第21讲 探索三角形相似的条件及证明（八大题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第21讲 探索三角形相似的条件及证明 1. 相似三角形的概念. 2.相似三角形的判定定理. 3. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 一、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 二、相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 考点1：利用两角相等证明相似 例1．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：． 例2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：． 例3．如图，在中，，且，．写出图中的相似三角形，并指出其相似比． 例4．如图，在中，，于D． 求证：． 例5．如图，中，CD是斜边AB上的高．求证： （1）； （2）． 考点2：利用两边对应成比例及其夹角相等证明相似 例6．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 例7．如图，P是的边上的一点． （1）如果，与是否相似？为什么？ （2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？ 例8．已知：D、E是的边、上的点，，求证：． 例9．如图，在中，，D是边上一点，．求证． 考点3：利用三边对应成比例证明相似 例10．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： （1），，∠A=40° ，，； （2），，， ，，． 例11．如图，． （1）求，，的值； （2）证明与相似． 例12．如图所示的6个三角形中，哪些三角形相似？为什么？ 例13．如图，已知．求证：． 考点4：相似的传递性 例14．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 考点5：添加一个条件证明相似 例15．如图，已知，相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是_______．（填一个即可） 例16．如图，在中，为上的一点，补充条件，能使，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 例17．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝_________时，△ABC与△DEF相似． 例18．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 例19．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 例20．如图，要使，需要具备的条件是（    ） A． B． C． D． 考点6：判断三角形相似 例21．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（ ） A．B．C．D． 例22．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 例23．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 考点7：三角形相似有关比例变形式 例24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点8：三角形相似的证明综合题 例25．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 例26．如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于