22.2二次函数与一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•通许县期末）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 2．（2025春•福州校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024秋•葫芦岛期末）关于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．抛物线的顶点坐标为（2，﹣3） B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与x轴有两个交点 D．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 4．（2025•潼关县模拟）已知在平面直角坐标系中，抛物线C1的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点为（﹣4，0），将抛物线C1向右平移3个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且a＜0），则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．2a+b＝0 D．9a+3b﹣c＞0 5．（2024秋•榕城区期末）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 6．（2025春•榕江县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 7．（2025•甘井子区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为（﹣2，﹣1），若AB＝6，则点B的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣2，0） D．（2，0） 8．（2025春•李沧区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y＝ax2+bx+3 … ﹣5 0 3 3 0 … 下列结论：①点B的坐标是（2，3）；②这个函数的最大值大于4；③ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间；④当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时，y1＞y2.其中正确的为（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（共8小题） 9．（2025•中宁县二模）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　 　 ． 10．（2025•河北模拟）已知a，b是抛物线y＝x2+2024x﹣4与x轴的两个交点的横坐标，则的值为　 　 ． 11．（2025•朝阳区校级二模）表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中部分x和y的值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是　 　 （两相邻整数之间）． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 … 12．（2025•包河区校级三模）关于x的二次函数y＝mx2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为 　 　 ． 13．（2024秋•淮南期末）将二次函数y＝x2﹣x﹣12在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．若直线y＝x+m与这个新图象有3个公共点，则m的值为 　 　 ． 14．（2024秋•葫芦岛期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），点B（5，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ 　 　 ． 15．（2025春•杞县月考）若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴其中一个交点的坐标是（a，0），则﹣2a2+8a+15的值为 　 　 ． 16．（2025春•清原县校级月考）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．若该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD＝S△ABC，则D点的坐标为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 17．（2025•长丰县校级三模）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，且点C的坐标为（0，﹣6）． （1）求抛物线的表达式； （2）已知E为抛物线的顶点，F为抛物线对称轴右侧的一个动点，当△CBF和△CEB的面积相等时，求点F的坐标． 18．（2025春•虹口区校级期中）已知关于x的方程（1﹣m）x2+（m+2）x﹣4＝0，m∈R． （1）若方程有两个正根，求m的取值范围； （2）若方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，求m的取值范围． 19．（2025•安庆模拟）已知：如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）试确定该抛物线的函数表达式； （2）已知点C是该抛物线的顶点，若点P是线段BC上的一动点，求OP的最小值． 20．（2025•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L1：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线L2与抛物线L1关于y轴对称，抛物线L2与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． （1）用配方法求抛物线L1：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0）的顶点坐标； （2）求线段AM的长； （3）如果BN＝AN，平移抛物线L1：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0），使所得新抛物线的顶点E在其关于y轴对称对称抛物线L2的对称轴上，当AEAB时，求平移后新抛物线的表达式． 21．（2025•杞县模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）． （1）写出一组b，c的值，使抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0），（2，3）． ①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； ②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点P（m，n）为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围． 22.2二次函数与一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C C D D D C 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•通许县期末）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2， 观察函数图象可知，当x＜﹣1或x＞2时，函数值y＞0． 故选：D． 2．（2025春•福州校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示， 设y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0）， ∴当y＝0时，ax2+bx+c＝0，即x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根， ∴， ∴x1+x2＝4， 故选：C． 3．（2024秋•葫芦岛期末）关于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．抛物线的顶点坐标为（2，﹣3） B．抛物线可由经过平移得到 C．抛物线与x轴有两个交点 D．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 【解答】解：A、抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），原结论错误； B、抛物线可由经过平移得到，原结论错误； C、∵，， ∴抛物线与x轴有两个交点，原说法正确； D、当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，原结论错误； 故选：C． 4．（2025•潼关县模拟）已知在平面直角坐标系中，抛物线C1的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点为（﹣4，0），将抛物线C1向右平移3个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且a＜0），则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．2a+b＝0 D．9a+3b﹣c＞0 【解答】解：由题意得，平移后抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴b＝﹣2a＞0． ∵a＜0， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故A选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 故B选项不正确，不符合题意； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故C选项正确，符合题意； 由题意得，当x＝﹣3时，y＜0， ∴9a+3b﹣c＜0， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 5．（2024秋•榕城区期末）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 【解答】解：∵x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小， ∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是1.7． 故选：D． 6．（2025春•榕江县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（1，0），（﹣3，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3， 故选：D． 7．（2025•甘井子区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为（﹣2，﹣1），若AB＝6，则点B的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣2，0） D．（2，0） 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点C（﹣2，﹣1）， ∴4a﹣2b﹣1＝﹣1， ∴b＝2a， 令y＝0可得，ax2+2ax﹣1＝0， 解得：， ∴A（﹣1，0），B（﹣1，0）， ∵AB＝6， ∴26， ∴3， ∴点B坐标为（2，0）， 故选：D． 8．（2025春•李沧区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y＝ax2+bx+3 … ﹣5 0 3 3 0 … 下列结论：①点B的坐标是（2，3）；②这个函数的最大值大于4；③ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间；④当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时，y1＞y2.其中正确的为（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：将（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+3得， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4）， ∴对称轴为直线x＝1，函数的最大值为4， ∴点B的坐标是（2，3）；故①正确，②错误． 把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得，y＝3， 把x＝3代入y＝﹣x2+4x+2得，y＝0， ∴抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝2交点的横坐标在2与3之间， ∴ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间，故③正确； ∵当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时， ∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离， ∴y1＞y2．故④正确． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•中宁县二模）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　k且k≠0　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点， ∴， ∴k且k≠0． 故答案为k且k≠0． 10．（2025•河北模拟）已知a，b是抛物线y＝x2+2024x﹣4与x轴的两个交点的横坐标，则的值为　0　 ． 【解答】解：∵a，b是抛物线y＝x2+2024x﹣4， 与x轴的两个交点的横坐标， ∴a，b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解， ∴ab＝﹣4， ∴， 故答案为：0． 11．（2025•朝阳区校级二模）表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中部分x和y的值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是　﹣3＜x＜﹣2　 （两相邻整数之间）． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 … 【解答】解：∵x＝﹣2和x＝0时，y＝﹣2， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵当x＝1时，y＞0，当x＝0时，y＜0， ∴根据函数的连续性，在0～1之间，存在一个数，使y＝0， 根据抛物线的对称性，在﹣3～﹣2之间，也存在一个数，使y＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是﹣3＜x＜﹣2， 故答案为：﹣3＜x＜﹣2． 12．（2025•包河区校级三模）关于x的二次函数y＝mx2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为 　4　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣mx+1的图象与x轴有且只有一个交点， ∴Δ＝m2﹣4m＝0且m≠0， 解得：m＝4； 故答案为：4． 13．（2024秋•淮南期末）将二次函数y＝x2﹣x﹣12在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．若直线y＝x+m与这个新图象有3个公共点，则m的值为 　﹣13或﹣4　 ． 【解答】解：如图所示，直线l、n在图示位置时，直线与新图象有3个交点， y＝x2﹣x﹣12，令y＝0，则x＝4或﹣3，则点A（4，0）， ∴将点A的坐标代入y＝x+m即可解得：m＝﹣4， ∵二次函数在x轴下方的图象对应的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣12， 令y＝x2﹣x﹣12＝x+m， 整理得：x2﹣2x﹣12﹣m＝0， Δ＝4+4（12+m）＝0，解得：m＝﹣13， 故答案为：﹣13或﹣4． 14．（2024秋•葫芦岛期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0），点B（5，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝ 　6　 ． 【解答】解：根据题意知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与y轴相交于点C， ∴当x＝0时，y＝c， ∴C（0，c）， ∵CD∥x轴，点D在抛物线上， ∴点C、D的纵坐标相等， 即D（6，c）， ∴CD＝6， 故答案为：6． 15．（2025春•杞县月考）若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴其中一个交点的坐标是（a，0），则﹣2a2+8a+15的值为 　5　 ． 【解答】解：由题意可得：a2﹣4a﹣5＝0， ∴﹣a2+4a＝﹣5， ∴原式＝2（﹣a2+4a）+15＝2×（﹣5）+15＝5， 故答案为：5． 16．（2025春•清原县校级月考）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．若该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD＝S△ABC，则D点的坐标为 　（2，3）或（1，﹣3）或（1，﹣3）．　 ． 【解答】解：由题意得y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0）， ∴﹣9+2×3+m＝0， 解得m＝3， ∴y＝﹣x2+2x+3， 令y＝﹣x2+2x+3＝0，得x＝3或x＝﹣1， 则B点为（﹣1，0），C点为（0，3）， ①由S△ABD＝S△ABC可知D点可以是C点的对称点，D（2，3）； ②设D（x，y），则由S△ABD＝S△ABC， 解得y＝3或y＝﹣3， 可得﹣x2+2x+3＝﹣3， 解得x＝1±， 可得D为（1，﹣3）或（1，﹣3）． 故答案为：（2，3）或（1，﹣3）或（1，﹣3）． 三．解答题（共5小题） 17．（2025•长丰县校级三模）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，且点C的坐标为（0，﹣6）． （1）求抛物线的表达式； （2）已知E为抛物线的顶点，F为抛物线对称轴右侧的一个动点，当△CBF和△CEB的面积相等时，求点F的坐标． 【解答】解：（1）由题意可得： 解得 ∴y＝x2﹣x﹣6． （2）由（1）知， ∴顶点E的坐标为，点B的坐标为（3，0）． 设BC所在直线的函数表达式为y＝kx﹣6． 将点（3，0）代入，得k＝2， ∴y＝2x﹣6． ①当点F在直线BC下方时，由△CBF和△CEB的面积相等，得EF∥BC． 设EF所在直线的函数表达式为y＝2x+m． 将点代入，得， ∴直线EF的表达式为，与y轴交于点． 联立y＝x2﹣x﹣6，得， ∴点F的坐标为． ②由①可知点关于点C（0，﹣6）的对称点G′为． 当点F在直线BC上方时，由△CBF和△CEB的面积相等，得G′F∥BC． 设G′F所在直线的函数表达式为y＝2x+n． 将点代入，得， ∴直线G′F的表达式为． 联立y＝x2﹣x﹣6，得， ∴点F的坐标为． 综上所述，当△CBF和△CEB的面积相等时，点F的坐标为或． 18．（2025春•虹口区校级期中）已知关于x的方程（1﹣m）x2+（m+2）x﹣4＝0，m∈R． （1）若方程有两个正根，求m的取值范围； （2）若方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，求m的取值范围． 【解答】解：（1）设y＝（1﹣m）x2+（m+2）x﹣4， 可知此函数图象恒过点（0，﹣4）． ∵关于x的方程（1﹣m）x2+（m+2）x﹣4＝0有两个正根， ∴1﹣m≠0，y＝（1﹣m）x2+（m+2）x﹣4的图象与x轴正半轴有两个交点， ∴， 解得1＜m＜2或m＞10， ∴m的取值范围为1＜m＜2或m＞10． （2）由（1）可知，若方程有两个正根，则1＜m＜2或m＞10． 设y＝（1﹣m）x2+（m+2）x﹣4，此时抛物线开口向下． ∵方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小， ∴当x＝2时，抛物线y＝（1﹣m）x2+（m+2）x﹣4对应的函数值大于0， 即4（1﹣m）+2（m+2）﹣4＞0， 解得m＜2， ∴1＜m＜2． ∴m的取值范围为1＜m＜2． 19．（2025•安庆模拟）已知：如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）试确定该抛物线的函数表达式； （2）已知点C是该抛物线的顶点，若点P是线段BC上的一动点，求OP的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）当OP是BC边上的高时，OP的值最小， ∵点C是的顶点， ∴，即C（1，2）， ∵B（3，0），C（1，2）， ∴，OB＝3，C点到x轴的距离为2， ∴， ∴， ∴OP的最小值是． 20．（2025•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L1：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线L2与抛物线L1关于y轴对称，抛物线L2与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． （1）用配方法求抛物线L1：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0）的顶点坐标； （2）求线段AM的长； （3）如果BN＝AN，平移抛物线L1：y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＞0），使所得新抛物线的顶点E在其关于y轴对称对称抛物线L2的对称轴上，当AEAB时，求平移后新抛物线的表达式． 【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣4 ＝a（x2﹣2x+1）﹣4 ＝a（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）∵， 令y＝0，得a（x﹣1）2﹣4＝0， 解得，， ∴，， ∵抛物线，抛物线L2与抛物线L1关于y轴对称， ∴抛物线L2的解析式为， 当y＝0时，0＝a（x+1）2﹣4， 解得， ∴，， ∴； （3）由（2）得，，，， ∴，BN＝2， ∵AN＝BN， ∴， 解得a＝1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∵， ∴AE＝3， ∵抛物线L2的对称轴为直线x＝﹣1， ∴设E（﹣1，k）， ∴|k|＝3，得k＝±3， ∴E（﹣1，3）或E（﹣1，﹣3）， ∵a＝1， ∴y＝（x+1）2+3或y＝（x+1）2﹣3， ∴平移后新抛物线的表达式为y＝x2+2x+4或y＝x2+2x﹣2． 21．（2025•杞县模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）． （1）写出一组b，c的值，使抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0），（2，3）． ①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； ②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点P（m，n）为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b2+4c＞0． 不妨取b＝3，c＝2，满足题意． （2）①由题意，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0），（2，3）， ∴． ∴． ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3． 又∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点为（1，4）． ②由题意，对于y＝﹣x2+2x+3， 令x＝0， ∴y＝3． ∴A（0，3）． ∵点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度， ∴x＝2或x＝﹣2． ∴当x＝2时，y＝3或当x＝﹣2时，y＝﹣5． ∴B（2，3）或B（﹣2，﹣5）． a．当P（m，n）在A（0，3），B（2，3）之间时， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3开口向下， 又当x＝1时，y取最大值为4， ∴3＜n≤4． b．当P（m，n）在A（0，3），B（﹣2，﹣5）之间时， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3开口向下， 又对称轴是直线x＝1，且﹣2＜0＜1， ∴此时y随x的增大而增大． ∴﹣5＜n＜3． 综上，﹣5＜n≤4，且n≠3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$