第十九讲：利用相似三角形测高（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十九讲：利用相似三角形测高 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：利用阳光下的影子测量旗杆的高度 测量示意图 如图，∵ AE ∥ BC，∴∠ AEB= ∠ CBD. 又∵∠ ABE= ∠ CDB=90°， ∴△ ABE ∽△ CDB. ∴=，即CD= 知识点02：利用标杆测量旗杆的高度 测量示意图 如图，易知∠ 1= ∠ 2=90°. 又∵∠ 3= ∠ 3，∴△ AEM ∽△ ACN，∴=. 易知AM=BF，AN=BD，ND=MF=AB， ∴ EM=EF MF=EF－AB. ∵ BF，BD，EF，AB 可测，∴可求得CN 的长度. ∴ CD=CN +ND=CN +AB 知识点03：利用镜子的反射测量旗杆的高度 测量示意图 如图所示，∵∠ AEB= ∠ CED，∠ ABE= ∠ CDE=90°， ∴△ ABE ∽△ CDE. ∴=，即CD= 考点1：相似三角形实际应用 【典型例题】 如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，，    ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 【变式训练1】 一个圆柱形空心零件的上面有个孔，截面图如图所示，若，且量得，则厚度可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：依题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 故选：D． 【变式训练2】 如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意得，有即可求得，结合眼睛离地面的高度即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∵眼睛D离地面的高度为， ∴， ∴， 故选：B． 一、单选题 1．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 2．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度是解题的关键． 【详解】解：解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 3．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P， ∵水面离桌面的高度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 即此时点C离桌面的高度为． 故选：C． 4．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的应用：根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解， 利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【详解】解：设投影三角尺的对应边长为， ∵三角尺与投影三角尺相似， ∴， 解得， 所以投影三角尺的对应边长为， 故选：D． 5．1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（    ） A．150m B．125m C．120m D．80m 【答案】B 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：设电视塔的高度应是x， 根据题意得：＝， 解得：x＝125， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似比，列出方程，通过解方程求出电视塔的高度，体现了方程的思想． 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】B 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x寸，  竹竿的影长=150寸，标杆长=15寸，影长=5寸，  , 解得：． 答：竹竿长为450寸，  故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 7．如图，为测量楼高，在适当位置竖立一根高的标杆，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长，则楼高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴AB＝16（米）． 故选：B． 【点睛】考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 8．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 【答案】C 【分析】此题利用相似三角形测高，先找出对应的成比例线段，再把数据代入计算即可． 【详解】 如图，根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米， 同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得△DFE与△GAB相似， 即 ， 代入得： 解得：树高= 6米． 故选：C． 【点睛】此题考查利用相似三角形测高，主要利用线段成比例，找出对应边是关键，难度一般． 二、填空题 9．如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．由得，再根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】， ， ， ，，， ， 解得． 故答案为：． 10．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答． 【详解】解：如图所示，过A作于G，交与F， 因为， 所以，，米， 设， 则，即， 解得：， 米， 故答案为：6． 11．如图是小孔成像的原理示意图，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成像的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，从而得出，由相似三角形的性质可得，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得． 【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长是． 故答案为：24． 13．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ，即相似比为, ， , 故答案为：． 14．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 15．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为 m．    【答案】16 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 故答案为：16． 16．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为 米． 【答案】2． 【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可． 【详解】解：设他的同学的影长为xm， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， 解得，x=2, 经检验，x=2是原方程的解， ∴他的同学的影长为2m， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想． 三、解答题 17．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 19．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 【答案】这棵树高． 【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的，是的影子，然后加上CD就是树高． 【详解】过点作交于点 则， ，即 答：这棵树高． 【点睛】解决此类问题的关键是利用在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，列出方程求解． 20．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 【答案】教学楼AB的高度为16米 【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，即可求出AB． 【详解】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴Rt△AEB∽Rt△CED， ∴，即 解得：AB＝16（米）． 答：教学楼AB的高度为16米． 【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用，利用入射角与反射角相等得到相似三角形是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十九讲：利用相似三角形测高 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：利用阳光下的影子测量旗杆的高度 测量示意图 如图，∵ AE ∥ BC，∴∠ AEB= ∠ CBD. 又∵∠ ABE= ∠ CDB=90°， ∴△ ABE ∽△ CDB. ∴=，即CD= 知识点02：利用标杆测量旗杆的高度 测量示意图 如图，易知∠ 1= ∠ 2=90°. 又∵∠ 3= ∠ 3，∴△ AEM ∽△ ACN，∴=. 易知AM=BF，AN=BD，ND=MF=AB， ∴ EM=EF MF=EF－AB. ∵ BF，BD，EF，AB 可测，∴可求得CN 的长度. ∴ CD=CN +ND=CN +AB 知识点03：利用镜子的反射测量旗杆的高度 测量示意图 如图所示，∵∠ AEB= ∠ CED，∠ ABE= ∠ CDE=90°， ∴△ ABE ∽△ CDE. ∴=，即CD= 考点1：相似三角形实际应用 【典型例题】 如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1】 一个圆柱形空心零件的上面有个孔，截面图如图所示，若，且量得，则厚度可表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 2．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（    ） A． B． C． D． 5．1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（    ） A．150m B．125m C．120m D．80m 6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一百五十寸，同时立一根一十五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 7．如图，为测量楼高，在适当位置竖立一根高的标杆，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长，则楼高为（    ） A． B． C． D． 8．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 二、填空题 9．如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为 ． 10．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 11．如图是小孔成像的原理示意图，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成像的高度为 ． 12．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 13．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 14．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 15．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为 m．    16．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为 米． 三、解答题 17．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 18．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 19．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 20．小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角） 学科网（北京）股份有限公司 $$