精品解析：湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年高二下学期7月期末调研数学试题

2025年上学期高二期末调研考试 数学试题 （考试时量：120分钟 满分150分） 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在复数范围内方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，的最小值是：（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 3. 从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（ ）种 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 5. 将一枚质地均匀的硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是：（ ） A. B. C. D. 6. 假如女儿的身高（单位：cm）关于父亲的身高（单位：cm）的经验回归方程，已知父亲的身高175cm，则女儿的身高：（ ） A. 一定是167.57cm B. 高于167.57cm C. 低于167.57cm D. 可能167.57cm 7. 在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C D. 8. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样是：（ ） A. 某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B. 从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C. 某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D. 从50个零件中抽取5个做质量检验 10. 在某次单元测试中，4000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有：（ ） A. 成绩在分的考生人数最多 B. 考生考试成绩的第80百分位数为83.3 C. 考生考试成绩的平均分约为70.5分 D. 考生考试成绩的中位数为75分 11. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，下列判断正确的是（ ） A. 的周期是4 B. 是函数的一个最大值 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方块”，，“抽到红花色”，则____________. 13. 展开式中的常数项为____________. 14. 若将6名高二学生分到3个社团参加活动，一个1名，一个2名，一个3名，则有____________种不同的分法. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 化简计算下列各式： （1） （2） 16. 已知分别是内角的对边， ． （1）若，求 （2）若，且求的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上． （1）求证：； （2）若，，为中点，求二面角的余弦值． 18. 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和. （1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）在（1）条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）； （3）若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则. 19. 已知函数，若的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点. （1）求的表达式和的递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高二期末调研考试 数学试题 （考试时量：120分钟 满分150分） 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在复数范围内方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程，即，开方即可求解． 【详解】解：方程，即，开方得， 故选：C． 2. 已知函数，的最小值是：（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则最小值为. 故选：B 3. 从，，，中取出2个字母的所有排列，共有（ ）种 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式可求得排列种数. 【详解】根据题意，从中取出2个字母的所有排列， 共有种. 故选：D. 4. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】因为分别为与同向的单位向量， 因为，可知的角平分线与BC垂直，则， 又因为，即， 且，则，所以是等边三角形. 故选：D. 5. 将一枚质地均匀的硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合知识解决古典概型问题. 【详解】每次抛掷硬币都是2种可能，则抛掷10次共有种可能， 其中恰好出现4次正面朝上，6次反面朝上共有种， 则硬币抛掷10次，求恰好出现4次正面朝上的概率是. 故选：C 6. 假如女儿的身高（单位：cm）关于父亲的身高（单位：cm）的经验回归方程，已知父亲的身高175cm，则女儿的身高：（ ） A. 一定是167.57cm B. 高于167.57cm C. 低于167.57cm D. 可能是167.57cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程估计女儿的身高，结合实际意义即可得答案. 【详解】由题设cm，女儿的身高大约为167.57cm. 故选：D 7. 在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 8. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后的1位数字，则任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为“第次按对密码”，事件为“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”，则，由互斥事件的加法公式和条件概率计算即可. 【详解】设为“第次按对密码”， 事件“任意按最后1位数字，不超过2次就按对”， 则，事件互斥， 所以, 故选：C. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：（ ） A. 某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B. 从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C. 某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D. 从50个零件中抽取5个做质量检验 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的特征和适用的情况对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法； 选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样； 选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样； 选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法. 故选：ABD 10. 在某次单元测试中，4000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有：（ ） A. 成绩在分的考生人数最多 B. 考生考试成绩的第80百分位数为83.3 C. 考生考试成绩的平均分约为70.5分 D. 考生考试成绩的中位数为75分 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直方图及百分位数、平均数、中位数的求法依次判断各项的正误即可. 【详解】A：由直方图知对应矩形最高，即频率最大，故成绩在分的考生人数最多，对； B：由，故成绩第80百分位数在区间， 设为，则，可得分，对； C：由图知，平均分为，对； D：由， 所以中位数位于区间，设为，则，可得分，错. 故选：ABC 11. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，下列判断正确的是（ ） A. 的周期是4 B. 是函数的一个最大值 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、单调性、周期性分析判断即得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则 ①，且. 又因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增. 再由，得 ② 故函数图象关于直线对称，故函数在上单调递减，故D正确； 由①②可得，所以有， 故得8为函数的一个周期，又由，得不到，故A错误； 由上分析，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在一个周期内函数有最大值，即是函数的一个最大值，故B正确. 由对称性可知函数关于对称，不是关于对称，所以C错误. 故选： BD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方块”，，“抽到红花色”，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知，应用互斥事件加法求. 【详解】由题意且为互斥事件，， 则. 故答案为： 13. 展开式中的常数项为____________. 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理写出的展开式通项，结合已知确定常数项对应参数值，即可得. 【详解】对于，展开式通项为，， 当时，故原式的常数项为. 故答案为： 14. 若将6名高二学生分到3个社团参加活动，一个1名，一个2名，一个3名，则有____________种不同的分法. 【答案】360 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】先从6名学生中选取1名，则有种； 再从剩下的5名学生中选取2名，则有种； 最后从剩下的3名学生中选取3名，则有种； 所以共有种分法. 故答案为：360. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 化简计算下列各式： （1） （2） 【答案】（1）100；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用指数运算性质即可得出；（2）利用对数运算性质即可得出. 试题解析：原式= (2)原式= 16. 已知分别是内角的对边， ． （1）若，求 （2）若，且求的面积． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【详解】试题分析：（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出 （2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由题设及正弦定理可得 又，可得 由余弦定理可得 （2）由（1）知 因为，由勾股定理得 故，得 所以的面积为1 考点：正弦定理，余弦定理解三角形 17. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）二面角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理作答. （2）建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，则， 因平面，且平面，则， 又平面，平面，，因此平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，两两垂直，以B为原点建立空间直角坐标系，如图， 在中，，，则，， ，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 由（1）知平面，则平面的法向量， 则，显然平面与平面的平面角为锐角， 所以平面与平面的余弦值是. 18. 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良.现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和. （1）若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）在（1）的条件下，用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发互相独立）； （3）若该品种种子的密度，任取该品种种子20000粒，估计其中优种的数目.附：假设随机变量，则. 【答案】（1）1.24 （2）分布列见解析，期望1.44； （3）粒. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算平均值即可； （2）求出一粒种子发芽的概率，问题转化为二项分布求解分布列与期望； （3）根据正态分布的对称性，利用参考数据直接求指定区间的概率即可得解. 【小问1详解】 种子密度的平均值为：（） 【小问2详解】 由频率分布直方图知优种占比为， 任选一粒种子萌发的概率， 因为为这批种子总数远大于2，所以， ，， ， 所以布列为： 0 期望. 【小问3详解】 因为该品种种子的密度， 所以，，即， 所以20000粒种子中约有优种（粒） 即估计其中优种的数目为粒. 19. 已知函数，若的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点. （1）求的表达式和的递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1），的递增区间为，.（2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，相邻两条对称轴的距离为，可得周期，从而得，再代入坐标得； （2）由三角函数图象变换得，题意转化为图象与直线在上只有一个公共点，结合函数图象易得结论． 详解】（1）， 的最小正周期为，∴. ∵图象过点，∴，∴， 即. 令，，，， 故的递增区间为，. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象. ∵，∴，∴，故在区间上的值域为. 若函数在区间上有且只有一个零点， 即函数的图象和直线只有一个公共点， 如图， 根据图象可知，或，即. 故实数的取值范围是. 【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查三角函数的单调性，考查函数的零点个数问题，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．函数零点个数问题常常转化为函数图象与直线交点个数，利用数形结合思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $