第十五讲：成比例线段（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十五讲：成比例线段 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：形状相同的图形 定义: 形状相同，大小、位置不一定相同的图形叫做形状相同的图形 特征: 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小” 知识点02：两条线段的比 1. 两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD 的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶ CD=m∶ n，或写成=.其中，线段AB，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项. 如果把表示成比值k，那么=k，或AB=k•CD. 两线段的比具有顺序性，若写线段AB 与CD 的比，就必须把表示AB 长度的数字写在前面 (前项) 或分数线上面. 2. 比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通常为比例尺，比例尺是两条线段的比的一种. 知识点03：成比例线段 1. 成比例线段：四条线段a，b，c，d 中，如果a 与b 的比(即它们长度的比)等于c 与d 的比，即=，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段 . 2. 判断四条线段是不是成比例线段的步骤 一化：将四条线段的长度单位化统一； 二排：将四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列； 三算：计算前两条线段长度的比和后两条线段长度的比； 四判断：若比值相同，则四条线段是成比例线段；否则，不是成比例线段. 知识点04：比例的性质 1. 基本性质：如果=，那么ad=bc. 如果ad=bc(a，b，c，d 都不等于0)，那么= . 2. 等比性质：如果= =…= (b＋d＋…＋n ≠ 0)，那么= . 考点1：比例的性质 【典型例题】 若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知是，那么（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 考点2：比例线段 【典型例题】 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【变式训练1】 东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 考点3：成比例线段 【典型例题】 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式训练1】 下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式训练2】 已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（   ） A．B．C．D． 考点4：黄金分割 【典型例题】 神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【变式训练1】 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（  ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 【变式训练2】 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列给出的四条线段，是成比例线段的为（   ） A． B． C．，，， D． 4．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 5．点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 7．两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 10．已知为线段上的一点，且，则线段与的比为 ． 11．若，则的值为 ． 12．已知，则 ． 13．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ． 14．已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 15．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为 ． 16．已知点B在线段上，且，若，则线段 ． 三、解答题 17．已知，求的值． 18．已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 19．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 20．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十五讲：成比例线段 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：形状相同的图形 定义: 形状相同，大小、位置不一定相同的图形叫做形状相同的图形 特征: 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小” 知识点02：两条线段的比 1. 两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD 的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶ CD=m∶ n，或写成=.其中，线段AB，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项. 如果把表示成比值k，那么=k，或AB=k•CD. 两线段的比具有顺序性，若写线段AB 与CD 的比，就必须把表示AB 长度的数字写在前面 (前项) 或分数线上面. 2. 比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通常为比例尺，比例尺是两条线段的比的一种. 知识点03：成比例线段 1. 成比例线段：四条线段a，b，c，d 中，如果a 与b 的比(即它们长度的比)等于c 与d 的比，即=，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段 . 2. 判断四条线段是不是成比例线段的步骤 一化：将四条线段的长度单位化统一； 二排：将四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列； 三算：计算前两条线段长度的比和后两条线段长度的比； 四判断：若比值相同，则四条线段是成比例线段；否则，不是成比例线段. 知识点04：比例的性质 1. 基本性质：如果=，那么ad=bc. 如果ad=bc(a，b，c，d 都不等于0)，那么= . 2. 等比性质：如果= =…= (b＋d＋…＋n ≠ 0)，那么= . 考点1：比例的性质 【典型例题】 若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】 已知是，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：D． 【变式训练2】 若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，比例式中两个外项的乘积等于两个内项的乘积即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 考点2：比例线段 【典型例题】 下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【答案】C 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 【变式训练1】 东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺，在求比值时注意对单位进行统一，这是解题的关键．根据该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值解答即可． 【详解】解：32.5千米厘米， 所以该地图上距离与实际距离的比为． 故选C． 【变式训练2】 若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可． 【详解】设线段，的比例中项为， 则， 解得： 又因为为线段， 所以． 故选：C． 考点3：成比例线段 【典型例题】 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可． 【详解】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 【变式训练1】 下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解析：A．，四条线段不成比例，故A不符合题意； B．，四条线段不成比例，故B不符合题意； C．，四条线段不成比例，故C不符合题意； D．，四条线段成比例，故D符合题意． 故选D． 【变式训练2】 已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：A、由图知，，即，故选项不符合题意； B、由图知，，即，故选项不符合题意； C、由图知，，即，故选项符合题意； D、由图知，，即，故选项不符合题意； 故选：C． 考点4：黄金分割 【典型例题】 神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【答案】C 【分析】本题考查黄金比例，掌握知识点是解题的关键． 设相邻下一圈螺纹的直径为x，根据黄金比例，列方程求解即可． 【详解】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据题意得： ． 故选：C． 【变式训练1】 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（  ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练2】 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 一、单选题 1．下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： 由，设，， 代入，， ∴等式成立，故A正确，不符合题意； 由，两边乘得， 整理得， 即，故B正确，不符合题意； 仅说明与的比为， 但，并非唯一解（如，也满足）， 原结论错误，故C错误，符合题意； ∵，，，， ∴（因，即），故D正确，不符合题意； 故选：C 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入化简即可． 【详解】∵， 设， ∴． 故选：A． 3．下列给出的四条线段，是成比例线段的为（   ） A． B． C．，，， D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、 ，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 4．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生对黄金分割的应用和解分式方程的应用，利用题中的信息找出黄金分割中成比例的对应线段并列出等式是解决问题的关键.． 设雷锋人体雕像下部的设计高度为，则雕像上部的高度为．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程． 【详解】解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为，那么雕像上部的高度为．依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根， ∵， ∴． 故选：C． 5．点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 6．已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点；根据较长线段是整个线段的倍直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵线段，点C是线段的黄金分割点（）， ∴， ∴， 故选：C． 7．两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则， ， ， 故选：A． 8．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 【答案】４ 【分析】设，，代入中化简即可． 本题考查了比的意义，和分式的化简．熟练掌握设参数法是解题的关键． 【详解】解：设，， ． 故答案为：4． 10．已知为线段上的一点，且，则线段与的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比例关系，涉及到线段的和差及比例的计算 ． 本题可根据线段的和差关系，结合已知的线段比例，求出与的比例关系． 【详解】解：为线段上的一点， 根据线段的和差关系可知， ． ， 可设（，为一个常数 ），那么． ． 综上，线段AB与BP的比为 ． 故答案为： ． 11．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 12．已知，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了比例的性质，关键是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分．根据比例的基本性质，可分别设出x、y、z，再代入进行计算即可得出结果． 【详解】解：已知，可设， 即，，， ∴ 故答案为：1． 13．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】设甲、乙两地间的实际距离为，则： 解得：． ． 故答案为：． 14．已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义列式计算即可． 【详解】解：∵a、b、b、c是比例线段，其中， ∴，即，解得：或（不合题意舍弃）． 故答案为：6． 15．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用该定理建立比例关系求出的长度． 先根据，利用平行线分线段成比例定理得到，再结合已知白银比和，求出，最后将与相加得到． 【详解】， ，即， ， ． 故答案为：． 16．已知点B在线段上，且，若，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质及解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，，（舍去）， ∴ 故答案为：． 三、解答题 17．已知，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，通过“设法”表示出、、是解题的关键．设，那么，，，然后代入求解即可． 【详解】解：设 那么，，， 18．已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 19．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 20．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【答案】(1)9，6，12 (2) (3) 【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 （3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得 【详解】（1）解：设， 则， 解得：， 则：； （2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项， ∴， ∴， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便． 学科网（北京）股份有限公司 $$