22.1.3二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质（知识梳理+习题精选）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 一、知识梳理 1.二次函数y＝a(x－h)²＋k（a≠0)的图象与性质 （1）二次函数y＝a(x－h)²＋ka≠0)的图象 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象叫做抛物线y＝a(x－h)²＋k.抛物线y＝a(x－h)²＋k²是 图形，对称轴是 .抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的 ，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线y＝a(x－h)²＋k的顶点是 . 注意：对于二次函数y=a(x-h)²(a≠0)图象上的点，当图象开口何上，到对你抽的距离越大，到对应的函数值就越大；当图象开口何下，点到对你抽的距离越大，则对应的函数值就越；若两点到对你轴的距离相等，则对应的函数值相等，观察图象可得以上规律 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 3．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 4．点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 5．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线的对称轴是直线 ． 10．抛物线的顶点坐标为 ． 11．设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用号连接） 12．将二次函数的图象右平移2个单位长度．再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 ． 三、解答题 13．【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 14．已知二次函数y=－x2＋2mx－2m2－3（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该二次函数图像与x轴没有公共点； （2）如果把该函数图像沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，试求m的值． 15．已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 4．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴，， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式解答即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得到对称轴为直线，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大， ∴． 故选：B． 7．A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 9． 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．由抛物线的解析式为顶点式，可直接得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据得出抛物线的开口方向向下，且对称轴为，该抛物线有最大值，即越靠近对称轴的所对应的函数值越大，再结合，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的开口方向向下，且对称轴为，该抛物线有最大值， 即越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵是抛物线上的三点，且 ∴ 故答案为： 12． 【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：的图象右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到， 即． 故答案为： 13．(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 14．（1）证明见解析；（2）m ＝±1 【详解】（1）令y＝0，－x2＋2mx－2m2－3＝0，………………1分 则a＝－1，b＝2m，c＝－2m2－3． ∴b 2－4ac＝（2m）2－4（－1）（－2m2－3）＝－4m2－12且，…2分 ∵－4m2≤0，∴－4m2－12＜0，即b 2－4ac＜0 ∴一元二次方程－x2＋2mx－2m2－3＝0没有实数根，   ………3分 ∴不论m为何值，该二次函数图像与x轴没有公共点．…………4分 （2）将二次函数y＝－x2＋2mx－2m2－3配方得： y ＝－（x－ m）2－m 2－3，………………5分 ∴该二次函数图像的顶点坐标为（ m，－m 2－3），………………6分 ∵将函数图像沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点， ∴－m 2－3＋4＝0，   …………7分 解得m ＝±1 15．(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大； (3)当时，有最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【详解】（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 16．(1) (2)或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴的左侧， ∴关于的对称点为， ∴， ∵，， ∴或， 解得：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$