第十七讲：相似多边形（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十七讲：相似多边形 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：相似多边形 1. 相似多边形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 2. 相似的符号：“∽”读作“相似于”. 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 例如：如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，记作四边形ABCD ∽四边形EFGH. 3. 相似比 (1)定义：相似多边形对应边的比叫做相似比. (2)顺序性：相似多边形的相似比具有顺序性，即多边形A与多边形B 相似，若多边形A 与多边形B 的相似比为k，则多边形B 与多边形A 的相似比为. 知识点02：相似多边形的性质与判定 1. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2. 相似多边形的判定(定义法)：若边数相同的两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似. 考点1：相似图形 【典型例题】 观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 观察下列每组图形，相似图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练2】 下列给出的图形中，不是相似形的是（　　） A．由同一张底片印出来大小不同的照片 B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 D．五星红旗上的大五角星和小五角星 考点2：相似多边形 【典型例题】 下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 【变式训练1】 在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【变式训练2】 有下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3：相似多边形的性质 【典型例题】 如图，，，，，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，四边形四边形，，，，，则和的度数分别为（   ）． A．3.5和 B．7和 C．3.5和 D．7和 【变式训练2】 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．观察下列各组多边形，其中是相似多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列两个图形一定是相似图形的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似 5．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙 6．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 7．如图，四边形四边形，则的长度和角的大小分别是（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是6，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 10．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为3：4．若．则的长为 ． 11．如图，四边形四边形，若，则 度． 12．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则 ． 13．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    14．已知五边形五边形，，，，，则 ． 15．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ． 16．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ． 17．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 ． 三、解答题 18．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？ 19．某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 20.有一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm. 边框的内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十七讲：相似多边形 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：相似多边形 1. 相似多边形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 2. 相似的符号：“∽”读作“相似于”. 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 例如：如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，记作四边形ABCD ∽四边形EFGH. 3. 相似比 (1)定义：相似多边形对应边的比叫做相似比. (2)顺序性：相似多边形的相似比具有顺序性，即多边形A与多边形B 相似，若多边形A 与多边形B 的相似比为k，则多边形B 与多边形A 的相似比为. 知识点02：相似多边形的性质与判定 1. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2. 相似多边形的判定(定义法)：若边数相同的两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似. 考点1：相似图形 【典型例题】 观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个圆形状相同，是相似图形，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】 观察下列每组图形，相似图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，根据相似图形的定义即可求解． 【详解】解：大小不同，形状不同，一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，故D选项错误； 大小不同，形状相同，两个都是正方形，故C选项正确； 大小不同，形状不同，故A选项错误； 大小不同，形状不同，一个是正方形，一个是长方形，故B选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是相似图形的性质，正确的掌握相似图形的性质是解题的关键． 【变式训练2】 下列给出的图形中，不是相似形的是（　　） A．由同一张底片印出来大小不同的照片 B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 D．五星红旗上的大五角星和小五角星 【答案】C 【分析】利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，不合题意； B、一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片，是相似图形，不合题意； C、小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像，不是相似图形，符合题意； D、五星红旗上的大五角星和小五角星，相似图形，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，相似图形的定义，正确把握定义是解题关键． 考点2：相似多边形 【典型例题】 下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意； C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1】 在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：①②③的邻边之比分别为：， ∴相似的是②③， 故选：B． 【变式训练2】 有下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】满足角分别对应相等，边分别对应成比例的两个多边形相似，根据判定方法逐一判断即可. 【详解】解：所有的等腰三角形不一定满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的等腰三角形不一定相似，故①不符合题意； 所有的等边三角形满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的等边三角形都相似，故②符合题意； 所有的正方形满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的正方形都相似，故③符合题意； 所有的矩形满足角分别对应相等，不一定满足边分别对应成比例，所以所有的矩形不一定相似，故④不符合题意； 故符合题意的有：②③ 故选B 【点睛】本题考查的是多边形相似的判定，掌握“多边形相似的判定方法”是解题的关键. 考点3：相似多边形的性质 【典型例题】 如图，，，，，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由，则，然后把，，代入即可求解，掌握相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练1】 如图，四边形四边形，，，，，则和的度数分别为（   ）． A．3.5和 B．7和 C．3.5和 D．7和 【答案】A 【分析】此题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出，，进而解答即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴ 故选：A． 【变式训练2】 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形，熟练掌握相似图形的相似比等宽的比、长的比是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解． 【详解】解：设放大后的长为． 由题意：， 解得：． 所以放大后的矩形的长为． 故选：A． 一、单选题 1．观察下列各组多边形，其中是相似多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形识别．根据题意利用相似多边形的定义逐一分析选项即可得到本题答案． 【详解】解：∵形状相同，大小不一定相同的图形为相似图形， ∴B选项符合题意， 故选：B． 2．下列两个图形一定是相似图形的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】根据相似图形的对应边成比例、对应角相等，逐项判断即可得出正确答案． 【详解】解：A、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似，故此选项不符合题意； B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意； C、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意； D、两正方形一定相似，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查相似图形的识别，解题的关键是掌握相似图形的定义．对应角相等、对应边成比例的两个图形叫相似图形． 3．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 4．下列说法错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似 【答案】D 【分析】 本题考查了相似多边形的定义及性质，熟记相关结论是解题关键 【详解】解：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形， 所以相似多边形的边数相同、对应边成比例、对应角相等， 故A、B、C不符合题意； 所有的矩形不一定对应边成比例，故所有的矩形不一定都相似， 故D符合题意， 故选：D 5．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙 【答案】D 【分析】本题主要考查相似多边形的判定，根据图形得到对应边的比值，进而问题可求解． 【详解】解：甲图矩形的长宽之比为，乙图矩形的长宽之比为，丙图矩形的长宽之比为， ∴甲与丙是相似矩形； 故选D． 6．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【答案】B 【分析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断． 【详解】解：∵， ∴是相似形的是甲和丙 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键． 7．如图，四边形四边形，则的长度和角的大小分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，因为四边形四边形，则，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，设，则，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算即可，本题考查了勾股定理，多边形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵正方形与正方形， ∴两个正方形相似， ∴正方形与正方形的面积之比为, 根据，设， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为, 故选D． 二、填空题 9．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是6，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：设第二矩形较长的边为：，则由题意，得： ， ∴； 故第二个矩形较长的一边长是8； 故答案为：8． 10．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为3：4．若．则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为3：4，， ∴，即， ∴． 故答案为：16． 11．如图，四边形四边形，若，则 度． 【答案】130 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，多边形的内角和定理，先根据四边形内角和定理求出，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形四边形， ∴． 故答案为：130． 12．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为， ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴=， 又∵， ，即． 故答案为： 13．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 14．已知五边形五边形，，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答． 【详解】解：∵五边形五边形， ∴，， 又∵五边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等． 15．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵余下的矩形矩形， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 16．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ． 【答案】11 【分析】根据两个图案相似，列出比例式即可求解． 【详解】解：因为是两片形状相同的枫叶图案， 所以两个枫叶相似； 故； 解得，； 故答案为：11． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，解题关键是根据相似图形对应线段成比例，列出比例式求解． 17．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 ． 【答案】15cm 【分析】根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似， ∴设另一个四边形的最短边的长度为x， ∴，解得：． ∴这个四边形的最短边的长度为15cm． 故答案为：15cm． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 三、解答题 18．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？ 【答案】d与（1）相似，e与（2）相似 【分析】观察比较图形，根据相似图形的定义即可得出本题答案． 【详解】解：d与（1）相似，e与（2）相似 理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d）是半圆，所以图形与图形相似； 图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似； 故答案是： d与（1）相似，e与（2）相似． 【点睛】本题主要考查了图形相似的知识点． 19．某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【答案】不能，见解析 【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解． 【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 即宽度为0米的小路不存在， ∴做不到． 【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）． 20.有一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm. 边框的内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？ 解：不相似. 理由如下： ∵在矩形ABCD 中，AB=1.5 m，AD=3 m，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm=0.0 75 m， ∴ EF=1.5＋2×0.075 =1.65(m)， EH=3＋2×0.075 =3.15(m). ∴==，==. ∵≠，∴边框的内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH 不相似. 学科网（北京）股份有限公司 $$