精品解析：山东省泰安市东平县2024-2025学年六年级下学期7月期末数学试题

2024～2025学年度第二学期期末质量检测 六年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除、合并同类项及积的乘方，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确运算为 ，故A错误； B、合并同类项时，系数相加，字母部分不变，正确运算为 ，故B错误； C、同底数幂相除，底数不变，指数相减，正确运算为，故C错误； D、积的乘方，每个因式分别乘方，运算为：，与选项一致，故D正确． 故选：D． 2. 目前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将0.0000000000000016用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：将0.0000000000000016用科学记数法表示为 故选：C 3. 如图，点C是线段上的一点，D为的中点，且，．若P点在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出长度，再分类讨论根据线段的和差计算即可； 本题主要考查两点间距离，分类讨论是解题关键． 【详解】解：如图所示： D为的中点，且， 如图1， 如图2， 故选：C． 4. 下列方程变形中，正确的是（　　） A. 方程，去分母得 B. 方程，去括号得 C. 方程，系数化为1得 D. 方程，移项得 【答案】A 【解析】 分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：方程，去分母得， 选项A符合题意； 方程，去括号得， 选项B不符合题意； 方程，系数化为1得， 选项C不符合题意； 方程，移项得， 选项D不符合题意． 故选：A． 5. 电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材的影片，该片以长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极度严酷的环境下坚守阵地，奋勇杀敌，为战役胜利作出重要贡献的故事．某校组织师生观看电影《长津湖》．现有甲、乙两种电影票，甲种电影票每张24元，乙种电影票每张18元．已知全班35名同学购票共用了750元，那么甲、乙两种电影票分别购买了（ ） A. 20张，15张 B. 15张，20张 C. 25张，10张 D. 10张，25张 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设甲种电影票购买了张，乙种购买了张，根据总人数为35，总费用为750元，可列方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲种电影票购买了张，乙种购买了张， 根据题意得：， 解得， 因此，甲种票20张，乙种票15张， 故选：A． 6. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法运算、平方差公式，根据多项式乘多项式的运算法则及平方差公式逐项展开计算即可得出结论． 【详解】A、，与题目结果一致，正确； B、利用平方差公式展开得，，与题目结果一致，正确； C、，题目结果为，系数错误，实际应为，故选项C错误； D、，与题目结果一致，正确． 故选：C． 7. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， 故选：D． 8. 轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用小时，若船速为千米/时，水速为千米/时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米，根据题意，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据港到港的时间港到港的时间，列出方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设港和港相距千米， 由题意可得，， 即， 故选：． 9. 如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是（　　） A. ∠BOE＝55° B. ∠DOF＝35° C. ∠BOE+∠AOF＝90° D. ∠AOF＝35° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE=55°， ∴∠BOD=2∠BOE=110°， ∵∠D=110°， ∴∠BOD=∠D， ∴CD∥AB，故A不符合题意； ∵OF⊥OE， ∴∠FOE=90°，∠DOF=35°， ∴∠DOE=55°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOB=2∠DOE=110°， ∵∠D=110°， ∴∠DOB=∠D， ∴AB∥CD，故B不符合题意； ∵∠BOE+∠AOF=90°， ∴∠EOF=90°，但不能判断AB∥CD，故C符合题意； ∵OF⊥OE， ∴∠FOE=90°，∠AOF=35°， ∴∠BOE=55°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOB=2∠BOE=110°， ∵∠D=110°， ∴∠DOB=∠D， ∴AB∥CD，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理即可得到结论． 10. 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7:00先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和小明所用时间t（分钟）的关系图.则下列说法中正确的个数是（ ）①小明吃早餐用时5分钟；②小华到学校的平均速度是240米/分；③小明跑步的平均速度是100米/分；④小华到学校的时间是7:05. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像与题意即可求解每一选项，再进行判断. 【详解】①小明吃早餐从8分到13分，用时5分钟，故正确；②小华到学校平均速度是=240米/分，正确；③小明跑步的平均速度是=100米/分，正确；小华在7点8分开始出发，5分钟到学校，故到学校的时间是7：13，故错误； 故选C 【点睛】此题主要考查函数图像的识别，解题的关键是根据图像与已知说明进行判断. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 当________时，代数式的值与的值互为相反数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意得到，结合解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】解：∵代数式的值与的值互为相反数， ∴， 去分母得，， 解得，， 故答案为： ． 12. 若是完全平方式，则m的值为 ____． 【答案】5或##或5 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解得m的值即可． 【详解】解：由于， ∴， 解得或． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值． 13. 如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察图形可知，x节链条一共有个重叠的地方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 14. 如图，将长方形沿折叠，点C落在点Q处，点D落在边上过点E处，若，则等于 ________° 【答案】106 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ∴， ． 故答案为：106． 15. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，则的度数为______． 【答案】##122度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，进而得到，由平行线的性质求，继而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算下列各题 （1）； （2）； （3）； （4）．（运用乘法公式计算） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂，零次幂，整式的混合运算，乘法公式的变形计算，掌握以上知识及计算方法是关键． （1）分别算出负指数幂，零次幂，乘方的结果，最后算加减即可； （2）根据整式除法运算法则计算即可求解； （3）根据整式乘法运算法则计算，最后合并同类项即可； （4）根据平方差公式将变形为，由此即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 如图所示，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】（1）12 （2）10 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：点是线段的中点， ， 又点是线段的中点， ， ， 则线段的长为12； 【小问2详解】 ， ， ， 则的长度为10． 18. 如图所示，，． （1）试问与相等吗？请说明理由； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1），理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据题意，可证，根据平行线的性质即可求解； （2）根据题意得到，由两直线平行，同位角相等即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE＝2∠DOF，且有OG⊥AB，求∠EOG的度数． 【答案】50° 【解析】 【分析】设∠DOB=x，则其余角为：x，先解出x，然后根据∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，表示出∠EOG即可求解． 【详解】解：设∠DOB=x，则其余角为：x， ∴x+x=90°，解得：x=60°， 根据∠AOE=2∠DOF， ∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等）， ∴3∠DOF=∠DOB=60°， 故∠DOF=20°，∠BOF=40°， ∵有OG⊥OA， ∴∠EOG=90°-∠BOF=50°． 故∠EOG的度数是50°． 20. “数缺形时少直观、形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． （1）【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：________； 方法二：________； （2）【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为________； （3）【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知实数，满足：，，求的值． ②已知，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，乘法公式与图形面积的计算，理解图示面积的计算，整式的混合运算法则是关键． （1）根据图形面积的计算求解即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可； （3）①根据（2）中的计算代入求值即可；②根据上述计算得到，代入计算即可． 【详解】解：（1）方法一：，方法二：； （2）根据（1）中的计算得到，； （3）①根据（2）中的计算得到，， ∴ ； ②． 21. 甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． （1）、两地之间的路程为 千米； （2）从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． （3）求乙的速度和值； （4）求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】（1）120 （2）；； （3）乙的速度是（千米/时）， （4）甲出发15小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【解析】 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【小问1详解】 解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； 【小问2详解】 解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； 【小问3详解】 解：乙的速度是：（千米/时）； ， 【小问4详解】 解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 22. 某社区超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：） 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】（1）该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件 （2）元 （3）第二次乙商品是按原价打折销售 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程与利润的问题，有理数四则混合运算的应用，理解数量关系，利润的计算方法，掌握一元一次方程与利润问题的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据数量关系列式求解即可； （2）根据表格中的信息，计算利润的方法即可求解； （3）根据题意，设第二次乙种商品是按原价打折销售，根据利润的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：该超市第一次购进甲种商品件、乙种商品件． 【小问2详解】 解：（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润元． 【小问3详解】 解：设第二次乙种商品是按原价打折销售， 根据题意得：， 解得：． 答：第二次乙商品是按原价打折销售． 23. 阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… （1）【归纳】由此可得：________． （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； （3）【拓展】若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律探索，乘方，理解材料的计算方法是关键． （1）根据材料的计算方法，找出规律即可求解； （2）根据题意，将原式变形得，运用材料提示方法计算即可； （3）根据材料提示方法得到，则或，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：①； ②； ③； ， ∴； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ∴， 解得，， ∴或， 当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末质量检测 六年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 目前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将0.0000000000000016用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若P点在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 下列方程变形中，正确的是（　　） A. 方程，去分母得 B. 方程，去括号得 C. 方程，系数化为1得 D. 方程，移项得 5. 电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极度严酷的环境下坚守阵地，奋勇杀敌，为战役胜利作出重要贡献的故事．某校组织师生观看电影《长津湖》．现有甲、乙两种电影票，甲种电影票每张24元，乙种电影票每张18元．已知全班35名同学购票共用了750元，那么甲、乙两种电影票分别购买了（ ） A. 20张，15张 B. 15张，20张 C. 25张，10张 D. 10张，25张 6. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用小时，若船速为千米/时，水速为千米/时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米，根据题意，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是（　　） A. ∠BOE＝55° B. ∠DOF＝35° C. ∠BOE+∠AOF＝90° D. ∠AOF＝35° 10. 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7:00先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和小明所用时间t（分钟）的关系图.则下列说法中正确的个数是（ ）①小明吃早餐用时5分钟；②小华到学校的平均速度是240米/分；③小明跑步的平均速度是100米/分；④小华到学校的时间是7:05. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 当________时，代数式的值与的值互为相反数． 12. 若是完全平方式，则m的值为 ____． 13. 如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是_______． 14. 如图，将长方形沿折叠，点C落在点Q处，点D落在边上过点E处，若，则等于 ________° 15. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，则的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算下列各题 （1）； （2）； （3）； （4）．（运用乘法公式计算） 17. 如图所示，线段，点是线段中点，点是线段的中点． （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上一点，且满足，求的长度． 18. 如图所示，，． （1）试问与相等吗？请说明理由； （2）若平分，，求的度数． 19. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE＝2∠DOF，且有OG⊥AB，求∠EOG的度数． 20. “数缺形时少直观、形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． （1）【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：________； 方法二：________； （2）【得出结论】 根据（1）中结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为________； （3）【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知实数，满足：，，求的值． ②已知，求的值． 21. 甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． （1）、两地之间的路程为 千米； （2）从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． （3）求乙的速度和值； （4）求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 22. 某社区超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：） 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） （1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 23. 阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… （1）【归纳】由此可得：________． （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； （3）【拓展】若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $