第2章 圆 学情评估卷 2025-2026学年湘教版九年级数学下册

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1.下列说法正确的是(　　) A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 2．已知⊙O的半径为9 cm，若OA＝10 cm，则点A与⊙O的位置关系是(　　) A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定 3．[教材P52“练习”第3题变式]如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为(　　) A．100° B．90° C．80° D．50° (第3题)　　　(第4题)　　(第5题) 4．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上在AB同侧的两点，连接BD，BC，CD，且＝，若∠CBD＝31°，则∠BCD的度数为(　　) A．58° B．32° C．29° D．28° 5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(　　) A．(－1，－1) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(－2，－2) 6．如图，边长为4的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 (第6题)　　(第7题)　　　(第8题) 7.一面墙上有一个矩形门洞，矩形门洞的宽为1.5 m，高为2 m，现要将其改造成圆弧形门洞(如图)，则改造后圆弧形门洞的最大高度是(　　) A．2.25 m B．2.2 m C．2.15 m D．2.1 m 8．如图是一个钟表表盘(⊙O)，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的⊙O的切线于点P，若表盘的半径为，则切线长PC为(　　) A．3 B．2 C．2 D．3 9．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10 cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14 cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是(　　) A．圆形铁片的半径是4 cm B．四边形AOBC为正方形 C.的长度为4π cm D．扇形OAB的面积是4π cm2 (第9题) 　　(第10题)　 (第12题)　 (第13题) 10．如图，在正方形ABCD中，边长AD＝2，分别以A，D为圆心，线段AD的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积为(　　) A.－ B.－2 C. D．π－ 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是______. 12．如图，点O是△ABC的外心，连接OA，OB，若∠OBA＝20°，则∠AOB的度数为________. 13．如图，AE是直径，点B、C、D在半圆上，若∠B＝120°，则∠D＝__________. 14．如图所示的扇形中，若OA＝20，AC＝40，的长为40，则的长为________. (第14题) (第15题) (第16题) 15.如图，P是直线y＝－x＋4上一点，以点P为圆心，1个单位为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为____________. 16．如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为________. 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点B，且点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，连接OA交⊙A于点C，且C为OA中点，则图中阴影部分的面积为________. (第17题)　　　　(第18题) 18．如图，△ABC内接于⊙O，它的内心为点D，连接AD并延长交BC于点E，交⊙O于点F，已知BE＝5，CE＝4，EF＝3，则线段DE的长为________. 三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(6分)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.求证：△ABC是等边三角形. 20．(8分)如图，在破损车轮上有三根固定杆AB，BC，AC. (1)画出该破损车轮所在圆的圆心(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)若＝，固定杆BC＝16, AB＝10，求车轮的半径. 21．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A. (1)若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围； (2)若以AB为半径作⊙A，交BC于点M，求CM的长. 22.(8分)如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A. (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)若BC＝2，求BD的长. 23.(8分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P. (1)求证：AP＝AC； (2)若AC＝3，求PC的长. 24．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，经过A，B，E三点的⊙O交BC于点D，且D是的中点． (1)求证：AB是⊙O的直径； (2)若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积； (3)当∠CAB为锐角时，试探索∠CAB与∠EBC的关系，并说明理由. 25．(9分)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图所示，筒车⊙O按逆时针方向转动，每绕一圈需要120 s，筒车与水面分别交于A，B，且AB＝4 m，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2 m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间． (1)求筒车⊙O的半径； (2)盛水桶P从刚浮出水面绕到最高点时，求它走过的路径长； (3)拟修建接水槽MN，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田．MN所在直线与⊙O相切于点N，当盛水桶P从浮出水面至绕到MN上用时55 s时，求接水槽MN的长. 26．(10分)已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，如图①，边AD与BC的延长线交于点E，AC与BD相交于点F，所对的圆心角的度数为α，所对的圆心角的度数为β，且α>β. (1)求证：△ECD∽△EAB. (2)求∠E的度数(用含α，β的式子表示)． (3)如图②，当α＝2β时． ①若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径； ②记△BCD的面积为S1，△ABE的面积为S2，＝y，cos E＝x，当BE＝3BC时，求y关于x的函数表达式. 答案 一、1.B　2.A　3.A　4.D　5.C　6.C　7.A　8.B　9.C 10．A　方法点睛：如图，设两弧的交点为E，连接AE，DE，易得△AED是等边三角形，求出扇形AED的面积，扇形DAE的面积，△AED的面积，则S扇形AED－S△AED＋S扇形DAE的值，即为阴影部分的面积． 二、11.d>5　12.140°　13.150°　14.120 15．(3，1)或(5，－1)　16.24　17.2 －　18.－3 三、19.证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 20．解：(1)如图，点O为所求作的圆心． (2)如图，连接OA，OB，OC，设OA交BC于点D. ∵＝，∴AB＝AC. 又∵OB＝OC，∴OA垂直平分BC，∴BD＝CD＝BC. ∵BC＝16，∴BD＝8.∵AB＝10， ∴根据勾股定理，得AD＝＝6. 设车轮的半径为R，则在Rt△BOD中，R2＝82＋(R－6)2，解得R＝，∴车轮的半径为. 21．解：(1)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝＝8. ∵D是BC的中点，∴AD＝BC＝5. ∵点B，D，C均在⊙A外，∴0＜r＜5. (2)过点A作AH⊥BC于点H， 则S△ABC＝AB·AC＝BC·AH， ∴AH＝＝＝. 在Rt△ABH中，根据勾股定理， 得BH＝＝， 根据垂径定理，得BH＝MH. ∴CM＝BC－2BH＝10－×2＝. 22．(1)证明：连接OB，则OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠BOC＋2∠OBC＝180°. ∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＋∠OBC＝90°. ∵BC＝CD，∴∠D＝∠CBD. ∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBD， ∴∠CBD＋∠OBC＝90°， ∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD. 又∵OB为⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线． (2)解：由(1)知∠OBC＋∠CBD＝90°， ∴∠BOC＋∠D＝90°. ∵∠D＝∠CBD，∴∠OBC＝∠BOC，∴OC＝BC. 又∵OB＝OC，∴OC＝BC＝OB， ∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°. ∵BC＝2，∴OB＝2， ∴在Rt△OBD中，BD＝OB·tan 60°＝2 . 23．(1)证明：连接OA.根据题意，得∠OAP＝90°. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°. ∴∠P＝∠AOC－∠OAP＝120°－90°＝30°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝×(180°－120°)＝30°.∴∠P＝∠OCA，∴AP＝AC. (2)解：∵AC＝3，∴AP＝AC＝3. ∵∠OAP＝90°，∠P＝30°，∴易得OA＝，OP＝2， 又∵OC＝OA＝，∴PC＝OP＋OC＝3. 24．(1)证明：如图，连接AD.∵D是的中点， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵AB＝AC，∴AD⊥BD，∴∠ADB＝90°， ∴AB是⊙O的直径． (2)解：如图，连接OE，过点O作OH⊥BE，交BE于点H.∵∠C＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，∴∠BOE＝120°，∴∠AOE＝60°， ∴∠OBE＝∠AOE＝30°. ∵AB＝8，∴OA＝OB＝4.∴易得OH＝2，BE＝4 . ∴S阴影＝S扇形OAE＋S△BOE＝＋×2×4 ＝＋4 . (3)解：∠CAB＝2∠EBC. 理由：∵∠EBC＝∠CAD，∠BAD＝∠CAD， ∴∠CAB＝2∠CAD＝2∠EBC. 25．解：(1)如图，连接OA. 由题易知OC⊥AB，∴AC＝AB＝2 m， ∴OA＝＝4 m，∴筒车⊙O的半径是4 m. (2)如图，延长CO交⊙O于点P′. ∵tan ∠AOC＝＝，∴∠AOC＝60°， ∴∠AOP′＝180°－∠AOC＝120°， ∴＝＝(m)， ∴盛水桶P从刚浮出水面绕到最高点时，它走过的路径长是 m. (3)如图，过点N作ND⊥OP′于点D，NE⊥AB于点E，连接ON. ∵MN所在直线与⊙O相切，切点为N，∴ON⊥MN， ∴∠MNO＝90°. 筒车⊙O按逆时针方向每秒转过的角度为360°÷120＝3°，则55 s转过的角度为3°×55＝165°，∴∠AON＝165°， ∴∠P′ON＝∠AON－∠AOP′＝45°， ∴∠NOC＝180°－∠P′ON＝135°， ∴∠NMC＝360°－∠NOC－∠MNO－∠MCO＝45°. OD＝ON·cos ∠P′ON＝4×＝2(m)， ∴NE＝CD＝OC＋OD＝(2＋2)m， ∴MN＝＝＝(4＋2)m， ∴接水槽MN的长为(4＋2)m. 26．(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC＋∠CDA＝180°. 又∵∠CDE＋∠CDA＝180°，∴∠CDE＝∠ABE. 又∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EAB. (2)解：∵所对的圆心角的度数为α，所对的圆心角的度数为β， ∴∠ADB＝α，∠EBD＝β， ∵∠EBD＋∠E＝∠ADB，即β＋∠E＝α， ∴∠E＝(α－β)． (3)解：①如图，过点O作OM⊥AB，交AB于点N，交⊙O于点M，连接AM，AO， 由(2)知∠ADB＝α， ∠CBD＝β. 又∵α＝2β，∴∠ADB＝2∠CBD，∴＝2. ∵OM⊥AB，∴＝2， ∴＝，∴AM＝CD＝2， ∵OM⊥AB，AB＝8，∴AN＝AB＝4， ∴MN＝＝＝2. 设⊙O的半径为r， 在Rt△ANO中，OA2＝AN2＋ON2， ∴r2＝42＋(r－2)2， 解得r＝5，∴⊙O的半径为5. ②∵∠ADB＝2∠CBD，∠ADB＝∠CBD＋∠E， ∴∠CBD＝∠E.易知＝＝， ∴∠BAM＝∠CBD，∴∠BAM＝∠E， ∴cos ∠BAM＝cos E＝x，∴＝x. ∵BE＝3BC，∴CE＝2BC，∴S△CDE＝2S△CDB. 由(1)知△CDE∽△ABE， ∴＝2＝2＝2＝， ∴＝，∴＝，即y＝. 学科网（北京）股份有限公司 $