【第二章 分式 05讲 可化为一元一次方程的分式方程】【四大知识点+十大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第二章 分式 05讲 可化为一元一次方程的分式方程 题型归纳 【题型1. 分式方程的定义】…………………………………………………………… 3 【题型2. 解分式方程】………………………………………………………………… 5 【题型3. 根据分式方程有增根的情况求值】………………………………………… 8 【题型4. 分式方程无解问题】………………………………………………………… 11 【题型5. 分式方程整数解问题】……………………………………………………… 15 【题型6. 分式方程的行程问题】……………………………………………………… 20 【题型7. 分式方程的工程问题】……………………………………………………… 24 【题型8. 分式方程的经济问题】……………………………………………………… 27 【题型9. 分式方程的和差倍问题】…………………………………………………… 34 【题型10. 分式方程的其他问题】……………………………………………………… 40 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 46 知识清单 知识点1 分式方程 1.定义：如方程 这样分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【提示】分母中没有未知数的方程是整式方程. 知识点2 解分式方程 1.步骤：（1）去分母； （2）解这个整式方程； （3）检验（把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解，否则这个解不是原方程的解）. 知识点3 增根 1.定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫作原方程的增根. 2.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子为0时，对于整式方程来说，求出的根能使整式方程成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 例：解分式方程 . 解：方程两边乘，得 解得 检验：当时， 所以，是增根，原方程无解 . 知识点4 列分式方程解实际问题 1.步骤：（1）审；（2）找；（3）设；（4）列；（5）解；（6）验；（7）答. （与一元一次方程的应用解题思路一致） 题型专练 题型1. 分式方程的判断 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 【变式1】（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 题型2. 解分式方程 解下列分式方程： 解：方程两边同乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，分母， 所以是增根，原方程无解． 解：去分母，得， 解得 检验：把代入的 ∴分式方程的解为 解：去分母得；， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解 解：去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， 原分式方程的解为 解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 把代入， 是分式方程的增根， 原分式方程无解． 解：分式两边同时乘以得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 解： ； 经检验，使得，即为方程增根， 故该方程无解 解： ， 经检验，使得， 故是该方程的解． 解：两边都乘以得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 解：方程两边同乘，得：， 解得：， 检验，把代入得， ∴分式方程的解为 解：方程两边同乘得：， 解得：， 检验，把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 解：去分母得 解得， 经检验，是原方程的增根． 故原方程无解． 解：去分母得： 整理得：， 解得：， 检验：当，， ∴是原分式方程的解． 解：去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解 解：， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 故方程的解为 解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解 解：方程两边同乘得：， ∴， ∴， 解得． 检验：当时，， 故原方程的解为 解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为 解：， ， 即， 经检验：当时，则， ∴是原分式方程的解． 解： ，即 经检验：当时，则， ∴是原分式方程的解． 题型3. 根据分式方程有增根的情况求值 【例1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）若分式方程有增根，则这个增根的值为（    ） A．1 B．3 C． D．3或 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为零的根，根据增根的定义求解即可． 【详解】原方程两边分母为，故增根必为． 将方程左边合并：，方程化为， 两边同乘得， 解得． ∵方程有增根， ∴ ∴， 因此，增根唯一可能为， 故选C． 【例2】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）若方程有增根，则n的值为（    ） A．0 B． C．5 D．以上都不对 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程的增根即为最简公分母为0时，的值．已知方程两边都乘以去分母后求出的值，由方程有增根得到，即可求出的值． 【详解】解：已知方程去分母得， 解得， 由分式方程有增根得， ， ． 故选：C． 【例3】（24-25九年级下·广东深圳·期中）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【分析】本题考查了实解分式方程． 观察解分式方程的步骤，找出错误，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：小虎是从第四步开始出现错误， ①若，则方程无解，此时 ②若， ， 若方程无解，则为增根，即 综上，或． 【变式1】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解分式方程以及方程产生增根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解分式方程得，根据分式方程有增根得，代入即可求出的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 分式方程有增根， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·四川内江·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的概念是解题的关键．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为． 当分母为零时，增根为． 将方程变形：，合并分式得． 两边乘以，得，化简为． 整理得，即． 将增根代入，得，解得． 故的值是． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）若关于的方程的解是增根，求的值． 【分析】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握解决分式方程增根问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．据此解答即可． 【详解】解：在方程两边同乘以得：， ∵分式方程的解是增根， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴的值为． 题型4. 分式方程无解问题 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 【例2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）若分式方程无解，则a的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，所以或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， ， 方程无解， 或， 或， 或， 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）若关于的方程无解，求的值． 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握“分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0”是解题的关键； 解分式方程得出，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 【变式2】（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）m为何值时，关于x的分式方程无解？ 【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定义是解决本题的关键． 先求出分式方程的解，再根据分式方程的解的定义解决此题． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵分式方程无解， ∴．∴． 题型5. 分式方程整数解问题 【例1】（2023八年级下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集为，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【分析】解不等式组，根据解不等式组的法则可得m的取值范围，再解分式方程，根据题意求出整数m的值即可解答． 【详解】解：解不等式组， 得：， 不等式组的解集为， ， 解关于x的分式方程， 可得且， 分式方程有正整数解， 的值为，，， 即的值为，，， ， 的值为，， 故满足条件的所有整数m的和为． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握计算法则，记住分式方程增根的情况是解题的关键． 【例2】（2025·四川泸州·一模）若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．不等式组变形后，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，即可解答． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 解分式方程，得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或， ∴或或或， 时，，原分式方程无解，故将舍去， ∴符合条件的所有整数的个数为3， 故选：B． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【分析】此题考查了分式方程的解法、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数的值． 【详解】解：， 去分母得：（）， 解：， ∵有整数解， ∴或且， 解得：或或或且， ∴此时整数的值为或或． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．9 B．6 C．2 D． 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集为，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组的解集为：， ∴， ， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，y为整数且， ∴，且， ∴符合条件的所有整数a的值为：，7， ∴符合条件的所有整数a的和为：6， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（   ） A． B．18 C． D．9 【分析】本题考查分式方程的解和一元一次不等式组的整数解．由题意分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组的解中至少包含三个整数”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程的解是不小于的整数”，得到a的值进而即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵该不等式组的解中至少包含三个整数， ∴该不等式组至少有整数解5，6，7， 则有，解得， 解分式方程得： 且， ∵该分式方程的解是不小于的整数， ∴，则a的值为3的倍数，且， ∴，且， ∵， ∴，且a为3的倍数，， 则整数a的值为或或， 即满足条件的所有整数a的值之和为． 故选：A． 【变式3】（24-25八年级上·四川眉山·期中）若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为多少？ 【分析】本题考查了根据不等式组和分式方程解的情况求解参数，准确的计算是解题关键．解关于的不等式组得：．可得；分式方程的解为：．根且即可求解； 【详解】解：解关于的不等式组得：． 关于的不等式组有且只有五个整数解， ． 关于的分式方程的解为：． 关于的分式方程可得产生增根2， ． 关于的分式方程的解为非负整数， 且． ．解得：． 为整数，且为整数，． 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 题型6. 分式方程的行程问题 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1800米，4500米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，求小明和小刚两人的速度． 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设小明的速度是米/分钟，则小刚骑自行车的速度是米/分钟， 根据题意可得：， 解得：， 经检验得：是原方程的根， 故， 答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）为落实习近平总书记关于科技创新的重要论述，大力弘扬科学家精神，某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动，现有两条路线可供选择：路线A的全程是30千米，但交通比较拥堵，路线B的全程是35千米，但平均车速比走路线A时能提高，若走路线B能比走路线A少用10分钟．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少？ 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设走路线的平均速度为千米时，则走路线的平均速度为千米时，走路线需用时小时，走路线需用时小时，根据“走路线能比走路线少用分钟”即可列出方程，求解并检验即可解答． 【详解】解：设走路线的平均速度为千米时， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． ． 答：走路线的平均速度是40千米时，走路线的平均速度是60千米/时． 【例3】（23-24八年级上·广西桂林·期中）随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度是普快平均速度的2.4倍． (1)求高铁的平均速度． (2)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米．某日王老师要从桂林到贺州参加11:00召开的会议，如果他买到当日9:15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 对于（1），设普快的平均速度为x千米/时，可得高铁的速度，再根据时间的差等于3.2小时列出分式方程，检验可得答案； 对于（2），先求出王老师实际所需时间，再和规定时间比较可得答案． 【详解】（1）解：设普快的平均速度为x千米/时，则高铁的速度为千米/时，根据题意得： ，          解得：．                           经检验，是原方程的解，          ． 答：高铁的平均速度为300千米/时． （2）解：王老师能在开会之前赶到，                （小时），          （小时），         ∵， ∴王老师能在开会之前赶到． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 先设甲的速度为，乙的速度为，由第一次相遇可知路程和为得到，则，再由“甲、乙两车同时到达A地”可知时间相同，继而建立分式方程求解． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：时原方程的解，且符合题意， 则 答：甲车的速度为、乙车的速度． 【变式2】（2025·广东珠海·三模）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； (2)设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【分析】（1）利用行驶路程总行驶费用每千米的行驶费用，结合两车在相同路段且行驶里程相同，列出分式方程，解方程即可； （2）利用年使用费用行驶费用其它费用，可用含x的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用，再分，及三种情况，求出x的取值范围或x的值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元； （2）纯电动汽车的年使用费用为元，燃油车的年使用费用为元， 当时，， 当时，购买燃油车比较划算； 当时，， 当时，购买纯电动汽车和燃油车均可； 当时，， 当时，购买纯电动汽车比较划算． 答：当时，购买燃油车比较划算；当时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当时，购买纯电动汽车比较划算． 【变式3】（24-25八年级下·福建泉州·期末）某校组织部分八年级的同学乘坐大巴车去市博物馆研学，市博物馆距离该校25千米，1号车出发5分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求1号车的平均速度． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设1号车的平均速度为千米/时，则2号车的平均速度为千米/时，根据时间路程速度，结合1号车比2号车多用5分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设1号车的平均速度为千米/时，则2号车的平均速度为千米/时，         依题意，得：，         解得：，             经检验，是原方程的解且符合题意，         答：1号车的平均速度为50千米/时． 题型7. 分式方程的工程问题 【例1】（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．              根据题意得：．                解得：．                            经检验，是原方程的根，且符合题意．                    答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 【例2】（24-25八年级下·江西吉安·期末）某工厂计划生产3600个零件，现有甲、乙两个车间都具备生产能力．已知甲车间单独生产完成这批零件比乙车间单独生产完成这批零件多用6天；乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.5倍． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产的零件数量； (2)若甲车间生产的费用是每天1000元，乙车间生产的费用是每天1800元．若工厂计划让甲、乙两个车间共同生产这批零件，且总费用不超过19000元，则甲车间最少生产多少天？ 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设甲车间每天生产的零件数量为x个，则乙车间每天生产的零件数量为1.5x个，根据题意得出分式方程，解方程即可； （2）设甲车间最少生产a天，根据题意得出，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲车间每天生产的零件数量为x个，则乙车间每天生产的零件数量为1.5x个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解． ∴（个） 即甲车间每天生产的零件数量为200个，则乙车间每天生产的零件数量为300个． （2）设甲车间最少生产a天．根据题意， 得， 解得， 答：甲车间最少生产13天． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）李师傅计划生产720个零件．当生产任务完成一半时，为了提前完成任务，李师傅将工作效率提高，结果比原计划提前了24分钟完成任务，求李师傅原计划每小时生产多少个零件？ 【分析】该题考查了分式方程的应用，设李师傅原计划每小时生产x个零件，根据“结果比原计划提前了24分钟完成任务，”即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设李师傅原计划每小时生产x个零件， 由题意得， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：李师傅原计划每小时生产180个零件． 【变式2】（24-25八年级下·海南·期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的5倍．用一条A型自动分拣流水线分拣4000件包裹比1名工人分拣同样数量的包裹少用8小时．求一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及用一次不等式解决实际问题． 设1名工人每小时分拣x件包裹，则一条A型自动分拣流水线每小时分拣5x件包裹．根据题意列出分式方程，解分式方程求出x，进一步即可求出设1名工人每小时分拣x件包裹，则一条A型自动分拣流水线每小时分拣包裹数． 【详解】解：设1名工人每小时分拣x件包裹， 则一条A型自动分拣流水线每小时分拣5x件包裹． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解，并且，符合题意． 答：一条A型自动分拣流水线每小时能分拣2000件包裹． 【变式3】（24-25八年级下·上海宝山·期中）某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【分析】本题考查了分式的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根． 【详解】解：设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人， 根据题意得： ， 解得：，， 经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：原计划每天组装10个机器人． 题型8. 分式方程的经济问题 【例1】（2025·河南·模拟预测）某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含单位的钠元素，每克乙种原料含单位的钠元素． (1)求购买甲、乙两种原料的单价． (2)若购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下，如何选购原料才能使得费用最低？最低费用是多少元？ 【分析】本题考查了利用分式方程解决实际问题，利用一元一次不等式解决销售问题，解题关键是找准等量关系或不等关系． （1）设购买甲种原料的单价为x元/克，可用x表示出购买乙种原料的单价，再根据“已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多”列出方程求解； （2）设购买甲种原料m克，可用m表示出购买乙种原料的质量，根据“购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下”列出不等式求解． 【详解】解：（1）设购买甲种原料的单价为x元/克，则购买乙种原料的单价为（）元/克． 由题意，可得， 解得． 经检验，为分式方程的解，且符合题意． （元/克）． 答：购买甲种原料的单价为元/克，购买乙种原料的单价为元/克． （2）设购买甲种原料m克，则购买乙种原料（）克． 由题意，得，解得． 设费用为W元． 由题意，可得， ∵， ∴W随m的增大而增大． ∴当m取最小值时，W有最小值，最小值为． ∴（克）． 答：当购买甲种原料克，乙种原料克时，才能使得费用最低，最低费用为元． 【例2】（24-25八年级下·四川巴中·期末）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机等人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同． (1)求A型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【分析】本题分式方程的应用和不等式的应用，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键， （1）设型机器人模型单价为元，则A型机器人模型单价为元．根据题意列出分式方程，解方程并检验即可得到答案． （2）设购买A型机器人台，则购买型机器人台．根据题意得， 从而得到的取值范围，设共花费元，根据题意可得，由于，则随的减小而减小，故当时，值最小．从而得到答案． 【详解】（1）解：设型机器人模型单价为元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得 解得， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意 （元）， 答：A型机器人模型单价为元，型机器人模型单价为元． （2）解：设购买A型机器人台，则购买型机器人台． 根据题意，得， 解得， 设共花费元，则， ， 随的减小而减小， 且为正整数， 当时，值最小．， ∴（台）． 答：购买A型机器人台、型机器人台时花费最少，最少花费是元． 【例3】（24-25八年级下·广东佛山·期中）花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙花卉的进价比甲花卉的进价少5元/箱，用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同，运输过程中甲花卉的数量会损失，乙花卉的数量会损失． (1)求甲、乙花卉的进价； (2)如果花店在进价的基础上提高作为售价，假设花店计划只购进甲、乙其中的一款花束．此时：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；花店为了不亏本，应该选择购买 花卉．（填“甲”或“乙”或“任意一款”）； (3)现花店打算只购买乙花卉，请通过计算说明乙花卉的售价每箱最低应提高百分之几，才能使得花店获得至少的利润？（精确到） 【分析】题目主要考查分式方程的应用、列代数式及不等式的应用，理解题意，列出方程和不等式是解题关键． （1）设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）设乙花卉每箱应提高a，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱 根据题意得： 解之得： 经检验：方程的解 所以乙花卉的进价为：（元/箱） 答：甲花卉进价为85元/箱，则乙花卉进价为80元/箱 （2）如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为元， 如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为元， ∵ ∴应该选择甲花卉； （3）设乙花卉每箱应提高a 答：乙花卉的售价每箱最低应提高． 【变式1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）新中考实行以后，三大球（三选一）项目迎来了男生和女生的热爱．某商场准备购进篮球、足球两球出售，篮球每个售价130元，足球每个售价100元．每个篮球的进价比足球的进价贵20元，用240元单独购进篮球的数量比单独购进足球的数量少1个，现计划购进两种球共100个，其中篮球不少于68个．若这两种球全部销售完，所获总利润为元，购进篮球个． (1)篮球每个的进价是________元、足球每个的进价是________元，关于的函数解析式为________； (2)若购进这100个球的费用不得超过7600元，求商场所获总利润元的最大值，并求出此时两种球各自的购进数量； (3)在（2）的条件下，若该商场对篮球每个降价元，足球价格不变，如果这100个球全部售完，商场发现所获总利润为3864元，求的值． 【分析】（1）设足球每个进价为m元，则每个篮球的进价为元，根据用240元单独购进篮球的数量比单独购进足球的数量少1个列出分式方程求解并检验即可得出答案，设购进篮球个，，则足球为个，再根据利润的足球的利润加上篮球的利润列出关于的函数解析式即可． （2）根据题意列出关于x的一元一次不等式，求解x的取值范围，再利用一次函数的性质即可得出答案． （3）当篮球每个降价元，则篮球单件利润为：元，根据题意列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设足球每个进价为m元，则每个篮球的进价为元， 则， 解得：，（负值舍去）， 经检验是分式方程的解， 则足球每个进价为60元，篮球每个进价为80元． 设购进篮球个，，则足球为个， 根据题意有：， 整理得：． （2）解：根据题意可知：， 解得：， ∴， 则， ∵， ∴y随着x的增大而增大， 故当时，y取的最大值为：（元）， 此时购进篮球80个，足球20个． （3）解：当篮球每个降价元，则篮球单件利润为：元， 根据题意可得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及一元一次方程的应用，读懂题意是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积： 电池容量： 油价：8元/ 电价：元/ 续航里程：a千米 续航里程：a千米 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)求a的值． (2)填空：燃油车每千米的行驶费用为______元，新能源车每千米的行驶费用为_____元； (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，有理数乘除法的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和算式是解题的关键． （1）燃油车一箱油的费用除以其续航里程可得燃油车每千米的费用，新能源车充满电的费用除以其续航里程可得新能源车每千米的费用，再根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元建立方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据新能源车的年费用更低建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； （2）解：元，元， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； （3）解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 【变式3】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，进价和售价见表，且用320元购买敖丙挂件的个数与用400元购买哪吒挂件个数一样多． 敖丙挂件 哪吒挂件 进价（元/个） 售价（元/个） 11 15 (1)求的值 (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共1000件，其中敖丙挂件个，两种挂件全部销售后获得的利润为元，该批发商最多投入资金8600元用来采购且全部销售后利润不低于3500元， 求①与的函数关系式 ②该批发商采取何种进货方案获利最大，最大利润是多少元？ 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式组的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． （1）根据“用320元购买敖丙挂件的个数与用400元购买哪吒挂件个数一样多”解答即可． （2）①根据题意列出关于利润的函数关系式即可； ②根据“批发商最多投入资金8600元用来采购且全部销售后利润不低于3500元”列出不等式求出x的范围，再根据函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意有＝． 解得：， 经检验是方程得解且符合题意， ∴． （2）解：①由题意有． ②由题意有， 解得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∴该批发商进700件敖丙挂件，1300件哪吒挂件利润最大，最大利润是3600元． 题型9. 分式方程的和差倍问题 【例1】（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键．设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元，根据“用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同”，即可列方程求解． 【详解】解：设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商店硬面笔记本的单价为16元． 【例2】（2025·河南南阳·二模）开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，根据“用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件”列分式方程，求解并检验即可； （2）设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据“购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元”列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，令表示总费用，求出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元， 由题意，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．则． 答：款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元． （2）解：设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据题意，得 ，解得． 款纪念品的数量不少于款纪念品数量的一半， ， 解得． ． 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种购买方案． （3）解：在（2）的条件下，令表示总费用，则． ， 随着的增大而增大． 当时，取得最小值， 最小值为． 答：当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元． 【例3】（2025·吉林长春·二模）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【分析】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． （1）根据方程形式，可判断变量表示的含义； （2）根据表示的含义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【变式2】（2025·云南昆明·一模）无人机搭载高分辨率相机与多光谱传感器，能实时捕捉农田病虫害图像与光谱信息，识别病害类型与害虫情况，构建病虫害暴发与扩散模型，实现监测与预警，并利用智能喷洒系统精准施药，提升农药利用率与防治效果．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的8倍，若使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设人工每小时对茶园打药的作业面积为亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为亩，根据使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时建立方程求解即可． 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为亩， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为80亩． 【变式3】（2025·重庆·三模）为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程． （1）由题意：用4000元全部购进A种盆栽的数量比用4000元全部购进B种盆栽的数量少100盆，列出分式方程，解方程即可； （2）根据“学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设B种盆栽的单价为x元，则A种盆栽的单价为元，根据题意，A的数量比B少100盆，则： ， 解得， 故B的单价为20元，A的单价为40元； A的数量：盆，B的数量：盆； 答：学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆； （2）解：3月份A的数量为盆，B的数量为盆， 设A打d折，则A的单价为元，总费用为元， 根据总费用关系得：， 整理得：， 解得：， 所以，种盆栽打了九折． 题型10. 分式方程的其他问题 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是． 【例2】（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量； （2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克， 依题意得：， 解得：； 经检验，x=600是原方程的解，且符合题意， ∴2x=2×600=1200． 答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻， 依题意得：9600+600（）+1200y≥17700， 解得：． 答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【例3】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）某农业合作社积极利用智能化农业设备，计划引进无人机田间喷洒农药技术．无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量比常规喷药壶用药量少毫升，无人机用药毫升喷洒的面积与常规喷药壶用药毫升喷洒的农田面积相同． (1)求无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量． (2)该合作社计划购进两种型号的喷药无人机共台，已知型号机每台万元，型号机每台万元，现要求采购型号机的数量不高于型号机数量的．请计算该合作社应采购两种型号的无人机各多少台时，所需费用最少？并求出此时的最少费用． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）设无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升，则常规喷药壶单位用药为毫升，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设采购型号机台，则型号机为台，根据题意得，解得，设总费用为万元，根据题意得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：（1）设无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升，则常规喷药壶单位用药为毫升， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解，且，符合题意， 答：无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量为毫升； （2）解：设采购型号机台，则型号机为台， 根据题意，得， 解得， 设总费用为万元， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，， 则， 答：应采购型号机台，型号机台时所需费用最少，最少费用为万元． 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出x的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），由题意得： ，解得：， ，为整数，且为正整数， 或，的值为或． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 【分析】设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，抓住田地的亩数不变是解题的关键． 【详解】解：设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克 ， 经检验，是所列方程的解． 答：2024年每亩产量达到600千克． 【变式3】（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，根据“一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时”列分式方程，求解即可； （2）设果园还需要y个人挑担，根据题意列一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，由题意得： ， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意 ∴， 答：一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤； （2）解：设果园还需要y个人挑担，由题意得： ， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最小值为9． 答：果园至少还需要9个果农挑担． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是通过去分母将其转化为整式方程．观察方程两边的分母均为，确定最简公分母为，两边同乘后消去分母． 【详解】解：， 方程两边同乘，得： ， ， 故选A． 2．（24-25八年级下·四川乐山·期末）代数式的值一定不为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】此题主要考查了分式的混合运算，解分式方程，正确进行分式的混合运算是解题关键．将代数式化简后分析各选项的可能性，确定无法取到的值即可. 【详解】解： ， 选项D（0）：当分子即时，分母，此时值为0，可能； 选项C（1）：若，则，解得矛盾，无解，故不可能； 选项B（2）：若，解得，分母，可能； 选项A（3）：若，解得，分母，可能； 综上，代数式的值一定不为1， 故选C 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查解分式方程，解题关键在于利用转化的思想，解分式方程注意要检验．将分式方程两边乘以最简公分母，转化为整式方程即可． 【详解】解：两边同乘最简公分母，得： 故选：B． 4．（24-25八年级下·江西抚州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】本题考查的是分式方程的增根问题，掌握“已知增根的情况下求解参数的值”是解本题的关键． 分式方程的增根是使最简公分母为零的根．首先确定增根为，再将原方程转化为整式方程，代入增根求解的值． 【详解】解：原方程中，分母为和，最简公分母为．当时，分母为零，故增根为． 将方程两边同乘，得： 展开并整理得： 将增根代入，得：， 解得．故选A． 5．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：C． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 7．（24-25八年级下·重庆江北·期末）若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，能根据不等式组解集情况与分式方程解的情况确定出值是解题的关键．先求解不等式组，再根据不等式组有且仅有3个整数解，求出的取值范围，然后解分式方程，根据分式方程的解是整数解，求出的取值范围，最后根据两取值范围求整数的值，即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：； 解得：， ∵分式的解是整数且， ∴需为偶数且， ∴为奇数且， ∵， ∴整数的值为， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故选：B． 8．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【分析】本题主要考查了解分式方程的知识，首先解分式方程，得到，根据解为非负数以及，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 移项，得 ， 两边同时乘以，得 ， 解得 ， 根据题意，为非负数，即，解得 ， 又因为，即， 将其代入，得，解得， 所以，需同时满足且． 故选：D． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 10．（24-25八年级下·上海·期中）一汽船在顺流中航行48千米和逆流中航行32千米，共用去的时间正好等于它在静水中航行85千米用去的时间，已知水流速度是3千米/时．若设该汽船在静水中的航行速度为千米/时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设汽船在静水中的速度为千米/时，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设汽船在静水中的速度为千米/时，依题意可得： ， 故选：A． 二、填空题 11．（2025·北京·中考真题）方程的解为 ． 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·全国·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【分析】本题考查了解分式方程，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，再结合该分式方程有增根得出，然后把代入，进行计算，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 则把代入， 得， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键． 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 14．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【分析】此题考查分式的化简求值，解分式方程，先解分式方程得到，代入所求代数式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 15．（24-25八年级下·福建漳州·期末）若关于的分式方程的解是，则 的值是 ． 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解求参数，熟练掌握分式方程的运算是解题关键． 去分母，将分式方程转化为整式方程，将代入，即可求解． 【详解】解： 整理，得：， 去分母，得：， 解得：， 把代入，得：． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的无解，熟练掌握分母等于零时分式方程无解是解答本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解： 由分式方程无解，得到， 解得， 将代入， 故答案为：5． 17．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为 ． 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数． 先解分式方程得到，根据分式方程的解为正数结合分式方程不能有增根求出且；再解不等式组，根据不等式组的解集为得到，由此确定满足题意的所有满足条件的整数a，再求出对应的和即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵分式方程的解为正数，且， ∴， ∴且； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 综上所述，且， ∴所有满足题意的整数a的值为3，4，6，7， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·重庆·期中）若关于x的不等式组只有1个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解，分式方程的整数解，由得，因不等式组只有1个奇数解，故，而方程的解是整数，可得整数a可取的值有，，1，即可得到答案． 【详解】解：由得， ∵不等式组只有1个奇数解， ∴， ∴， 由方程得， ∵方程的解是整数，且， ∴整数a可取的值有，，1， ∴所有满足条件的整数a的值之和为； 故答案为：． 19．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）若关于的一元一次不等式组有解且刚好3个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数的积为 ． 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组有解且刚好3个奇数解列出不等式组求出a的取值范围，再解分式方程得到，根据题意可得是整数，则（k为整数），根据，得到，则；据此结合分式方程不能有增根可确定a的值，从而可得答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且刚好3个奇数解， ∴， 解得； 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的分式方程的解是整数， ∴是整数， ∴（k为整数）， ∴ ∵， ∴， ∴； ∴k的值可以为， ∴的值可以为， 又∵， ∴； 综上所述，的值可以为， ∴满足条件的所有整数的积为， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·上海青浦·期末）一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米/时，那么根据题意，列出的方程为 ． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设货车原来的行驶速度为x千米每小时，然后根据将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，列出方程即可． 【详解】解：设货车原来的行驶速度为x千米每小时， 由题意得：， 故答案为：． 三、解答题 21.解下列分式方程 解：方程两边同乘以得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴分式方程的解为． 解：去分母，得， 解得． 经检验，时，， 是原方程的解． 解：去分母得：， ∴ 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根 解：去分母得：， ∴ ∴ 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 解：方程两边都乘以，得． 解这个方程，得． 经检验：是原分式方程的解． 解：原方程整理，得， 去分母，得， 解得． 经检验，是原方程的解． 解：， ， ， 解得； 经检验：当时，则， 故此方程无解． 解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 解： 解得 经检验：当时，则 ∴是原方程的解 解：方程两边都乘，得， 移项、合并同类项得， 把系数化为1，得 ， 检验： 时，， 所以，是原方程的解． 解：方程两边同乘，得， ∴， 移项， 合并同类项，系数化为1， 得， 经检验，是原方程的解. 解：去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 解：方程两边都乘以得， 解得： 当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 解：化简得：， 分式方程两边同乘以，得， 解得， ∵当时，， ∴经检验，是原方程的增根． ∴原方程无解． 解：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为 解： 解得： 经检验：是增根， ∴原方程无解． 解：去分母，得， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解是 解：去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴ 原方程的解是. 解： ， ∴， 检验，当时，， ∴原分式方程无解 解： ∴， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：． 解：程两边同乘，得： ， 解得． 检验：当时，， 所以为原方程的解． 解：去分母得：， ∴， 经检验是原方程的根 解：去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 经检验，时，， 是原方程的增根， 故原方程无解． 解：， 解得：， 经检验：是增根， ∴原方程无解． 22．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的分式方程 (1)若该方程有增根，求的值； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， 解得， 又∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， ∴且． 23．（24-25八年级上·河北沧州·期末）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）把？代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为，去分母后把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：设？为m，则分式方程为， 方程两边同时乘得 整理得， 由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即 所以把代入得，解得， 所以，原分式方程中“？”代表的数是． 24．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 25．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 26．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； 27．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 28．（2023·辽宁锦州·中考真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可． 【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （元）． 所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键． 29．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解． 乙：，解得，经检验是原方程的解． 则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______； (2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可； （2）设最多购进型玩具个，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个， ∴分别表示型玩具和型玩具的数量， ∴表示型玩具的单价； 对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍， ∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价， ∴表示购买型玩具的数量； 故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量 （2）设购进型玩具个，则购买型玩具个， 由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元， 由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴； 答：最多购进型玩具个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 30．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 分式 05讲 可化为一元一次方程的分式方程 题型归纳 【题型1. 分式方程的定义】…………………………………………………………… 3 【题型2. 解分式方程】………………………………………………………………… 3 【题型3. 根据分式方程有增根的情况求值】………………………………………… 5 【题型4. 分式方程无解问题】………………………………………………………… 6 【题型5. 分式方程整数解问题】……………………………………………………… 7 【题型6. 分式方程的行程问题】……………………………………………………… 8 【题型7. 分式方程的工程问题】……………………………………………………… 11 【题型8. 分式方程的经济问题】……………………………………………………… 13 【题型9. 分式方程的和差倍问题】…………………………………………………… 16 【题型10. 分式方程的其他问题】……………………………………………………… 19 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 23 知识清单 知识点1 分式方程 1.定义：如方程 这样分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【提示】分母中没有未知数的方程是整式方程. 知识点2 解分式方程 1.步骤：（1）去分母； （2）解这个整式方程； （3）检验（把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解，否则这个解不是原方程的解）. 知识点3 增根 1.定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫作原方程的增根. 2.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子为0时，对于整式方程来说，求出的根能使整式方程成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 例：解分式方程 . 解：方程两边乘，得 解得 检验：当时， 所以，是增根，原方程无解 . 知识点4 列分式方程解实际问题 1.步骤：（1）审；（2）找；（3）设；（4）列；（5）解；（6）验；（7）答. （与一元一次方程的应用解题思路一致） 题型专练 题型1. 分式方程的判断 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【变式1】（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 题型2. 解分式方程 解下列分式方程： 题型3. 根据分式方程有增根的情况求值 【例1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）若分式方程有增根，则这个增根的值为（    ） A．1 B．3 C． D．3或 【例2】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）若方程有增根，则n的值为（    ） A．0 B． C．5 D．以上都不对 【例3】（24-25九年级下·广东深圳·期中）下面是小虎在解决分式方程无解问题的分析过程： 解：第一步：去分母，得， 第二步：移项，得， 第三步：合并同类项，得， 第四步：化系数为1得， 第五步：若方程无解，则为增根，即， 第六步：∴． 请问小虎是从第 步开始出现错误，请你从这一步开始改正他的解法． 【变式1】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川内江·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）若关于的方程的解是增根，求的值． 题型4. 分式方程无解问题 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【例2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）若分式方程无解，则a的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【例3】（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）若关于的方程无解，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【变式2】（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）m为何值时，关于x的分式方程无解？ 题型5. 分式方程整数解问题 【例1】（2023八年级下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集为，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【例2】（2025·四川泸州·一模）若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．9 B．6 C．2 D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（   ） A． B．18 C． D．9 【变式3】（24-25八年级上·四川眉山·期中）若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为多少？ 题型6. 分式方程的行程问题 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1800米，4500米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，求小明和小刚两人的速度． 【例2】（24-25八年级下·四川成都·期中）为落实习近平总书记关于科技创新的重要论述，大力弘扬科学家精神，某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动，现有两条路线可供选择：路线A的全程是30千米，但交通比较拥堵，路线B的全程是35千米，但平均车速比走路线A时能提高，若走路线B能比走路线A少用10分钟．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少？ 【例3】（23-24八年级上·广西桂林·期中）随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度是普快平均速度的2.4倍． (1)求高铁的平均速度． (2)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米．某日王老师要从桂林到贺州参加11:00召开的会议，如果他买到当日9:15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度． 【变式2】（2025·广东珠海·三模）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车、A款车每千米行驶费用a元，B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； (2)设：小明一家年平均行驶里程为x km，A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：元，请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【变式3】（24-25八年级下·福建泉州·期末）某校组织部分八年级的同学乘坐大巴车去市博物馆研学，市博物馆距离该校25千米，1号车出发5分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求1号车的平均速度． 题型7. 分式方程的工程问题 【例1】（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【例2】（24-25八年级下·江西吉安·期末）某工厂计划生产3600个零件，现有甲、乙两个车间都具备生产能力．已知甲车间单独生产完成这批零件比乙车间单独生产完成这批零件多用6天；乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.5倍． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产的零件数量； (2)若甲车间生产的费用是每天1000元，乙车间生产的费用是每天1800元．若工厂计划让甲、乙两个车间共同生产这批零件，且总费用不超过19000元，则甲车间最少生产多少天？ 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）李师傅计划生产720个零件．当生产任务完成一半时，为了提前完成任务，李师傅将工作效率提高，结果比原计划提前了24分钟完成任务，求李师傅原计划每小时生产多少个零件？ 【变式2】（24-25八年级下·海南·期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的5倍．用一条A型自动分拣流水线分拣4000件包裹比1名工人分拣同样数量的包裹少用8小时．求一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ 【变式3】（24-25八年级下·上海宝山·期中）某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 题型8. 分式方程的经济问题 【例1】（2025·河南·模拟预测）某长跑俱乐部的营养师需要用甲、乙两种原料为运动员配置功能饮料，已知每克甲种原料比每克乙种原料贵元，且用元购买的甲种原料与用元购买的乙种原料一样多．已知每克甲种原料含单位的钠元素，每克乙种原料含单位的钠元素． (1)求购买甲、乙两种原料的单价． (2)若购买甲、乙两种原料共克，在钠元素总含量不低于单位的情况下，如何选购原料才能使得费用最低？最低费用是多少元？ 【例2】（24-25八年级下·四川巴中·期末）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机等人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同． (1)求A型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【例3】（24-25八年级下·广东佛山·期中）花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙花卉的进价比甲花卉的进价少5元/箱，用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同，运输过程中甲花卉的数量会损失，乙花卉的数量会损失． (1)求甲、乙花卉的进价； (2)如果花店在进价的基础上提高作为售价，假设花店计划只购进甲、乙其中的一款花束．此时：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；花店为了不亏本，应该选择购买 花卉．（填“甲”或“乙”或“任意一款”）； (3)现花店打算只购买乙花卉，请通过计算说明乙花卉的售价每箱最低应提高百分之几，才能使得花店获得至少的利润？（精确到） 【变式1】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）新中考实行以后，三大球（三选一）项目迎来了男生和女生的热爱．某商场准备购进篮球、足球两球出售，篮球每个售价130元，足球每个售价100元．每个篮球的进价比足球的进价贵20元，用240元单独购进篮球的数量比单独购进足球的数量少1个，现计划购进两种球共100个，其中篮球不少于68个．若这两种球全部销售完，所获总利润为元，购进篮球个． (1)篮球每个的进价是________元、足球每个的进价是________元，关于的函数解析式为________； (2)若购进这100个球的费用不得超过7600元，求商场所获总利润元的最大值，并求出此时两种球各自的购进数量； (3)在（2）的条件下，若该商场对篮球每个降价元，足球价格不变，如果这100个球全部售完，商场发现所获总利润为3864元，求的值． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积： 电池容量： 油价：8元/ 电价：元/ 续航里程：a千米 续航里程：a千米 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)求a的值． (2)填空：燃油车每千米的行驶费用为______元，新能源车每千米的行驶费用为_____元； (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【变式3】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，进价和售价见表，且用320元购买敖丙挂件的个数与用400元购买哪吒挂件个数一样多． 敖丙挂件 哪吒挂件 进价（元/个） 售价（元/个） 11 15 (1)求的值 (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共1000件，其中敖丙挂件个，两种挂件全部销售后获得的利润为元，该批发商最多投入资金8600元用来采购且全部销售后利润不低于3500元， 求①与的函数关系式 ②该批发商采取何种进货方案获利最大，最大利润是多少元？ 题型9. 分式方程的和差倍问题 【例1】（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 【例2】（2025·河南南阳·二模）开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 【例3】（2025·吉林长春·二模）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【变式2】（2025·云南昆明·一模）无人机搭载高分辨率相机与多光谱传感器，能实时捕捉农田病虫害图像与光谱信息，识别病害类型与害虫情况，构建病虫害暴发与扩散模型，实现监测与预警，并利用智能喷洒系统精准施药，提升农药利用率与防治效果．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的8倍，若使用无人机对800亩茶园打药的时间比人工对400亩茶园打药的时间少30小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【变式3】（2025·重庆·三模）为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 题型10. 分式方程的其他问题 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【例2】（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 【例3】（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）某农业合作社积极利用智能化农业设备，计划引进无人机田间喷洒农药技术．无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量比常规喷药壶用药量少毫升，无人机用药毫升喷洒的面积与常规喷药壶用药毫升喷洒的农田面积相同． (1)求无人机喷洒农药时，农田的单位面积用药量． (2)该合作社计划购进两种型号的喷药无人机共台，已知型号机每台万元，型号机每台万元，现要求采购型号机的数量不高于型号机数量的．请计算该合作社应采购两种型号的无人机各多少台时，所需费用最少？并求出此时的最少费用． 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 【变式3】（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川乐山·期末）代数式的值一定不为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江西抚州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 5．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 7．（24-25八年级下·重庆江北·期末）若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 8．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 10．（24-25八年级下·上海·期中）一汽船在顺流中航行48千米和逆流中航行32千米，共用去的时间正好等于它在静水中航行85千米用去的时间，已知水流速度是3千米/时．若设该汽船在静水中的航行速度为千米/时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·北京·中考真题）方程的解为 ． 12．（24-25八年级下·全国·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 13．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 14．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）已知，则 ． 15．（24-25八年级下·福建漳州·期末）若关于的分式方程的解是，则的值是 ． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 17．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为 ． 18．（24-25九年级上·重庆·期中）若关于x的不等式组只有1个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 19．（24-25九年级下·重庆石柱·期中）若关于的一元一次不等式组有解且刚好3个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数的积为 ． 20．（24-25八年级下·上海青浦·期末）一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米/时，那么根据题意，列出的方程为 ． 三、解答题 21.解下列分式方程 22．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的分式方程 (1)若该方程有增根，求的值； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 23．（24-25八年级上·河北沧州·期末）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 24．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 25．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 26．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 27．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 28．（2023·辽宁锦州·中考真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 29．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解． 乙：，解得，经检验是原方程的解． 则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______； (2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 30．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$