精品解析： 山东省淄博市淄川区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷（五四制）

2024-2025学年山东省淄博市淄川区七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若a>b，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. a+3>b+3 B. C. D. -3a<-3b 2. 掷一枚均匀的骰子，下列属于必然事件的是（ ） A. 朝上的数字小于7 B. 朝上的数字是奇数 C. 朝上的数字大于6 D. 朝上的数字是6 3. 下列命题是假命题的是（ ）. A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 平面内垂直于同一直线的两条直线平行 D. 全等三角形的面积相等 4. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为(　　) A. 75° B. 65° C. 45° D. 30° 5. 下列不等式中，与的解集相同的不等式是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使为直角三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，则∠BAM＋∠ABN的度数是(　　) A. 60° B. 55° C. 45° D. 不能确定 9. 利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. 要消去y，可以将①×5＋②×2 B. 要消去x，可以将①×3＋②×（－5） C. 要消去y，可以将①×5＋②×3 D. 要消去x，可以将①×（-5）＋②×2 10. 下列数值不是不等式组的整数解的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 11. 某种商品的进价为160元，出售时的标价为240元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打（　　） A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 12. 如图，，，，分别平分的外角，内角，外角．以下结论错误的是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 写出一个不可能事件_____． 14. 写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 __________ 15. 绕口令“四是四，十是十，十四是十四，四十是四十”共有16个汉字，则从这些汉字中任选一个，是“四”的频率是______． 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由______可得△AFC≌△AEB． 17. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 18. 若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为____________________． 19. 关于x的不等式（m为常数）的解集为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 直角三角形的一个角等于，斜边长为4，用四个这样的直角三角形拼成如图所示的正方形，求正方形的边长． 21. 解方程组： （1）； （2）； 解不等式组： （3）； （4） 22. 已知：如图，，．求证：，． 23. 如图，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形， （1）求证：点O在∠BAC的平分线上； （2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长 24. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系.请根据图像解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段对应的函数解析式； 25. 某校组织师生研学，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车．则可以少租一辆，且余30个空位． （1）求该校参加春游的人数； （2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你帮助设计本次春游所需车辆的租金．． 26. 如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：HC平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省淄博市淄川区七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若a>b，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. a+3>b+3 B. C. D. -3a<-3b 【答案】B 【解析】 【点睛】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：A、∵a＞b， ∴a+3＞b+3，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若a=2，b=-4，则，原变形不一定正确，故此选项符合题意； C、∵a＞b， ∴，原变形正确，故此选项不符合题意； D、∵a＞b， ∴-3a＜-3b，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2. 掷一枚均匀的骰子，下列属于必然事件的是（ ） A. 朝上的数字小于7 B. 朝上的数字是奇数 C. 朝上的数字大于6 D. 朝上的数字是6 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、朝上的数字小于7，属于必然事件，故本选项符合题意； B、朝上的数字是奇数，属于随机事件，故本选项不符合题意； C、朝上的数字大于6，属于不可能事件，故本选项不符合题意； D、朝上的数字是6，属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 3. 下列命题是假命题的是（ ）. A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 平面内垂直于同一直线的两条直线平行 D. 全等三角形的面积相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题； B、有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题； C、平面内垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题； D、全等三角形的面积相等，是真命题； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 4. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为(　　) A. 75° B. 65° C. 45° D. 30° 【答案】A 【解析】 【详解】对图中的角进行标注，如图： ∵∠ACB=∠DFE=90°， ∴∠ACB+∠DFE=180°, ∴AC//DF， ∴∠2=∠A=45°， ∴∠1=∠2+∠D=45°+30°=75°， 故选A． 5. 下列不等式中，与的解集相同的不等式是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分别求出原不等式和四个选项中不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 解不等式得，不符合题意； 解不等式得，符合题意； 解不等式得，不符合题意； 解不等式得，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使为直角三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是简单概率的计算； 找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可． 【详解】解：如图， ，，，均可与点A和点B组成直角三角形，即有4个点满足条件． ∴使为直角三角形的概率是， 故选：D． 7. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 8. 如图，在等边三角形ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，则∠BAM＋∠ABN的度数是(　　) A. 60° B. 55° C. 45° D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60∘. 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABM≌△BCN(SAS)， ∴∠BAM=∠CBN. ∴∠BAM＋∠ABN= . 故选A. 9. 利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A. 要消去y，可以将①×5＋②×2 B. 要消去x，可以将①×3＋②×（－5） C. 要消去y，可以将①×5＋②×3 D. 要消去x，可以将①×（-5）＋②×2 【答案】D 【解析】 【详解】由已知可得，消元的方法有两种，分别为： （1）要消去y，可以将①×3＋②×5； （2）要消去x，可以将①×（-5）＋②×2． 故选D 10. 下列数值不是不等式组的整数解的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解出每个不等式得到不等式组的解集，再找出整数解即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得 ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解有：-1，0，1． 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是正确地解出不等式组． 11. 某种商品的进价为160元，出售时的标价为240元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打（　　） A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 【答案】B 【解析】 【分析】设打了x折，用售价×折扣−进价得出利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解． 【详解】解：设打了x折， 由题意得240×0.1x−160≥160×5%， 解得：x≥7， 答：至多可打7折， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解． 12. 如图，，，，分别平分的外角，内角，外角．以下结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线定义得到，由三角形的外角性质推出，得到，推出，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，由角平分线定义和三角形内角和定理得到，由三角形内角和定理得到，由三角形的外角性质和角平分线定义得到． 【详解】解：平分， ， ，， ， ， ，故A不符合题意； ， ， 平分， ， ，故B不符合题意； 平分，CD平分， ，， ， ，， ， ， 平分， ， ，故C不符合题意； 平分，平分， ，， ， ，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，平行线的判定与性质，关键是由角平分线定义和三角形内角和定理推出，由三角形的外角性质和角平分线定义推出． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 写出一个不可能事件_____． 【答案】明天是三十二号 【解析】 【详解】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件． 14. 写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 __________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可． 【详解】解：由，2均小于2可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 15. 绕口令“四是四，十是十，十四是十四，四十是四十”共有16个汉字，则从这些汉字中任选一个，是“四”的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据频率的概念即可得出结论． 本题考查的是频数与频率，熟知频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比是解答此题的关键． 【详解】解：这句含有16个汉字的绕口令中，“四”出现了6次， 出现的频率为 故答案为： 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由______可得△AFC≌△AEB． 【答案】：SAS． 【解析】 【分析】由AB=AC，BE、CF是中线可知AE=AF，由∠A是公共角，AB=AC即可根据SAS证明△AFC≌△AEB． 【详解】∵BE、CF是中线， ∴AF=AB，AE=AC， ∵AB=AC ∴AE=AF， ∵AE=AF，∠A=∠A，AB=AC， ∴△AFC≌△AEB（SAS）． 故答案为SAS 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知条件在三角形中的位置来选择方法是解题的关键． 17. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 18. 若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组变形为，由关于x、y的二元一次方程组的解为，可得出关于，的二元一次方程组的解为，解之即可得出结论． 【详解】解：方程组可变形为． ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得：， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握换元思想的运用． 19. 关于x的不等式（m为常数）的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答即可． 本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 关于x的不等式为常数的解集为 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 直角三角形的一个角等于，斜边长为4，用四个这样的直角三角形拼成如图所示的正方形，求正方形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出直角三角形的三边，利用全等的性质，即可求解． 【详解】解：直角三角形的一个角是，斜边长为4． ． ． 正方形是四个这样的直角三角形拼成的． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，含特殊角的直角三角形性质、三角形全等的性质，解题的关键在于利用所对的直角边是斜边的一半． 21. 解方程组： （1）； （2）； 解不等式组： （3）； （4） 【答案】（1）；（2） ；（3）；（4）  【解析】 【分析】（1）采取消元法，先消去x，得到，再代入到方程中，得到，即可； （2）先消去m，得到，代入方程中，得到即可； （3）对不等式进行化简整理，即可求出不等式的解集； （4）分别求出两个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，熟练掌握解方程组和不等式组是关键． 【详解】解：（1）， ，得：， 把代入到①，得：， 解得：， 方程组的解为； （2）， ，得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （3）， ， ， ； （4）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： 22. 已知：如图，，．求证：，． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】由直线平行的性质可求得，，可以利用同角的补交相等，可得∠A=∠C，同理可得∠B=∠D． 【详解】解：∵（已知）， ∴， （两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补）． ∴，（同角的补角相等）． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 23. 如图，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形， （1）求证：点O在∠BAC的平分线上； （2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长 【答案】 （1）证明：过点O作OM⊥AB于点M ∵正方形OECF ∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F ∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E ∴OM＝OE＝OF ∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E ∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90° ∵ ∴Rt△AMO≌Rt△AFO ∴∠MAO＝∠FAO ∴点O在∠BAC的平分线上 （2）2. 【解析】 【分析】（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”；（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长 【详解】解：（1）略 (2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12 ∴AB＝13 ∴BE＝BM，AM＝AF 又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE ∴BE＝12－OE，AF＝5－OE ∴BM＋AM＝AB 即BE＋AF＝13 12－OE＋5－OE＝13 解得OE＝2 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，掌握HL定理的判定方法及全等三角形的性质是本题的解题关键. 24. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系.请根据图像解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段对应的函数解析式； 【答案】（1）轿车到达乙地后，货车距乙地30千米； （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图像得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程，进而可得此时货车距乙地的距离； （2）运用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：根据图像可得：货车的速度（千米/时）， ∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时， ∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：（千米）， 此时，货车距乙地的距离为：（千米）， 答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米； 【小问2详解】 解：设段函数解析式为， ∵，在其图像上， ∴， 解得， ∴CD段函数解析式为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的识别，待定系数法求一次函数的解析式，准确识别函数图像是解题的关键． 25. 某校组织师生研学，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车．则可以少租一辆，且余30个空位． （1）求该校参加春游的人数； （2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你帮助设计本次春游所需车辆的租金．． 【答案】（1）270人 （2）1400元 【解析】 【分析】（1）先设租用45座客车辆，利用人数不变，可列出一元一次方程，求出车的辆数，再乘以45就是人数． （2）可根据租用两种汽车时，租用45座客车的费用租用60座客车的费用单独租用一种客车的费用，依此可列出不等式组，求出租用车辆的大致范围，然后根据60座客车比45座客车多租1辆，来判断出两种车各有多少辆进而求出租金的费用． 【小问1详解】 解：设租用辆45座的客车，依题意得 ， 解得． 人． 答：该校参加春游的人数为270人． 【小问2详解】 解：设租用辆45座的客车，依题意得 ， 解不等式组得． 所以该校租用2辆45座的客车，3辆60座的客车． 元． 答：按这种方案需要租金1400元． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，关键知道60座客车比45座客车多租1辆，租金比单独一种客车要节省，进而找到所求的量的等量关系． 26. 如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：HC平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）90°-α 【解析】 【分析】（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE； （2）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可得CM=CN，即可证得HC平分∠AHE； （3）由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE的度数． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=α， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N， ∵△ACD≌△BCE， ∴CM=CN， ∴HC平分∠AHE； （3）∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠AHB=∠ACB=α， ∴∠AHE=180°-α， ∴∠CHE=∠AHE=90°-α． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $