22.3 实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与几何图形面积 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 人教版九年级上册 第1课时 二次函数与几何图形面积 (1) y=x2-4x-5; 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (2) y=-x2-3x+4. 开口方向：________ , 对称轴：____________, 顶点坐标：________ , 最大值：____________. 开口方向：________, 对称轴：_____________, 顶点坐标：________, 最小值：_____________. 向上 向下 直线 x=2 直线 x=-1.5 (2, -9) (-1.5, 6.25) -9 6.25 复习引入 x y x y a及自变量的取值范围决定. 问题1：二次函数 y=ax2+bx+c 的最值由什么决定？ 二次函数 y=ax2+bx+c 的最值由 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 y=ax2+bx+c的最值 是多少？ 当a＞0时， y有最小值，此时 当a<0时， y有最大值，此时 问题3 当自变量x有限制时，二次函数 y=ax2+bx+c 的最值如何确定？ ？ ？ ？ ？ 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 自主探究 （1）h＝30t－5t 2 的自变量和因变量分别是什么？ （2）当t＝0或 t＝6时，h的值为多少？ （3）小球的最大高度与h的值有什么关系？ 自主探究 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x 时，二次函数有最小（大）值 . 性质总结 用总长为60 m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S 自主探究 ①已知矩形场地的周长是60 m，一边长是l m，则另一边长是 m，场地面积S= m2. ②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组： . 解不等式组得l的范围是 . l S 总长为60m (30-l) l(30-l) 0<l<30 自主探究 S=l(30-l) l S 总长为60m ③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 . 向下 直线l=15 (15,225) (0，0)，(30，0) (0，0) 自主探究 ④根据l的取值范围及③画出该函数图象的草图. 由图象知： 点 是图象的最高点，即当l= 时，S有最 (选填“大”或“小”)值. (15,225) 15 大 自主探究 用总长为60 m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S 解： 场地的面积 S=l(30-l) 即S=-l2+30l (0<l<30) 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的步骤： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 步骤总结 1.如图，一边靠墙（墙足够长），其他三边用 长的篱笆围成一个矩 形 花园，这个花园的最大面积是( ) 第1题图 C A. B. C. D.以上都不对 巩固练习 15 2.如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形，其中和 分别 在两直角边上，设，矩形的面积为 ，要使矩形的面积最 大，其边长 应为( ) D 第2题图 A. B.6 C.15 D. 16 3.如图，某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中 间用一道墙隔开（此墙所占的面积忽略不计），并留三处 宽的门， 已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 ，则能建成的饲养 室面积最大为( ) 第3题图 A A. B. C. D. 17 4.在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图， 自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地是矩形 ，其 中点在上，点在的延长线上，且.当___ 时， 绿地 的面积最大． 2 第4题图 18 5.如图，一张正方形纸板的边长为 ，将它割去一个正 方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设 ，阴影部分的面积为 ． （1）求关于的函数解析式，并写出 的取值范围. 解： ， . . 19 （2）当 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少？ 解：由（1），可知 . ， 当时， 有最大值为32. 故当时，阴影部分的面积最大，最大面积为 ． 20 6.如图1，正方形硬纸片的边长为 ，现切去四个全等的等腰 直角三角形（图中阴影部分），然后沿虚线折起，使，，， 四点 重合于图2中的点 ，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设 ，要使包装盒的侧面积最大，则 应取( ) C 图1 图2 A.30 B.25 C.20 D.15 21 7.用长为 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出 的苗圃是五边形，，， .设 ，五边形的面积为，则 的最大值为( ) A 第7题图 A. B.12 C. D.没有最大值 22 8.如图，在中， ，，，动点 从点开始向点以的速度移动（不与点重合），动点从点 开始向点以的速度移动（不与点重合）．如果点， 分别从 点，同时出发，连接，那么经过___，四边形 的面积最小． 3 第8题图 23 9.某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有 资源，该矩形养殖场一面靠墙墙的长度为 ，另 外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积 为的矩形，已知栅栏的总长度为 ，设较小矩 形的宽为 （如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，则此时 的值为___. （2）当为___时，矩形养殖场的总面积最大，最大为____ . 2 24 10.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校 准备在校园里利用围墙墙长和 长的篱笆，围成Ⅰ区、Ⅱ区两 块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线 部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： 图1 图2 25 （1）方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试求出， 的长. 解： ， Ⅰ区、Ⅱ区两块矩形的总面积为 . 设水池的长为，则水池的面积为 . ，解得 . . . 的长为，的长为 . 26 （2）方案二：如图2，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 应设 计为多长？此时最大面积为多少？ 解：设长为，则长为 . 由题意，得总种植面积为 . ， 当时，总种植面积最大,最大面积为 . 答：应设计为，此时最大面积为 . 27 $$