积为161， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴． 即中间C位置上的数为15． 故答案为：15 【变式1-3】已知5个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且，求这5个连续整数． 【答案】这5个连续整数为，，，，；或10，11，12，13，14 【详解】解：设五个连续整数分别为，，，，， 由题意得 整理得：， 解得，， 因此这5个连续整数为，，，，；或10，11，12，13，14． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，掌握连续整数之间的联系再建立方程是解决问题的关键． 类型二、营销问题 先明确基本量关系：利润=（售价-成本）×销量，销量随售价变化，可设调价幅度为未知数，用含的式子表示售价和销量，根据利润目标列一元二次方程，解方程后结合实际取舍（售价、销量需为正数），验证结果是否符合营销逻辑。 【例3】“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． (1)设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； (3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】(1) (2)54元或56元 (3)不能达成这个“小目标”，理由见解析 【详解】（1）由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为： （2）解∶ 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： 解得：， ∴或 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额 （3）解∶ 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： ∴ ∴不能达到这个“小目标”． 【例4】小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 【答案】(1)小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg (2)每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为600元 【详解】解：由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 当时，． 故小琴的父母今年共收获蜜梨kg． 设每千克零售价应降价元，才能使得每天的销售利润为元． 由题意，得， 解得． 为了加快销售速度， 应该舍去0.5，选降价1 元。 故每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为元． 【点睛】一元二次方程及应用，列出合理的方程是解题的关键，分析数量关系则显得尤其重要，降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意. 【变式2-1】2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件，每件盈利30元，为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． (1)降价后每件T恤衫的利润为_____（元），平均每天可售出______件（用含x的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可售出件； 故答案为：， （2）由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． 【变式2-2】2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑．本次赛事按照中国田径协会类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题．在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件．今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元． (1)预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）； (2)每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠； (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)售价应定为70元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠 (3)平均每天不可能盈利32000元．理由见解析 【详解】（1）解：∵每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元 ∴今年平均每天将卖出件，每件盈利元； 故答案为：，； （2）解：由题意知： 整理得： 解得：， ∵要使顾客得到较多的实惠 ∴x取20 ∴ 答：售价应定为70元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠． （3）解：平均每天不可能盈利32000元，理由如下： 若平均每天盈利32000元，即： 整理得： ∴方程无解故平均每天不可能盈利32000元．（答案不唯一，合理即可） 【变式2-3】杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 类型三、与图形有关的问题 先分析图形特征（如面积、边长、体积关系），设关键线段长度为未知数，用含未知数的式子表示相关边或面积，根据图形等量关系列一元二次方程，注意未知数需满足图形实际意义（长度为正等），解方程后验证结果是否符合图形尺寸。 【例5】如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形．若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 故选：B． 【例6】在周长相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为4，它的另一边长为6． (1)设矩形的一边长为x，用含x的代数式表示它的另一条边长和面积； (2)圆圆说其中有一个矩形的面积为21，方方说有一个矩形的面积为30．你认为圆圆和方方的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)矩形的另一条边长为，面积为 (2)圆圆的说法正确，方方的说法不正确，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得：矩形的另一条边长为， 则矩形的面积为， 答：矩形的另一条边长为，面积为． （2）解：当矩形的面积为21时，则， 整理得：， 解得或， 所以当矩形的一条边长为3，另一条边长为7时，矩形的面积为21， 所以圆圆的说法正确． 当矩形的面积为30时，则， 整理得：， 这个方程的根的判别式为，方程没有实数根， 即在本题的条件下，没有一个矩形的面积为30， 所以方方的说法不正确． 【变式3-1】把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3-2】如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 【答案】和 【详解】解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 【变式3-3】某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃．花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米．下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）： (1)如图1是小高同学设计的方案，花圃的一边靠墙（米），另三边用篱笆围成．设的长为x米， ①求的长（用含x的代数式表示）； ②当花圃面积为42平方米时，求x的值； (2)如图2是小周同学设计的方案，花圃的一边由围墙（）和部分篱笆（）组成，另三边由剩余的篱笆围成．问花圃面积能达到50平方米吗？请通过计算说明． 【答案】(1)①米；②7 (2)矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由见解析 【详解】（1）解；①由题意得，米 ②根据题意，得：， 整理得， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴x的值为7； （2）解：矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由如下： 设米，则米 根据题意，得：， 整理得， ∵， ∴此方程无实数解， ∴矩形花圃面积不能达到50平方米． 类型四、图表信息题 【例7】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 【例8】为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 【变式4-1】荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)该爬虾的实际售价应定为45元． 【详解】（1）解：与的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为：； （2）解：根据题意知，， 整理得：， 解得：或， ∵要让消费者得到实惠， ∴， 答：该爬虾的实际售价应定为45元． 【变式4-2】某工厂购买的原材料的单价从前年开始进行了调整．如图，、分别表示该工厂前年和今年采购原材料的总价y（万元）与数量x（吨）之间的关系，请根据函数图象提供的信息回答下列问题：    (1)该厂前年采购原材料的单价是每吨 　　万元； (2)该厂今年采购原材料的总价y关于数量x的函数解析式是 　　； (3)如果该原材料的单价从前年开始，每年的增长率都相同，那么这个增长率是 　　． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：由图可知，该厂前年采购原材料的单价是每吨（万元）， 故答案为：3； （2）解：设该厂今年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， 即该厂今年采购原材料的价格y关于数量x的函数解析式是， 故答案为：； （3）解：设每年的增长率是a， 根据题意得：， 解得，（舍去）， ∴该原材料的单价从前年开始，每年的增长率是， 故答案为：． 【变式4-3】材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15100 15200 15300 15400 15500 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … (1)该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 【答案】(1)15000；100 (2)①；②当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 【详解】（1）解：由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元， ∴该工艺品每天的固定成本为元；每件产品的可变成本为100元； （2）解：①设销量与销量单价之间的函数关系式 把代入得， 解得 ∴； ②由题意得，， 整理得， 解得或， 答：当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 类型五、分式方程转化成一元二次方程的实际问题 【例9】2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：松延动力机器人的平均速度是． 【例10】某紫砂壶专卖店购进汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶两种销量款，每把汉瓦紫砂壶的进价比每把西施紫砂壶的进价少30元，专卖店用900元购进的汉瓦紫砂壶的数量比用900元购进的西施紫砂壶的数量多1个． (1)求每把汉瓦紫砂壶和每把西施紫砂壶的进价； (2)该店用4500元购进了一批汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶，每把汉瓦紫砂壶的售价是200元，每把西施紫砂壶的售价是300元，售完这批紫砂壶，要想利润至少为2400元，则汉瓦紫砂壶最多购进多少个？ 【答案】(1)每把汉瓦紫砂壶的进价为150元，则每把西施紫砂壶的进价为180元 (2)汉瓦紫砂壶最多购进12个 【详解】（1）解：设每把汉瓦紫砂壶的进价为元，则每把西施紫砂壶的进价为元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去负值）， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：每把汉瓦紫砂壶的进价为150元，则每把西施紫砂壶的进价为180元． （2）解：设购进汉瓦紫砂壶个， 则购进西施紫砂壶个， 由题意得，，整理得，， 解得：， 的最大值为12，此时是整数，符合题意； 答：汉瓦紫砂壶最多购进12个． 【变式5-1】小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？ 【答案】小杰和小丽的速度分别是， 【详解】解：设小杰和小丽的速度分别是， 根据题意得， 解得（舍去）， 经检验，是原方程的解 ∴小杰和小丽的速度分别是，． 【变式5-2】学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【变式5-3】列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】材料一：共有30支队伍参赛；材料二： 【详解】材料一：解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 材料二：解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是． 类型六、动态几何问题 先确定点的运动路径和时间变量，用含时间的式子表示相关线段长度或图形面积，根据运动中不变的等量关系（如面积相等、线段相等、位置关系等）列一元二次方程，注意变量取值范围（时间非负、线段长度为正），解方程后结合运动过程验证结果是否符合几何图形动态变化。 【例11】如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 【例12】如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 【变式6-1】如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【答案】10 【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25， 则，， 由题意，得， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 【变式6-2】如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【答案】2秒 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 【变式6-3】如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 1．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 【答案】6 【详解】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 2．小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，见解析． 【详解】（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得． 整理得：， 解得，， 因此这两个正方形的边长分别是，； （2）两个正方形的面积之和不可能等于．理由： 若两个正方形的面积和为，则 ， ∴， ， 此方程无解， 两个正方形的面积之和不可能等于． 3．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 4．第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．如图，会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是多少？ 【答案】2和3 【详解】解；设长直角边的长为a，短直角边的长为b， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 答：直角三角形的两条直角边长分别是2和3． 5．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；（3）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， 根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即， 解得， ∴； （2）能； 由题意，得：，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元； （3）设总利润为，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 6．某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 【答案】(1)一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元 (2)2400元． 【详解】（1）解：设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元； （2）解：设将型洗衣机的售价定为m元，根据题意得： ， 解得：， ∵力求尽快清空库存货品， ∴， 答：将型洗衣机的售价定为2400元． 7．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 8．【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【答案】； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 9．阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 10．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 11．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为．与此同时，点从点开始沿边运动，速度为．当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含的代数式表示：______cm，______cm； (2)当为何值时？ 【答案】(1)t； (2) 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 故答案为：t，； （2）解：∵， ， ， ， 或 ， ， ． 12．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形， 故答案为：4； （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形， 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）点和点的距离可以是， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$