专题04 一元二次方程的含参数问题5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题04 一元二次方程的含参数问题 目录 典例详解 1 类型一、根据一元二次方程的定义求参数 1 类型二、已知一元二次方程的解求参数或代数式 2 类型三、根据一元二次方程根的情况求参数 2 类型四、根据根与系数的关系求参数 3 类型五、与新定义问题的结合求参数 4 压轴专练 5 类型一、根据一元二次方程的定义求参数 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。 【例1】关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【例2】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【变式1-1】关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【变式1-2】已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【变式1-3】若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 类型二、已知一元二次方程的解求参数或代数式 将方程的解代入原方程，得到含参数的等式，直接求解参数 【例3】如关于的方程的一个根是2，则的值是（   ） A．4 B． C． D．2 【例4】若a是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式2-1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（  ） A． B．1 C． D．2025 【变式2-2】已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ． 【变式2-3】已知m为方程的根，那么的值为 ． 类型三、根据一元二次方程根的情况求参数 第一步，确保，满足一元二次方程定义； 第二步，计算判别式：用判断根的情况，其中为两不等实根，为两相等实根，为无实根 【例5】若分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知在正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【变式3-2】如果方程组无实数解，那么实数的取值范围是 ． 【变式3-3】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （   ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 类型四、根据根与系数的关系求参数 第一步，确保，满足一元二次方程定义；第二步，计算，保证方程有实根，排除无意义参数值；第三步，用韦达定理结合根的条件列方程或不等式，求解参数 【例7】若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【例8】已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【变式4-1】若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，该方程有两个实数根？ (2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 【变式4-3】已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 类型五、与新定义问题的结合求参数 【例9】“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 【例10】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． (2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【变式5-1】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【变式5-2】定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 【变式5-3】定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 一、单选题 1．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 3．已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 5．已知是一元二次方程的根，则的值为 ． 6．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ． 7．关于x的方程的两根为，，且，则 ． 三、解答题 8．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 9．已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若，则求出的周长； (2)当为何值时，是菱形？并求出此时菱形的边长． 10．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 11．如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 12．已知是关于x的一元二次方程． (1)若，则该方程的两个实数根分别为______和______； (2)若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程的含参数问题 目录 典例详解 1 类型一、根据一元二次方程的定义求参数 1 类型二、已知一元二次方程的解求参数或代数式 3 类型三、根据一元二次方程根的情况求参数 5 类型四、根据根与系数的关系求参数 7 类型五、与新定义问题的结合求参数 11 压轴专练 14 类型一、根据一元二次方程的定义求参数 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。 【例1】关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 【例2】若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 【变式1-1】关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 【变式1-2】已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 【变式1-3】若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 类型二、已知一元二次方程的解求参数或代数式 将方程的解代入原方程，得到含参数的等式，直接求解参数 【例3】如关于的方程的一个根是2，则的值是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：∵2是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【例4】若a是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个实数根， ∴代入方程得：， 移项得：． 所求代数式为， 可变形为：． 将代入，得： ． 故选D． 【变式2-1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（  ） A． B．1 C． D．2025 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入得：， 移项得：． 故代数式的值为， 故选A． 【变式2-2】已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于x的方程的一个根为， ∴关于的方程的一个根为， ∴， 即关于x的方程的一个根为， 故答案为： 【变式2-3】已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 类型三、根据一元二次方程根的情况求参数 第一步，确保，满足一元二次方程定义； 第二步，计算判别式：用判断根的情况，其中为两不等实根，为两相等实根，为无实根 【例5】若分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式总有意义， ∴分母为二次函数恒不为零，， ∴方程无实数根， ∴，解得． 故选A． 【例6】已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， 解得：． 由条件可知， 解得． 的取值范围为． 故选：A． 【变式3-1】已知在正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】6 【详解】解：∵正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大， ∴， ∵于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； ∴， ∵为整数， ∴可取1，2，3； ∴满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：6. 【变式3-2】如果方程组无实数解，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， ，得， 整理得，， ∵方程组无实数解， ∴一元二次方程无实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （   ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∴， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形，且边长a所对的角是． 故选：D． 类型四、根据根与系数的关系求参数 第一步，确保，满足一元二次方程定义；第二步，计算，保证方程有实根，排除无意义参数值；第三步，用韦达定理结合根的条件列方程或不等式，求解参数 【例7】若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ， 即， 解得，或， 又， 的值是. 故答案为： 【例8】已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 【变式4-1】若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，该方程有两个实数根？ (2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解之得：． 当时，方程有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得：， 由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴其半对角线长与边长构成直角三角形， ∴， 即， ， 解之得：或． ，， ，， 当时，，． 当时，， 不合题意，舍去， 又由（1）知：， ． 【变式4-3】已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 类型五、与新定义问题的结合求参数 【例9】“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 【答案】3 【详解】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【例10】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． (2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【详解】（1）解：方程是“黄金方程”，理由如下： ∵，，， ∴ ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 【变式5-1】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【答案】或2/2或 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 【变式5-2】定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解： ， 解得：，. ∵方程为“差方程”，m为整数， ∴， 解得：或． 【变式5-3】定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． 一、单选题 1．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 2．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【详解】解：方程的解为和， 方程的解为（需）， 因为两方程解完全相同，故根的和与积相等： ∴， 解得：， ， 代入得：， 解得， 故选：B． 3．已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴方程为 ∴， ∴ ． 故选：A． 二、填空题 4．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 5．已知是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】0 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：0． 6．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解：设方程的两根为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ∴，解得：或， 当时，原方程变形为，该方程无实数根； 当时，原方程变形为，，故该方程有两个不等实数根，符合题意． 故答案为：． 7．关于x的方程的两根为，，且，则 ． 【答案】 【详解】解：方程的两根为，， ， 又， ， 解得：， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 8．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 【答案】， 【详解】解：， ， 解得：， 关于的方程的解是，， ，， 方程的解为， ， ，． 9．已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若，则求出的周长； (2)当为何值时，是菱形？并求出此时菱形的边长． 【答案】(1) (2)，边长为 【详解】（1）解：由题知方程的一个根为，代入方程， ∴．解得． ∴方程为．解得，． ∴． ∴的周长为． （2）解：若是菱形，则． ∴方程有两个相等的实数根．即， 解得． ∴当时，是菱形． 解方程，得． ∴菱形的边长为． 10．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)且 (2)10 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 11．如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】 【详解】解：根据题意得 解得， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ，． ∴ ∴， 整理得， 解得（舍去，， 的值为． 12．已知是关于x的一元二次方程． (1)若，则该方程的两个实数根分别为______和______； (2)若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 【答案】(1)，； (2)①6；②5或8． 【详解】（1）解：时，原方程变形为， 解得，； 故答案为：，； （2）根据题意得． 解得， ①设方程的两个为α，β， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即m的值为6； ②∵， ∴， ∵且m为整数， ∴当或时，方程的两根均为整数， 解得或， 即m的值为5或8． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$