第2章 圆 单元测试 2024--2025学年湘教版九年级数学下册

湘教版九年级下册 第2章 圆 单元测试 一、选择题 1.如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 2.下列说法正确的是（　　） A.如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B.圆心角α的取值范围是 C.圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D.圆心角就是在圆心的角 3.图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A. B. C. D. 4.如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ） A.23° B.44° C.46° D.57° 5.已知圆的半径为6.点到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（    ） A. B. C. D. 6.如图，四边形内接于⊙O，为直径，，连接．若，则的度数为（    ） A.70° B.60° C.50° D.40° 7.如图，某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框变形为以点A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形的面积为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A.米 B.米 C.米 D.米 9.已知中，，则弦和的大小关系是（   ） A. B. C. D.不能确定 10.如图，线段是的直径，交线段于，且是中点，于，连接，则下列结论正确的个数是（　　） ；；；是的切线；． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（　　）    A. B. C. D. 12.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　） A.0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B.0＜OA或OA＝2.5 C.OA＝2.5 D.OA＝2.5或 二、填空题 13.用代数式表示：用一根长为a的铁丝围成一个圆，这个圆的半径为      ． 14.如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为       ． 15.如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆上．若，则劣弧的度数为       ． 16.下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程. 已知：线段AB. 求作：以AB为直径的⊙O. 作法：如图， （1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D； （2）作直线CD交AB于点O； （3）以O为圆心，OA长为半径作圆. 则⊙O即为所求作的. 请回答：该作图的依据是                                 ． 17.如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值      ． 三、解答题 18.已知：及外一点．求作：的一条切线，使这条切线经过点．（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法） 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请用直尺和圆规作出Rt△ABC的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若AB＝6，∠A＝30°，请求出扇形AOC的面积． 20.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 21.如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为． （1）风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）； （2）在风车转动一周的过程中，求点到桌面的距离不超过时，点所经过的路径长（结果保留）； （3）连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差． 22.如图（1），⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，与边AD，BC分别交于点G，E，F，K，． （1）求证：∠AEH＝∠BFH； （2）如图（2），连接GF，连接DF交⊙O于点M，且GM平分∠DGF，若半径＝5，ED＝4，求BK． 湘教版九年级下册 第2章 圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图所示，作点关于的对称点，连接，交于于点，此时的值最小，即， 连接， ∵点在上，，为弧的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的半径，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为. 故选：． 2.下列说法正确的是（　　） A.如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B.圆心角α的取值范围是 C.圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D.圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【解析】∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是， ∴B错误． 故选：C． 3.图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为：. 故选：D． 4.如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ） A.23° B.44° C.46° D.57° 【答案】B 【解析】连接，如图， 为的切线， ， ， ， ． 故选：B． 5.已知圆的半径为6.点到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8， ∴d＞r， ∴直线与圆相离， ∴这条直线与圆没有公共点， ∴这条直线可以是l2． 故选：B． 6.如图，四边形内接于⊙O，为直径，，连接．若，则的度数为（    ） A.70° B.60° C.50° D.40° 【答案】A 【解析】连接， ∵点C为的中点， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴. 故选：A． 7.如图，某数学兴趣小组将边长为1的正方形铁丝框变形为以点A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形的面积为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】∵正方形的边长为1， ∴弧的长度为2， ∴． 故选：A． 8.如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】A 【解析】由题意可得： 外圆周长=，内圆周长=， ∴米. 故选：A． 9.已知中，，则弦和的大小关系是（   ） A. B. C. D.不能确定 【答案】C 【解析】如图，取的中点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C. 10.如图，线段是的直径，交线段于，且是中点，于，连接，则下列结论正确的个数是（　　） ；；；是的切线；． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【解析】显然，为直角三角形，而不是直角三角形，故两三角形不相似， ，故错误，不符合题意； 连接， 是中点，为中点， 为的中位线， ， ， ， ， 为的切线，故正确，符合题意； ， ， 是的直径， ， ， ， ，故正确，符合题意； 由为中点，且， 垂直平分， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， ，即，故正确，符合题意； 则正确结论的个数为4个. 故选：C． 11.矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（　　）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形为矩形， ，，， 为直径， 、与半圆相切， 而切于点，如下图： ，， 设，则， ， 在中，， ，解得， ． 故选：B． 12.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　） A.0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B.0＜OA或OA＝2.5 C.OA＝2.5 D.OA＝2.5或 【答案】B 【解析】如图所示， 当圆心从O1到O3的过程中，⊙O与三角形边的交点个数为3，当恰好到达O3时则变为4个交点， 作O3D⊥BC于点D， 则∠O3BD＝∠ABC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， 设O3A＝a，则O3B＝5﹣a， ∴得 ∴当时，⊙O与三角形边的交点个数为3， 当点O为AB的中点时，⊙O与三角形边的交点个数为3，此时OA＝2.5， 由上可得或OA＝2.5时，⊙O与三角形边的交点个数为3. 故选：B． 二、填空题 13.用代数式表示：用一根长为a的铁丝围成一个圆，这个圆的半径为      ． 【答案】 【解析】由题意得：a为圆的周长， 设半径为r， 根据题意得：， 解得， ∴这个圆的半径为． 故答案为：． 14.如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为       ． 【答案】 【解析】连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ． 15.如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆上．若，则劣弧的度数为       ． 【答案】 【解析】连接，如图所示： ∵四边形为圆的内接四边形，且， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴劣弧的度数为. 故答案为： 16.下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程. 已知：线段AB. 求作：以AB为直径的⊙O. 作法：如图， （1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D； （2）作直线CD交AB于点O； （3）以O为圆心，OA长为半径作圆. 则⊙O即为所求作的. 请回答：该作图的依据是                                 ． 【答案】垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义 【解析】由作法得CD垂直平分AB，即点O为AB的中点， 所以作法（1）的依据是垂直平分线的判定；作法（2）的依据是垂直平分线的定义；作法（3）的依据是圆的定义. 故答案为：垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义． 17.如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值      ． 【答案】 【解析】如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点， ∴，则的最小值是的长， ∵点是半圆的中点，的半径为， ∴等于半圆的一半， ∴， ∵点是的一个三等分点（靠近点）， ∴等于的， ∴， ∵点与点关于直径的对称， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 18.已知：及外一点．求作：的一条切线，使这条切线经过点．（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：①连接，作的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆，交于点； ③作直线，则直线即为的切线． 如图，直线即为所求． 【解析】 19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请用直尺和圆规作出Rt△ABC的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若AB＝6，∠A＝30°，请求出扇形AOC的面积． 【答案】解：（1）如图即为Rt△ABC的外接圆，圆心为O. （2）∵AB是直径， ∴， ∵∠A=30°， ∴∠B=90∠A=9030°=60°， ∵AB=6，∠B=60°， ∴圆O的半径为3，圆心角∠AOC=120°， ∴扇形AOC的面积为：=3． 答：扇形AOC的面积为3． 【解析】 20.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =， ∴∠A=∠2， 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A， ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6， ∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3， 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2， ∵在Rt△OEC中，， 解得：， ∴⊙O的半径是． 【解析】 21.如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为． （1）风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）； （2）在风车转动一周的过程中，求点到桌面的距离不超过时，点所经过的路径长（结果保留）； （3）连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差． 【答案】解：（1）如下图，过点作于点，作于点， 则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：点到桌面的距离是. （2）如下图，设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为， 过点作于H，则，作于点D， 则四动形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由圆的轴对称性可知，， ∴． ∴符合条件的点所经过的路径长为. （3）如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点， ∵弧是半圆， ∴为的直径， ∵直线切于点，且经过点， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，两点到桌面的距离的差为． 答：切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为． 【解析】 22.如图（1），⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，与边AD，BC分别交于点G，E，F，K，． （1）求证：∠AEH＝∠BFH； （2）如图（2），连接GF，连接DF交⊙O于点M，且GM平分∠DGF，若半径＝5，ED＝4，求BK． 【答案】解：（1）连接EF，作OT⊥HE，ON⊥HF，垂足分别为T、N， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD//BC，AD＝BC， ∵， ∴， 又∵OT⊥HE，ON⊥HF， ∴，， ∴， 在Rt△HTO和Rt△HNO中， ， ∴Rt△HTO≌Rt△HNO（HL） ∴， ∴HL平分∠EHF， ∵HL⊥EF， ∵⊙O与AB相切于点H，且HL经过圆心O， ∴HL⊥AB， ∴AB//EF， 又∵AE//BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴AE＝BF， 在Rt△AHE和Rt△BHF中， ， ∴Rt△AHE≌Rt△BHF（HL）， ∴∠AEH＝∠BFH. （2）连接GK、EF、HO、GK与HO相交于点S， 由（1）得四边形ABFE为矩形， ∴∠GEF＝90°， ∴GF为与的直径， ∴GF经过点O， ∴∠GKF＝90°，∠GMD＝∠GMF＝90°， ∵GM平分∠DGF， ∴∠FGM＝∠DGM， 在Rt△GDM和Rt△GFM中， ， ∴Rt△GDM≌Rt△GFM（ASA）， ∴GD＝GF＝2r＝2×5＝10， ∴∠GKF＝90°＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形GKCD为矩形， ∴KF＝GE＝GD－ED＝10－4＝6， ∵∠GKB＝180°－∠GKF＝90°＝∠A＝∠B，BF⊥AB， ∴四边形ABKG是矩形， ∴GK//AB， ∴OS⊥GK， ∴四边形BKSH也是矩形，GS＝SK， ∴SO是△GKF的中中位线， ∴SO＝， ∴BK＝HS＝HO－SO＝5－3＝2． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$