第二十讲：相似三角形的性质（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第二十讲：相似三角形的性质 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：相似三角形中对应线段的性质定理 定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. (1)对应高的比等于相似比, (2)对应中线的比等于相似比, (3)对应角平分线的比等于相似比. 知识点02：相似三角形的周长比、面积比的性质定理 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知识点03：相似多边形的性质(拓展点) 拓展 1：相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方 拓展2：相似多边形的对应对角线之比等于相似比. 拓展3：相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比. 考点1：证明三角形的对应线段成比例 【典型例题】 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 【变式训练1】 两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比． 【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用． 【变式训练2】 ，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（   ） A．15 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 面积为10， ， 故选：B． 考点2：利用相似三角形的性质求解 【典型例题】 若两个相似三角形的相似比为，则它们的周长之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为， 故选：A． 【变式训练1】 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 【变式训练2】 如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两边成比例且夹角相等证明，即可判断A、B、D选项，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； C．无法推出， 故选项错误，符合题意； D．∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意， 故选：C． 考点3：相似三角形的判定与性质综合 【典型例题】 如图，在△ABC中，，D点在边上，，P为边上一点，当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过P作于E，于F，根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过P作于E，于F， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定得出进行解答． 【变式训练1】 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 考点4：相似三角形实际应用 【典型例题】 如图，光是沿直线传播的，一根竖直的木条距离墙壁4米，光源距离木条2米，保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，则光源与木条的距离应（    ） A．增加1米 B．减少1米 C．增加0.5米 D．减少0.5米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为木条，表示木条影子，则，作，延长交于，则，根据题意知米，米， ， ，， ， ， 米，米， ， 令，则， 保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，如图， 即，则，， ，则， 米， 光源与木条的距离应减少米， 故选：B． 【变式训练1】 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，再利用解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练2】 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该古城墙的高度为． 故选：D． 一、单选题 1．若两个相似三角形的周长比，则这两个三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比， ∴这两个三角形的面积比是． 故选A． 2．如图，在中，，，，若的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比是解题的关键． 由，推出，根据相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可求得的面积． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵的面积为4， ， ， 故选：D． 3．如图，，，，，那么的值等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，D，E分别是、的中点，若，则＝（    ）    A．4 B．8 C．2 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形中位线定理得到，再证得，然后根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和判定、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5．如图，E是的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由，得，再根据相似三角形的性质，可得，，可得，据此即可求解． 【详解】解：是的边延长线上一点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在直线行走14米到点B时，人影长度（    ） A．变长了米 B．变长了米 C．变短了米 D．变短了米 【答案】C 【分析】设小明在A处时影长为，B处时影长为，利用相似三角形相似比求出，，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，，，，， 设小明在A处时影长为，B处时影长为， 则，， ，， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， 即人影长度变短了米， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 7．如图，在中，点D，E分别是上的点，且，若，则（   ） A．1：1 6 B．1∶18 C．1：20 D．1：24 【答案】C 【分析】设的面积为a，表示出的面积为，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出和相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的面积，然后表示出的面积，再求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴设的面积为a，则的面积为4a， ∵和的点D到的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用的面积表示出的面积是解题的关键． 8．如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得，且 ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 二、填空题 9．已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 10．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形的内角和等于求出另一个角的度数，从而确定出最小的角的度数，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：三角形的两个内角分别为和， 第三个内角为， 这个三角形的最小的内角的度数为， 两个三角形是相似三角形， 另一个三角形的最小内角的度数为， 故答案为：． 11．已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质：熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的高线比等于相似比，设未知数，列出一元一次方程，进行求解即可 【详解】解：由题意得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的高线比为， 设较大三角形的高为（厘米），较小三角形的高为（厘米）， ∴， 解得：， ∴两个三角形的高的长度和为（厘米）， 故答案为：． 12．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查三角形相似的应用，掌握相似三角形的性质是解题关键．过点O作，垂足为M，作，垂足为N，由题意可知，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，身高为米的嘉嘉站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 米． 【答案】8 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 根据相似三角形的对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：如图：根据题意可得, ∵， ∴． ∴， ∴， ∴米， 即灯杆的高度为8米． 故答案为：8． 14．如图，点是边上一点，若，，，则 ．    【答案】/20度 【分析】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据，，得出，根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边米，米，测得边离地面的高度米，米，则树高为 米．    【答案】 【分析】先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：在和中， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即树高． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键． 16．三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示，若，则这个三角尺的周长与它在墙上形灯泡成的影子们周长的比是 ．    【答案】 【分析】 先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：，， ∴ ， ∵， ∴， ∴, 又∵三角尺与影子是相似三角形， ∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质． 三、解答题 17．如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：，， ， ， ． 18．如图，D，E分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出的度数，再由相似三角形的对应角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，相似比是，， ∴，即， 解得， 故为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 19．如图，中，，，点，分别在的边，上，且， (1)求证； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，即，再结合利用“两角对应相等，两个三角形相似” 即可证明结论； （2）先求得，再根据相似三角形的性质及已知条件可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， ， 又， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ． 20．如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，且，，． (1)求证：； (2)已知，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得出，对顶角，即可判断； （2）根据（1）的结论得出，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，，， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第二十讲：相似三角形的性质 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：相似三角形中对应线段的性质定理 定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. (1)对应高的比等于相似比, (2)对应中线的比等于相似比, (3)对应角平分线的比等于相似比. 知识点02：相似三角形的周长比、面积比的性质定理 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 知识点03：相似多边形的性质(拓展点) 拓展 1：相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方 拓展2：相似多边形的对应对角线之比等于相似比. 拓展3：相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比. 考点1：证明三角形的对应线段成比例 【典型例题】 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 【变式训练1】 两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比． 【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用． 【变式训练2】 ，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（   ） A．15 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 面积为10， ， 故选：B． 考点2：利用相似三角形的性质求解 【典型例题】 若两个相似三角形的相似比为，则它们的周长之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形周长的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为， 故选：A． 【变式训练1】 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 【变式训练2】 如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两边成比例且夹角相等证明，即可判断A、B、D选项，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意； C．无法推出， 故选项错误，符合题意； D．∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选项正确，不符合题意， 故选：C． 考点3：相似三角形的判定与性质综合 【典型例题】 如图，在△ABC中，，D点在边上，，P为边上一点，当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过P作于E，于F，根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过P作于E，于F， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定得出进行解答． 【变式训练1】 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 考点4：相似三角形实际应用 【典型例题】 如图，光是沿直线传播的，一根竖直的木条距离墙壁4米，光源距离木条2米，保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，则光源与木条的距离应（    ） A．增加1米 B．减少1米 C．增加0.5米 D．减少0.5米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为木条，表示木条影子，则，作，延长交于，则，根据题意知米，米， ， ，， ， ， 米，米， ， 令，则， 保持光源不动，要使木条影子的高度变为原来的2倍，如图， 即，则，， ，则， 米， 光源与木条的距离应减少米， 故选：B． 【变式训练1】 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，再利用解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练2】 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该古城墙的高度为． 故选：D． 一、单选题 1．若两个相似三角形的周长比，则这两个三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比， ∴这两个三角形的面积比是． 故选A． 2．如图，在中，，，，若的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比是解题的关键． 由，推出，根据相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可求得的面积． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵的面积为4， ， ， 故选：D． 3．如图，，，，，那么的值等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，D，E分别是、的中点，若，则＝（    ）    A．4 B．8 C．2 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形中位线定理得到，再证得，然后根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和判定、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5．如图，E是的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由，得，再根据相似三角形的性质，可得，，可得，据此即可求解． 【详解】解：是的边延长线上一点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在直线行走14米到点B时，人影长度（    ） A．变长了米 B．变长了米 C．变短了米 D．变短了米 【答案】C 【分析】设小明在A处时影长为，B处时影长为，利用相似三角形相似比求出，，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，，，，， 设小明在A处时影长为，B处时影长为， 则，， ，， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， 即人影长度变短了米， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 7．如图，在中，点D，E分别是上的点，且，若，则（   ） A．1：1 6 B．1∶18 C．1：20 D．1：24 【答案】C 【分析】设的面积为a，表示出的面积为，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出和相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的面积，然后表示出的面积，再求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴设的面积为a，则的面积为4a， ∵和的点D到的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用的面积表示出的面积是解题的关键． 8．如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得，且 ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 二、填空题 9．已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 10．如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形的内角和等于求出另一个角的度数，从而确定出最小的角的度数，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：三角形的两个内角分别为和， 第三个内角为， 这个三角形的最小的内角的度数为， 两个三角形是相似三角形， 另一个三角形的最小内角的度数为， 故答案为：． 11．已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质：熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的高线比等于相似比，设未知数，列出一元一次方程，进行求解即可 【详解】解：由题意得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的高线比为， 设较大三角形的高为（厘米），较小三角形的高为（厘米）， ∴， 解得：， ∴两个三角形的高的长度和为（厘米）， 故答案为：． 12．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查三角形相似的应用，掌握相似三角形的性质是解题关键．过点O作，垂足为M，作，垂足为N，由题意可知，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，身高为米的嘉嘉站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 米． 【答案】8 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 根据相似三角形的对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：如图：根据题意可得, ∵， ∴． ∴， ∴， ∴米， 即灯杆的高度为8米． 故答案为：8． 14．如图，点是边上一点，若，，，则 ．    【答案】/20度 【分析】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据，，得出，根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边米，米，测得边离地面的高度米，米，则树高为 米．    【答案】 【分析】先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：在和中， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即树高． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键． 16．三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示，若，则这个三角尺的周长与它在墙上形灯泡成的影子们周长的比是 ．    【答案】 【分析】 先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：，， ∴ ， ∵， ∴， ∴, 又∵三角尺与影子是相似三角形， ∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质． 三、解答题 17．如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：，， ， ， ． 18．如图，D，E分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出的度数，再由相似三角形的对应角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，相似比是，， ∴，即， 解得， 故为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 19．如图，中，，，点，分别在的边，上，且， (1)求证； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，即，再结合利用“两角对应相等，两个三角形相似” 即可证明结论； （2）先求得，再根据相似三角形的性质及已知条件可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， ， 又， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ． 20．如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，且，，． (1)求证：； (2)已知，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得出，对顶角，即可判断； （2）根据（1）的结论得出，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，，， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$