第22章 二次函数（知识梳理+习题精选）2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 一、知识框架 二、知识梳理 1．二次函数 （1）二次函数的定义：一般地，形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是 ，c是 ．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． （2）二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的形式,因此,把y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做 . 2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 3.二次函数y=ax²（a≠0)的图象与性质 （1）二次函数y=ax²（a≠0)的图象 二次函数y=ax²的图象叫做抛物线y=ax².抛物线y=ax²是 图形，对称轴是 .抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的 ，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线y=ax²的顶点是 . （2）二次函数y=ar2(a≠0)图象的作法 列表：在二次函数y=ax²中，自变量x的取值范围是 给出x的一些代表值，求出对应的y值： ：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点： ：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸， x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （3）二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 （4）二次函数y=ax²解析式中二次项系数a与抛物线间的关系 (1)a的正负决定抛物线的 和函数的 .当a>0时，抛物线开口 ，函数有最 ；当a<0时，抛物线开口 ，函数有最 .（2)的大小决定抛物线的开口大小，越大开口 4.二次函数y＝a(x－h)²＋k（a≠0)的图象与性质 （1）二次函数y＝a(x－h)²＋ka≠0)的图象 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象叫做抛物线y＝a(x－h)²＋k.抛物线y＝a(x－h)²＋k²是 图形，对称轴是 .抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的 ，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线y＝a(x－h)²＋k的顶点是 . 注意：对于二次函数y=a(x-h)²(a≠0)图象上的点，当图象开口何上，到对你抽的距离越大，到对应的函数值就越大；当图象开口何下，点到对你抽的距离越大，则对应的函数值就越；若两点到对你轴的距离相等，则对应的函数值相等，观察图象可得以上规律 5、二次函数与之间的相互关系 （1）顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称为 ，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式 ． （2）一般式化成顶点式 ． ∴ 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 6、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线 的个数， 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. （1） 当二次函数的图象与x轴有 ，，方程有两个 的实根； (2)当二次函数的图象与x轴 ，，方程有 的实根； 　(3)当二次函数的图象与x轴 时，，方程没有实根. 7.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． 8、利用二次函数解实际问题的步骤 (1)阅读并理解题意； (2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； (3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立 模型，写出二次函数的 ； (4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式 等求解； (5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍， 9、二次函数的应用的常见类型 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出 ，然后确定其 ，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的 ． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有： 的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的 的讨论． 三、知识精练 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 4．函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象上有，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（    ） A． B． C． D． 7．抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表,则这个二次函数图象的对称轴是直线（   ） x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… A． B． C． D． 9．如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于x的方程一定有两个不相等的实数根； ⑤． 其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 13．将二次函数的图象右平移2个单位长度．再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 ． 14．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 15．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 16．若点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 17．已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ． 18．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论是 ． 三、解答题 19．已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 20．二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． ①求这个函数“倍值点”的坐标； ②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 21．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线的顶点，求出的面积； (3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标． 22．如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 23．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：，， 由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 4．D 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为 ，根据二次函数的顶点式形式，直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴其图象的顶点坐标为， 故选：D 5．C 【分析】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，根据得到抛物线的开口向下，根据图象上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵，对称轴为， ∴函数的图象开口向下， ∵关于对称轴的对称点为，且， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意， ∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴ 故选：D． 7．A 【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解． 【详解】解：抛物线的表达式为，其中，， 代入对称轴公式得：， 因此，抛物线的对称轴为直线， 故选A． 8．D 【分析】本题主要考查二次函数，理解表格信息，掌握待定系数法是关键． 通过观察表格中时，确定，函数式为，利用其他点的坐标建立方程组，解得，，从而对称轴为． 【详解】解：1. 确定的值：当时，，代入函数式得，故函数式为， 2. 建立方程组： 当时，①； 当时，②； 当时，③； 当时，④； 3. 解方程组： 得，， 得，，则， 得，，则， ∴， 整理得，， 解得，， ∴，， 4. 求对称轴：对称轴公式为，代入，，得， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故选：D． 9．A 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 10．C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 11．A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 12．C 【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系．由抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，结合点的坐标特点逐一分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴，，故①②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故④正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故⑤错误， 故选：C． 13． 【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：的图象右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到， 即． 故答案为： 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查二次函数的性质．根据顶点式，顶点坐标是即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式的求解，求出，，根据，得到，即，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，如图： ∵点在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，即， 解得，， ∴另一根为， 故答案为：． 18．①③ 【分析】根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④． 【详解】解：：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间， ∴该抛物线与轴的另一个交点在，之间， ∴方程一定有一个根在和之间，故结论②错误； 根据函数图象可得，抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在，之间， ∴， ∵二次函数的图象与轴交点的纵坐标是， ∴， ∴， ∴．故结论④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 19．(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 20．(1)； (2)①，；② 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①把代入（）所得函数解析式，求出的值即可求解；②由①可得，再根据二次函数的性质求出的最大值与最小值，进而相减即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴二次函数的解析式解析式为； （2）解：①把代入，得， 解得或， ∴或， ∴这个函数“倍值点”的坐标为，； ②由①可得，， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 21．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点和代入可得，再解方程组可得答案； （2）如图，连接，记与轴的交点为，求解及的解析式，再求解的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图，连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：将点和代入可得： ∴，解得， ∴． （2）解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵， ∴， 当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，解得， ∴， ∴. （3）解：如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， 如图，关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或. 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与角度问题，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 22．(1) (2)四边形面积最大值等于9 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决． （1）利用已知条件求出点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出四边形面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则，． ， ， ， ． 点、在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为：． （2）解：令，得，， 令，得或1，． 设点坐标为，，， 如图所示，过点作轴于点，则，，． 点在抛物线上， ，代入上式得： ， 当时，四边形面积有最大值，最大值为9． 23．(1)抛物线的函数表达式为； (2)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在点，理由如下， ∵，， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线上， ∴设， ∵点为直线右侧抛物线上一点， 设， 由抛物线的函数表达式为， ∴， ∴当时，， ∴， 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为边时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点； 当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图， 由中点坐标可得：， 解得：或（舍去）， ∴点，此时与点重合； 综上可知：点的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$