专题08 圆中切线的证明（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08圆中切线的证明 目录 典例详解 1 类型一、有切点，连半径，证垂直 1 类型二、无切点，作垂直，证半径 ....11 压轴专练 18 典例详解 类型一、有切点，连半径，证垂直 已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证 垂直” 例1.如图，BE是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点F是EC的中点，连接FO并延长至点D,交⊙O 于点A,连接BD,∠D=∠E. B (1)求证：DB为⊙O的切线： (2)若∠D=30°，AF=6. ①求EC的长； ②求阴影部分的面积. 1/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)答案见解析 2①43，②83n 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，求扇形面积等知识，解题的关 键是掌握以上知识点， (1)先根据圆周角定理得出BC⊥CE,结合中位线定理推出∠E+∠EOF=90°，进而得出 ∠D+∠B0D=90°，即可求证； (2)①设⊙0的半径为R,推出0F=0E=R,则AF=R=6,得到R=4,然后利用勾股定理即可求解 33 ②由①知OB=4,推出BD=4W3,∠BOD=60°，最后根据阴影部分的面积等于△BOD的面积减去扇形AOB 的面积，即可求解. 【详解】(1)证明：~BE是⊙O的直径， BC⊥CE, ~点F是EC的中点，点O是EB的中点， ..OF II CB, OF⊥CE, ∴∠E+∠E0F=90°， ∠D=∠E, ∴∠D+∠B0D=90°， OB⊥DB, 0B是⊙O的半径， DB为⊙O的切线； (2)解：①设⊙0的半径为R, ,∠D=30°， ∠E=30°， 由(1)知：∠EF0=∠ECB=90°， 0F=0E=R, 4F=0F+0A=R+R=R=6, 解得：R=4, .BE=2R=8, 2/3y 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠E=30°，∠ECB=90°， BC=BE=R=4, 在Rt△ECB中，EC2+BC2=BE2, 即EC2+42=82, 解得：EC=4V3; ②由①知∠D=30°，0B=R=4, ..BD= am30=43,∠B0D=60, OB :阴影部分的面积等于△BOD的面积减去扇形AOB的面积， 即阴影部分的面积=0B:BD-0=83-号， 、变式1-1，在四边形ABCD中，AB ICD,∠A=∠D=90°，E为AD中点，连接BE、CE,且BE⊥CE, E D (1)直接写出AB、CD、BC三条线段之间的数量关系. (2)以点E为圆心，EA长度为半径画圆，判断BC与⊙E是否相切，并说明理由 (3)若AD=6,设AB=x,DC=y,利用(2)的结论，求y与x的函数关系式. 【答案】(1)AB+CD=BC,理由见解析 (2)BC与⊙E相切，理由见解析 y=号 【分析】(1)如图：延长BE、CD交于点H,可证明△AEB≌△DEH得BE=HE、AB=DH,则 AB+CD=DH+CD=HC,再证明CE垂直平分BH,则HC=BC,所以AB+CD=BC; (2)如图：作EF⊥BC于点F,由ABIICD得∠ABE=∠H,由HC=BC得∠CBE=∠H,则∠ABE=∠CBE,由 角平分线的性质得EF=EA,所以点F在⊙E上，则BC与⊙E相切； (3)由AD=6,E为AD中点得EF=EA=ED=3,可根据“HL"证明Rt△FEB≌Rt△AEB,Rt△FEC≌Rt △DEC,则FB=AB=x,FC=DC=y,由FB2+EF2+FC2+EF2=BE2+CE2=BC2,得x2+32+y2+32= 3/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9 9 (x+y),则y=},所以y与×的函数关系式为y= 【详解】(1)解：AB+CD=BC,理由如下： 如图：延长BE、CD交于点H, E ∠A=∠ADC=90°， .∠EDH=90°， ∴∠A=∠EDH, E为AD中点， .AE=DE, 在△AEB和△DEH中， (LAEB=∠DEH AE=DE ∠A=∠EDH ·△AEB≌△DEH(ASA), ..BE HE,AB=DH ..AB+CD=DH +CD=HC, BE⊥CE,BE=HE, .CE垂直平分BH, ..HC BC, ∴AB+CD=BC. (2)解：BC与⊙E相切，理由如下： 如图：作EF⊥BC于点F, ABICD, ∠ABE=∠H, 由(1)得HC=BC, LCBE=∠H, 4/39 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LABE=∠CBE, BE平分LABC, EF⊥BC于点F,EA⊥BA于点A, ..EF EA, ~EF等于⊙E的半径EA, ∴点F在⊙E上， EF是⊙E的半径，且BC⊥EF, BC与⊙E相切. (3)解：EF⊥BC于点F,BE⊥CE, .∠BFE=∠EFC=∠BEC=90°， AD=6,E为AD中点， .EF=EA=ED=AD=3, 在Rt△FEB和Rt△AEB中， (BE =BE EF=EA· Rt△FEB≌Rt△AEB(HL), .:.FB=AB=x, 同理Rt△FEC≌Rt△DEC(HL, ..FC=DC=y, ..BC=x+y, FB2 +EF2=BE2,FC2+EF2=CE2BE2+CE2=BC2 ..FB2 +EF2 +FC2 +EF2 BE2 +CE2=BC2, x2+32+y2+32=c+y2,整理得：y= y与x的函数关系式为y=号 【点晴】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、角平分线的 性质、切线的判定、勾股定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键 变式1-2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AD⊥CF于点D,且AD与⊙O交于点E,AC是∠BAD 的平分线， 5/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 0 (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)当点E为AC的中点时，求∠FCB的度数； (3)若AB=8,CD=3,求DE的长； (4)试判断线段AB,AD,DE之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)见解析； (2)30; (3)4-V7 (4)AB=AD+DE,理由见解析 【分析】(1)首先连接OC,利用角平分线的性质和等腰三角形的性质，证明LOCA=∠DAC,从而得到OC 平行于AD,再由AD垂直于CF,推出OC垂直于CF,即可证明CD是切线 (2)连接0E、BC、证明△A0B是等边三角形，四边形0CEA是菱形，得∠CAD=∠0AB=30,进而利用 圆周角定理及直角三角形的性质即可得解， (3)过点O作OH垂直于AD于H,连接OC、OE.因为CD是切线，AD垂直于CD,OH垂直于AD,OC垂直于CD, 所以四边形OCDH是矩形，从而得到OH=CD=3,DH=OC=4.在直角三角形AOH中，利用勾股定理求 出AH的长度，进而得到AD的长度，再根据垂径定理，AH=EH,求出AE的长度，最后用AD-AE得到DE的 长度 (4)过C作CN⊥AB于N,连接CE,证明△ADC兰△ANC,△DCE兰△NCB,得AN=AD,DE=BN,从 而即可得解 【详解】(1)解：连接0C, B 6/39 00学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC 平分 ∠BAD， ∴∠OAC=∠DAC， ∴∠OCA=∠DAC， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CF， ∴OC⊥CF， ∵OC 是 ⊙O 的半径， ∴CD 是 ⊙O 的切线； (2)解：连接 OE、EC， D E C F A B ∵E E是 $$\wideparen { A C }$$ 的中点， $$\therefore \overrightarrow { A E } = \widehat { C E } ，$$ ∴AE=CE， ∴∠EAC=∠ECA=∠BAC， ∴CE∥AB， ∵OC∥AD， 四边形 OCEA 是平行四边形， ∴OC=AE=CE=EO=OA， ∴△AOE 是等边三角形，四边形 OCEA 是菱形 $$\therefore \angle C A D = \frac { 1 } { 2 } \angle O A E = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A C D = 9 0 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } = 6 0 ^ { \circ } ，$$ ∵AB 是直径， $$\therefore \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 7/39 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCF=180°-90°-60°=30° (3)解：过点O作OH⊥AD于H,连接OC、OE, D E B AD⊥CD,OH⊥AD,OC⊥CD, 四边形OCDH是矩形， ..0H=CD=3,DH=OC=4, 在Rt△AOH中，OA=4, AH=0A2-0H=V42-32=V7 ..AD=AH+DH=7+4, ~OH⊥AE, ..AH EH, AE 2AH=2V7, :DE=AD-AE=V7+4-2W7=4-V7; (4)解：AB=AD+DE,理由如下： 过C作CN⊥AB于N,连接CE, B ~四边形ABCE内接于⊙O, ∴.∠AEC+∠B=180°， LAEC+∠CED=180°， ∠CED=∠B, CN⊥AB,AD⊥DF,AC平分∠DAB .CD=CN,∠CAD=∠CAN,∠D=∠CNB=∠ANC=90°， 8/59 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△ADC≌△ANC(AAS),△DCE≌△NCB(AAS), ∴AN=AD,DE=BN, ..AB=AN+BN=AD+DE. 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、圆内接四边形的性质，圆心角定理、垂径定 理、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握圆的相关性质和定理是解题的关键， 变式1-3如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（点C不与点A,B重合），点D是BC的中点， 过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E, D B (1)求证：DE是半圆O的切线. (2连接cD、BD,当DE=2,BD= 求半圆O的直径长度. 【答案】(1)见详解 爱 【分析】(1)连接OD,由弧相等得∠OAD=∠CAD,从而∠ODA=∠CAD,则ODIAE,再由DE⊥AC即可得 证； (2)银据D是弧BC的中点，求出cD=BD=在R△GDE中，勾股定理求出GE=圆周角定理得出 3 2 ∠ADB=90°，证明△CDE~△DAE,根据相似三角形的性质求出AE=?勾股定理求出AD,再根据勾股定 理即可求出AB 【详解】(1)证明：如图，连接0D, D B 0A=OD, .∠OAD=∠ODA, 又D为BC的中点， 9/39 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BD =CD, .∠OAD=∠CAD, .∠ODA=∠CAD, .ODIIAE, 又DE⊥AC, ∴.∠DEA=90°， .∠0DE=180°-∠DEA=180°-90°=90°， OD⊥DE; 又OD是半圆O的半径， DE是半圆O的切线， (2)解：D是弧BC的中点， CD-BD- 5 在Rt△CDE中，DE=2,CD=DE2+CE2=CD2, 则CE=之 3 AB为半圆O的直径， ∴LADB=90°， 则∠DAB+∠DBA=90. 四边形ABDC内接于⊙O, ·.∠ACD+∠DBA=180 :∠ACD+∠ECD=180°， LECD=∠DBA, ∠CDE+∠ECD=90°，∠DBA+∠DAB=90°， ∠CDE=∠DAB, 由(1)知∠BAD=∠EAD, .∠CDE=∠EAD, ∴.△CDE△DAE, CE ED ED=AE 10/39函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08圆中切线的证明 目录 典例详解 类型一、有切点，连半径，证垂直…1 类型二、无切点，作垂直，证半径 11 压轴专练 18 典例详解 类型一、有切点，连半径，证垂直 己知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证 垂直” 例1.如图，BE是⊙0的直径，点C是⊙0上的一点，点F是EC的中点，连接FO并延长至点D,交 ⊙0于点A,连接BD,∠D=∠E D B (1)求证：DB为⊙O的切线： (2)若∠D=30,AF=6. ①求EC的长； ②求阴影部分的面积. 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1-1.在四边形ABCD中，AB‖CD,∠A=∠D=90°，E为AD中点，连接BE、CE,且BE⊥CE B E (1)直接写出AB、CD、BC三条线段之间的数量关系. (2)以点E为圆心，EA长度为半径画圆，判断BC与⊙E是否相切，并说明理由. 3)若AD=6,设AB=x,DC=y,利用(2)的结论，求y与x的函数关系式： 变式1-2.如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的点，AD⊥CF于点D,且AD与⊙0交于点E,AC是 ∠BAD的平分线. D (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)当点E为AC的中点时，求∠FCB的度数： (3)若AB=8,CD=3,求DE的长 (4)试判断线段AB,AD,DE之间的数量关系，并说明理由. 2/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式1-3如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（点C不与点A,B重合），点D是BC的中点， 过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. 0 B (1)求证：DE是半圆O的切线 (2)连接CDBD,当DE=2,BD=,求半圆O的直径长度. 类型二、无切点，作垂直，证半径 当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的半 径，简称“作垂直，证半径”. 例2.如图，AC为OO的直径，CB是⊙O的切线，CB>AC,D为AB的中点，E在BC上，CE<BE,连 接DE,DE=BC 2 A D C E B (1)求证：DE为O0的切线 (2)若CE=2,EB=8,求⊙0的半径. 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2-1.如图，ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，O为AB的中点，连接CO交O0于点E,⊙0 与AC相切于点D. F G D B (1)求证：BC是O0的切线； (2)延长CO交⊙0于点G,连接AG交00于点F,若AC=4√2，求FG的长. 变式2-2.如图，以矩形ABCD的边AB为直径作半圆，圆心为点O,点E在边BC上，DO平分∠ADE. B (1)求证：DE是⊙0的切线： (2)若AB=6,BC=8,求BE的长. 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2-3.如图，在ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点O为边AB中点，以点O为圆心的圆与BC相 切于点D (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明. 压轴专练 一、解答题 1.如图，△ABC内接于⊙O,D为优弧AB上的点，弦CD与AB相交于点E,且AC2=AE·AB,延长 DC到点P,使得PB=PE A B (1)求证：PB是⊙0的切线： (2)若E是PD的中点，PB=4,求PC的长. 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.已知在平面直角坐标系中，点A(3,0),B(-3,0),C(-3,8),以线段BC为直径作圆，圆心为E,直 线AC交⊙E于点D,连接OD E G 图1 图2 (1)求证：直线0D是⊙E的切线； (2)点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G,连接BG: ①当tan∠ACF=时，求所有F点的坐标_（直接写出）； ②求熙的最大值. 3.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，D为⊙O上一点，连接CD,AD, ∠ADC=∠AOF,OF⊥AD于点E,交CD于点F. 2 (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若AC=20A,EF=2,求BD的长. 6/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为BC的中点，连接AC,BC,AD,AD与BC相交于点 G,过点D作直线DEBC,交AC的延长线于点E (1)求证：DE是⊙0的切线： (2)若AC=BD,CG=2,求阴影部分的面积. 5.如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是线段OA上（不与点A重合），连接CD,△ECD是 由△BCD沿CD翻折得到，DE交AC于点F,连接CO. E B D DO O(D) 图1 图2 图3 (1)如图1，若EF=CF,求证：CE是⊙O的切线： (2)若BC=6,AC=8, ①如图2，当DE⊥AC时，求器的值； ②如图3，当点D与点O重合时，连接AE,求AE的长. 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.如图，已知BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，P为CB延长线上一点，连接PAAC,且 ∠PAB=∠PCA. (1)证明：PA为⊙0切线： (2)作弦BE平行于PA,交AC于点D,若D为AC中点，CE=2,求⊙O的半径和PA的长. 7.如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，OO与AB相切于点M,与BD交于点E、F. M C (1)求证：BC是⊙0的切线： (2)连接EM,若EM∥BC,求∠ABC的度数. 8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接C0交⊙0于点E,⊙0与AC 相切于点D. C (1)求证：BC是⊙0的切线： 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)延长C0交⊙0于点G,连接AG交O0于点F,若AC=4√2，求FG的长 9.如图，O为正方形ABCD对角线上一点，BC与以O为圆心，OA长为半径的O0相切于点M. D B M (1)求证：CD与O0相切； (2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙0的半径. 10.如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以0为圆心，OC长为半径的O0与AD相切于点E,与AC相 交于点F. 图1 图2 (1)求证：AB与O0相切 (2)若正方形ABCD的边长为√2+1，点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交CE于点N.当 CM:FM=1:4时，求CN的长 9/9