专题19 相似三角形的性质（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题19 相似三角形的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【题型1 利用相似三角形对应角相等求角】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知，，，则的度数为 °． 2．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，如果，，，那么的度数是 ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在正方形网格中，，则的度数为 ． 【题型2 利用相似三角形对应边成比例求边】 例题：（2025·福建三明·三模）如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 【变式训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ． 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）在矩形中，，E是的中点，在直线上或边上有一点F，使是直角三角形，则的长为 ． 【题型3 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例】 例题：（2025·广东潮州·模拟预测）两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，则 ． 【题型4 利用相似三角形对应周长的比成比例】 例题：（2025·上海徐汇·一模）已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【变式训练】 1．（2025·江苏南通·二模）已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是 ． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是 ． 3．（2025·江苏泰州·三模）如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 【题型5 利用相似三角形对应面积的比成比例】 例题：（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，已知是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于 ． 2．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【题型6 相似三角形的性质与判定综合问题】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，迬接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提开】 （2）若的面积为，求的面积． 2．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）锐角中，，为边上的高线，， 两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．    (1)当恰好落在边上(如图2)，时，求的值； (2)正方形与公共部分的面积为时，求的值． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，则_________；（用含的代数式表示） 【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知，则图中角度α和边长x分别为（　　） A． B． C．50°、2 D．50°、3 2．（2025·安徽铜陵·三模）如图，四边形的对角线平分，，，若，则的长度是（   ） A． B．6 C． D． 3．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025年6月安徽省黄山市部分学校中考模拟考试九年级数学试卷）如图，在矩形中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南衡阳·三模）如图，点是的边延长线上一点，．连接，交于点．设，的面积分别为，，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若，，的周长为，则的周长为 ． 7．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，且，若的面积为，则四边形的面积为 ． 8．（2025·安徽黄山·三模）如图，在中，点是边上一点，连接，已知，，，则 ． 9．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．在线段上找一点，使与相似．的值为 ． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，正方形的边长为4，点为射线上一动点，连接、，在上取一点E，使，连接． （1）求 ． （2）则的最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，． (1)求证：； (2)求的周长． 12．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)若；的周长为，求的周长 13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 14．（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 15．（2024·山东济南·三模）（1）如图1，与，点D在上，点E在上，，，则 ， （2）如图2，在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变?若不变请给出证明，若改变请求出新的比值． （3）拓展：如图3，矩形，E为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，直接写出的最小值． 　　　 16．（2025·湖北咸宁·模拟预测）【问题重现】如图（1），为等边三角形，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【问题迁移】如图（2），在和中，，，． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】如图（3），在和中，点在延长线上，，，，和交于点，若，直接写出的值． 17．（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    18．（2025·山东济南·二模）“联想”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关“联想”就有很多 【问题提出】 （1）如图1，是的角平分线，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考． 思路1：联想“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形相似”． 思路2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”． 【理解应用】 （2）如图2，在中，，，，平分交于，求的长． 【深度思考】 （3）如图3，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，求的长． 【拓展升华】 （4）如图4，是的角平分线，若，，请直接写出的面积最大值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 相似三角形的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【题型1 利用相似三角形对应角相等求角】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是 ． 【答案】60 【知识点】利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，平角的定义，推出即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵A，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：60 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知，，，则的度数为 °． 【答案】70 【知识点】利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． 在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】， ， ， 故答案为： 70 ． 2．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，如果，，，那么的度数是 ． 【答案】/60度 【知识点】利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在正方形网格中，，则的度数为 ． 【答案】/135度 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由正方形网格可得，进而得到，再根据相似三角形的性质即可得出答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 【题型2 利用相似三角形对应边成比例求边】 例题：（2025·福建三明·三模）如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 【答案】2 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 则 ∵为边的中点， ∴， ∴， 则， 故答案为：2． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理. 先证明，得到，再根据勾股定理求出，即可求出的长. 【详解】解：， ． ， ． ， ． ． ． ， 故答案为：． 2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ． 【答案】2或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； 当时，则， 又是的外角， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去； 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或． 故答案为：2或． 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）在矩形中，，E是的中点，在直线上或边上有一点F，使是直角三角形，则的长为 ． 【答案】6或或8 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是矩形，得，，再结合是直角三角形，进行分类讨论，根据相似三角形的判定与性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 如图所示： 当时， 则， ∴ 四边形是矩形， ∴； 如图所示： 当时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 则． 如图所示： 当时， ∵ 则 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：或或8， 故答案为：6或或8， 【题型3 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例】 例题：（2025·广东潮州·模拟预测）两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵两个相似三角形一组对应高的长分别是和， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的对应中线的为， 设较长的中线是， 则， 解得，， 经检验，符合题意． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 【答案】9 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质对应中线的比等于相似比解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据相似比等于对应边的比，即高的比求解即可． 【详解】解：∵和是它们的对应高线， ∴与的相似比是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似比等于对应角平分线比是解题的关键．先证明，再由相似比等于对应角平分线比即可求解． 【详解】解：∵点是的角平分线的中点， ∴, ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【题型4 利用相似三角形对应周长的比成比例】 例题：（2025·上海徐汇·一模）已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·江苏南通·二模）已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是 ． 【答案】/1:2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线是解题的关键． 根据三角形中位线得到，则，根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， ∵D、E分别是、的中点， ∴， ∴， ∴与的周长比 故答案为． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是 ． 【答案】15 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 3．（2025·江苏泰州·三模）如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 【答案】150 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似图形的性质， 根据这两个三角形的面积比求出相似比，再根据相似比等于周长比可得答案． 【详解】解：因为两个相似三角形的面积比为， 所以两个相似三角形的相似比为， 所以两个三角形的周长比等于． 因为较小的三角形的周长是， 所以另一个三角形的周长为． 故答案为：150． 【题型5 利用相似三角形对应面积的比成比例】 例题：（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．首先证明，结合题意可知两三角形的相似比为，进而可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即两三角形的相似比为， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，已知是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，设，先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：∵， 设，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平移的性质求解、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 先根据平行四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质求出，根据同高，求出，进而求出四边形的面积． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 和分别以为底，它们高相同， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形的面积为： ， 故答案为：． 【题型6 相似三角形的性质与判定综合问题】 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先证明，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明即可； （2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）可知，， 与的周长比为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，迬接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提开】 （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）①为；②的面积为；（2）的面积为 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质可证得，利用相似三角形的性质即可求解； ②利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得，通过的面积即可求解． 【详解】解：（1）①四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，解得：， 为2； ②由①知，，， 和的相似比为1：4， ． 的面积为16， ， 的面积为1． （2）由②，知． 的面积为2， ， ． 四边形是平行四边形，， ，， ，，， ，， 和的相似比为， ． ， ， ， 的面积， 的面积为12． 2．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）锐角中，，为边上的高线，， 两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．    (1)当恰好落在边上(如图2)，时，求的值； (2)正方形与公共部分的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)正方形与的公共部分的面积为时，为或4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据，求得，设交于，由得到，推出，设正方形边长为，则，，得到，求出的值即可得到答案； （2）分两种情况：：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积；当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，为边上的高线，， ， ， 设交于，   ， ， ， ， 正方形边长为，则，， ， 解得：， 当恰好落在边上时，； （2）解：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积， ， 解得：， ，符合题意， ， 当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，   ， 设，则， 由得， 解得：， 矩形的面积为： ，即， 解得：，（舍去）， 综上所述，正方形与的公共部分的面积为时，为或4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，则_________；（用含的代数式表示） 【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值． 【答案】[探究活动]（1）; （2） [解决问题] 的值为或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质 [探究活动]（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解． （2）同（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解； [解决问题] 由射线交于点可知，点有可能在线段上，有可能在线段延长线上，所以分两种情况讨论，再利用（2）的结论得出的值，进而根据相似三角形的性质求得直角三角形的边长，最后勾股定理，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作交于点， ， ， ， 又是的中线， （2）同（1）可得， ， 又是的中线， 故答案为：． [解决问题] 分两种情况， ①当点在线段上时，如图所示，过作交于点，则， ，， ， 由（2）可得， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，； ②当点在线段延长线上时，如图所示，过点作交的延长线于点 ，，则， ， ，， ， 又是的中线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 综上所述：的值为或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知，则图中角度α和边长x分别为（　　） A． B． C．50°、2 D．50°、3 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答． 【详解】解： ， ∴ ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答． 2．（2025·安徽铜陵·三模）如图，四边形的对角线平分，，，若，则的长度是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点作平分交于点，由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质及相似三角形可进行求解． 【详解】解：过点作平分交于点，如图． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ． ， ，即， ； 故选A． 3．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（2025年6月安徽省黄山市部分学校中考模拟考试九年级数学试卷）如图，在矩形中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】首先得到，，然后证明出，然后结合为的中点求解即可． 此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， 为的中点， ， ． 故选：B． 5．（2025·湖南衡阳·三模）如图，点是的边延长线上一点，．连接，交于点．设，的面积分别为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，从而可得，推出，再证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由四边形是平行四边形，可得， ． ， ， ． ， ，， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长的比等于相似比即可求解，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 7．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，且，若的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题． 【详解】解： ， ， ， ， 四边形的面积 故答案为：． 8．（2025·安徽黄山·三模）如图，在中，点是边上一点，连接，已知，，，则 ． 【答案】9 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，由相似三角形的性质求解即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．在线段上找一点，使与相似．的值为 ． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 分两种情况：与，根据相似三角形的对应边之比相等，列出方程，解方程，即可得出答案． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，， 如图： 即， 整理，得， 解得：或， 即当的值为或时，， 当时，， 如图： 即， 整理，得， 解得：， 即当的值为时，， 综上，当的值为或时，与相似． 故答案为：或． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，正方形的边长为4，点为射线上一动点，连接、，在上取一点E，使，连接． （1）求 ． （2）则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）证明得到，由正方形的性质得到，则，据此可证明，得到； （2）由相似三角形的性质得到，则，当有最小值时，有最小值；故当点E在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，取中点O，连接， ∵，O为中点， ∴， ∵， ∴当点E在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，． (1)求证：； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，因为点F在的延长线上，所以，则； （2）由，得，而，所以，则，因为，所以，由于点H，得，则，由相似三角形的性质得，则，，即可求得的周长为18． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点F在的延长线上， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，于点H，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为18． 12．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)若；的周长为，求的周长 【答案】(1) (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了相似三角形的性质； （1）根据相似三角形的性质可得，，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据相似三角形的性质可得周长之比等于相似比，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴的周长: 的周长 ∵的周长为， ∴的周长为 13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是解题的关键． （1）由，推导出，由旋转得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论； （2）由相似三角形的性质得，由，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点、分别是边、上的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】(1)9 (2)16 (3) 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了三角形重心性质的应用、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据重心与一边中点的连线的长是对应中线长的即可解答； （2）在中，点G是的重心，，然后求出的面积即可； （3）如图：连接，先证可得，可得可得，最后求出的面积即可． 【详解】（1）解：在中，点G是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）解：∵在中，中线相交于点G， ∴G为的重心． ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． （3）解：如图：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2024·山东济南·三模）（1）如图1，与，点D在上，点E在上，，，则 ， （2）如图2，在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变?若不变请给出证明，若改变请求出新的比值． （3）拓展：如图3，矩形，E为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，直接写出的最小值． 　　　 【答案】（1），；（2）的值没有发生变化，证明见解析；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由题意得，得到，又由得到，令，则可以表示出的长，再再求出，，的长，在进行计算即可得到答案； （2）令，由（1）得出，，，再由勾股定理计算出的长，从而得到，由旋转可知，从而得到，即可得到的值； （3）连接，作，连接，延长交的延长线于，过作，交的延长线于，通过，可求出，作平行四边形，是关于的对称点，连接、，交于，从而得到，再通过，即可求得，从而可得到的长，再由勾股定理求出的长，最终可求出的最小值． 【详解】解：（1）， ， ∴， ， ， 设，则，，，， ， ， ∵， ∴， ∵ ， 故答案为：，； （2）的值没有发生变化， 证明：由（1）得：，， 令，则由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， 的值没有发生变化； （3）解：， ， ， 如图4，连接，作，连接，延长交的延长线于，过作，交的延长线于， ， ， ， ， ， 作平行四边形，是关于的对称点，连接、，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定与勾股定理解三角形，熟练掌握并运用三角形相似的性质与判定，正确地作出辅助线是解题的关键，此题难度较大，属于压轴题． 16．（2025·湖北咸宁·模拟预测）【问题重现】如图（1），为等边三角形，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【问题迁移】如图（2），在和中，，，． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】如图（3），在和中，点在延长线上，，，，和交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②150度；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键： （1）旋转，推出为等边三角形，利用证明即可； （2）①先证明，得到，，进而得到，，即可得证；②相似三角形的性质，等边对等角，结合角的和差关系求出的度数即可； （3）设，勾股定理求出，进而得到，作，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴设，则：，， ∵， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出，即可求解． ②由①可知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，在的上方取点，证明，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 故答案为：； ②证明：由①可知，，， ，即， 又， ， ； （2）；理由如下： ， ， 又， ， ； （3）如图，连接，在的上方取点，    使， ． ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，，两点间的距离最大， ，两点间的最大距离为10． 18．（2025·山东济南·二模）“联想”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关“联想”就有很多 【问题提出】 （1）如图1，是的角平分线，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考． 思路1：联想“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形相似”． 思路2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”． 【理解应用】 （2）如图2，在中，，，，平分交于，求的长． 【深度思考】 （3）如图3，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，求的长． 【拓展升华】 （4）如图4，是的角平分线，若，，请直接写出的面积最大值． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）6 （4） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）选择思路1：过点作，交的延长线于点，证明，列出比例式，根据角平分线的定义即可得证；选择思路2：过点分别作交于点，作交于点，作于点F，根据角平分线的性质及三角形的面积公式，即可得证； （2）由勾股定理得，由平分交于得，代入数据计算可得； （3）利用（1）的结论得出的长度，再根据已知条件证明，由相似三角形的性质得出的长度即可； （4）作的外角平分线，交的延长线于F，在的延长线上截取，易得，由（1）结论可得，由等量代换可得，利用（1）中的结论得到，求得的半径为，当A运动到点，时，的面积最大，计算即可．． 【详解】解：（1）证明：选择思路1： 如图，过点交的延长线于点D， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择思路2：如图，过点分别作交于点，作交于点，作于点F， ∵是的角平分线， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，，， ∴， ∵平分交于， ∴， ∴， 解得，； （3）∵为的角平分线， ∴，， ∵中，， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交延长线于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴AF=6， 故答案为：6． （4）如图，在的延长线上截取，作的外角平分线，交的延长线于F， ∵，， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点A在以半径为的上， 如图，当A运动到点，时， 的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$