第十八讲：探索三角形相似的条件（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十八讲：探索三角形相似的条件 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.数学表达式： 在△ ABC 和△ A′B′C′中， 2. 全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1 的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形. 3. 相似三角形具有传递性，即若△ ABC ∽△ A ′B ′C ，′△ A′B′C′∽△ A″B″C″，则△ ABC ∽△ A″B″C″. 4. 相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ ABC 与△ A′B′C ′的相似比为k，那么△ A′B′C ′与△ ABC 的相似比为. 知识点02：两角分别相等的两个三角形相似 知识点03：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 知识点04：三边成比例的两个三角形相似 知识点05：判定两个三角形相似的基本思路 1. 判定两个三角形相似的基本思路 知识点06：黄金分割 黄金分割：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(如图4-4-8 所示)，如果= ，那么称线段AB 被点C黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 考点1：利用两角相等判定相似 【典型例题】 已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2：利用三边对应成比例判定相似 【典型例题】 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与下图中相似的是（   ） A．B．C．D． 【变式训练1】 已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 考点3：利用两边对应成比例及其交角相等判定相似 【典型例题】 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 考点4：补充条件使两个三角形相似 【典型例题】 如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1】 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 考点5：相似三角形的判定综合 【典型例题】 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B．C．D． 2．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 8．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 10．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 11．在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 12．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 13．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 14．如图，在中， 分别是边和上的点，且，请你添加一个条件，使得与相似，你添加的条件是 （任填一个）． 15．如图，在中，，则 ． 16．如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 三、解答题 17．如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 18．已知，如图所示，在中，点D在边上，点E在边上，且．求证：． 19．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 20．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十八讲：探索三角形相似的条件 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.数学表达式： 在△ ABC 和△ A′B′C′中， 2. 全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1 的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形. 3. 相似三角形具有传递性，即若△ ABC ∽△ A ′B ′C ，′△ A′B′C′∽△ A″B″C″，则△ ABC ∽△ A″B″C″. 4. 相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ ABC 与△ A′B′C ′的相似比为k，那么△ A′B′C ′与△ ABC 的相似比为. 知识点02：两角分别相等的两个三角形相似 知识点03：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 知识点04：三边成比例的两个三角形相似 知识点05：判定两个三角形相似的基本思路 1. 判定两个三角形相似的基本思路 知识点06：黄金分割 黄金分割：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(如图4-4-8 所示)，如果= ，那么称线段AB 被点C黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 考点1：利用两角相等判定相似 【典型例题】 已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 【变式训练1】 如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 考点2：利用三边对应成比例判定相似 【典型例题】 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与下图中相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：在中， ，，， A、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意； B、三边长分别为，则，与相似，故本选项符合题意； C、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意； D、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】 已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】 将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：的边长分为， 则，，， 故选：C． 考点3：利用两边对应成比例及其交角相等判定相似 【典型例题】 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 【变式训练1】 如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 考点4：补充条件使两个三角形相似 【典型例题】 如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中不能判定的条件为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】解：①，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ④中不是已知的比例线段的夹角，不正确 故选：D． 【变式训练1】 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 【变式训练2】 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，∴，即，结合可推出，故不符合题意； C、∵，，∴，故不符合题意； D、，不能推出，故符合题意； 故选：D． 考点5：相似三角形的判定综合 【典型例题】 定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】 如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 一、单选题 1．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐项进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A选项能判定，不符合题意； B、∵，， ∴，故B选项能判定，不符合题意； C、由，不能判定， 因为两边成比例且夹角相等的两个三角形才能判定相似，故C选项不能判定，符合题意； D、∵，， ∴，故D选项能判定，不符合题意； 故选：C． 3．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 4．如图，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；利用相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：在和中， A. 若，则有，又由，由两组对应边成比例，且夹角对应相等的两三角形相似，故不符合题意； B. ∵， ∴， ∵ ∴，故选项符合题意； C. ，，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； D. ，又由，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； 故选：B． 5．如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 判定两个三角形相似的方法有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A，添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项B，添加，用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项C，添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证． 选项D，添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定． 故选：D． 6．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，设交于点O． ∵和关于直线对称， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证，故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 7．如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用，判定，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解． 【详解】解：如图， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 8．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 二、填空题 9．如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，和中，已满足一组对角相等，因此再添加一组对角相等，或相等的角的两条边长对应成比例，即可证明． 【详解】解：和中，， 若，则需要增加的一个条件是：或或， 故答案为：（答案不唯一）． 10．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 11．在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，求解随机事件的概率，先分别在条件①或②或③的情况下，看能不能证明与相似，再利用随机事件的概率公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，而不一定等于， ∴与不一定相似； ∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为； 故答案为： 12．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 13．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．如图，在中， 分别是边和上的点，且，请你添加一个条件，使得与相似，你添加的条件是 （任填一个）． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，理解图示，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据图示，与有一个公共角，结合相似三角形的判定方法进行推理即可求解． 【详解】解：在中， 分别是边和上的点，且， ∴， 添加条件：， ∴两角对应相等，两三角形相似，即； 添加条件：， ∴两角对应相等，两三角形相似，即； 添加条件：， ∴两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似，即； 综上所述，添加条件为：或或， 故答案为：或或（答案不唯一） ． 15．如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两组角对应相等的两三角形相似即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 16．如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：，，，， ，， ， 又， ． 18．已知，如图所示，在中，点D在边上，点E在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定．由等角的补角相等得到，再由公共角即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 19．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$