第10讲 平行线分线段成比例与相似多边形（知识清单+5大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第10讲 平行线分线段成比例与相似多边形（知识清单+5大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 由平行判断成比例的线段 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 题型三 相似图形 题型四 相似多边形 题型五 相似多边形的性质 知识清单 知识点1．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点2．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点3．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 题型练习 【题型一】由平行判断成比例的线段 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，下列比例关系错误的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 【题型二】由平行截线求相关线段的长或比值 【例2】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，，，，则的长为（   ） A．3 B．1.5 C．4 D．2 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，若，则的值是 ． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图所示，，且，，．求，，的长． 【题型三】相似图形 【例3】（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．    3．（24-25九年级上·全国·课后作业）请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 【题型四】相似多边形 【例4】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    3．（2023九年级上·全国·专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【题型五】相似多边形的性质 【例5】（24-25九年级上·广东清远·期末）两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 2．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）若四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．    好题必刷 一、单选题 1．如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（    ） A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转 2．如图，在中，点D，E分别在，边上，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，不正确的是（    ）． A．同底版洗出来的两张不同尺寸的相片是相似图形 B．用放大镜看一个一元的硬币，看到的图形与原来硬币的图形相似 C．所有的矩形的形状都相同 D．用复印机经缩印得到的图形与原来的图形相似 4．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（　　） A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5 5．如图，已知直线∥∥，直线m、n 与、、分别交于点、、、、、，，，，则（     ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 6．如图，现有一等腰直角三角形的腰长为4，，将沿折叠，使的顶点恰好落在边的中点处，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（ ） A． B． C． D． 8．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE//BC，若AD＝2，DB＝1，AC＝6，则AE等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图所示，长为，宽为的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分），那么截去矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边，上各有一个点，，连结，且，点，，分别在，，边上，连结，，，，其中与相交于点，，为求出平行四边形的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．    12．如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 ． 13．如图，，若，则的长 ． 14．如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边、应满足的条件是 ．    15．如图，△ABC中，点DE分别在边BA，CA的延长线上；且DEBC，若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则BD＝ ． 16．如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    17．如图，D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，则AN:NC＝ ． 18．如图，在平面直角坐标系内，，的横坐标分别是1和3，线段，，，…都垂直于x轴，且，，，…，等线段互相平行，若，，，…，．都在直线上，则的长度是 ． 三、解答题 19．如图所示，若，分别写出相似图形中的对应角与对应边．      20．如图，左边格点图中有一个四边形ABCD，请在右边的格点图中画一个与该四边形相似的四边形A'B'C'D'． 21．将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来： 22．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值． 23．如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比． 24．如图，在中，，．求证：． 25．如图，矩形ABCD中，E，F分别在BC，AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝2，S矩形ABCD＝3S矩形ECDF．试求S矩形ABCD． 26．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，，交于点O，则． 请利用该结论解答下面的问题： 如图2，在中，点D在线段上，，，，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 平行线分线段成比例与相似多边形（知识清单+5大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 由平行判断成比例的线段 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 题型三 相似图形 题型四 相似多边形 题型五 相似多边形的性质 知识清单 知识点1．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点2．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点3．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 题型练习 【题型一】由平行判断成比例的线段 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，下列比例关系错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定定理，在解答时寻找对应线段是关键．根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】根据平行线分线段成比例解答．本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴即， 解得． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解答． 根据平行线分线段成比例定理得到，然后代入数据即可求出的值． 【详解】解：直线， ，即， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)①cm；② 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证 ，，，可得，即可求解； （2）①根据（1）中的结论即可求解． ②根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 解得cm； ②解：∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【题型二】由平行截线求相关线段的长或比值 【例2】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理可得，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，，，，则的长为（   ） A．3 B．1.5 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先求出，再根据平行线分线段成比例定理列比例式得，进而求解即可． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确的找出对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故选：C 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，若，则的值是 ． 【答案】/0.6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图所示，，且，，．求，，的长． 【答案】、、 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截得的对应线段成比例，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，即可求解，由得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 而， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【题型三】相似图形 【例3】（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 2．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．    【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4） 【知识点】相似图形 【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可． 【详解】解：根据相似图形的定义可知： （3），（5），（6）是相似图形， （1），（2），（4）不是相似图形． 故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4） 【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 【答案】③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同 【知识点】相似图形 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形是指形状相同的图形，根据题中的图形逐个判断即可得到答案，熟记相似图形定义是解决问题的关键． 【详解】解：③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同． 【题型四】相似多边形 【例4】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 2．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【答案】 【知识点】相似多边形 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【答案】不能，见解析 【知识点】相似图形、相似多边形 【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解． 【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 即宽度为0米的小路不存在， ∴做不到． 【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）． 【题型五】相似多边形的性质 【例5】（24-25九年级上·广东清远·期末）两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质即可求出较大多边形的面积． 【详解】解：设较小多边形的面积为， ∵两个相似多边形的相似比是，较大多边形的面积为， ∴， 解得：，即较小多边形的面积为． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是（   ） A．每条边的长度 B．每个内角的度数 C．面积 D．周长 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质．根据相似多边形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度数保持不变． 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）若四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长．    【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据得到，即可求解． 【详解】解：， ， ． ，， ， 则． 好题必刷 一、单选题 1．如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（    ） A．相似 B．平移 C．轴对称 D．旋转 【答案】A 【分析】本题考查数学知识解决实际问题，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将石阡旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：A． 2．如图，在中，点D，E分别在，边上，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，得到； 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找准对应线段． 3．下列说法中，不正确的是（    ）． A．同底版洗出来的两张不同尺寸的相片是相似图形 B．用放大镜看一个一元的硬币，看到的图形与原来硬币的图形相似 C．所有的矩形的形状都相同 D．用复印机经缩印得到的图形与原来的图形相似 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行分析即可得出答案. 【详解】A. 同底版洗出来的两张不同尺寸的相片形状相同，是相似图形，故A选项说法正确； B. 用放大镜看物体，看到的图形只是大小发生了改变，形状不会改变，所以是相似图形，故B选项说法正确； C. 所有的矩形，对应角都是直角，相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故C选项说法错误； D. 复印机缩印的图形只是改变了原图形的大小，形状没有发生变化，所以是相似图形，故D选项说法正确； 故选C. 【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键. 4．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（　　） A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴AC：EC＝BD：DF＝2：5， AC：AE＝BD：BF＝2：7． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 5．如图，已知直线∥∥，直线m、n 与、、分别交于点、、、、、，，，，则（     ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【分析】分析题意，观察图形可知，BF=BD+DF，BD已知，则只要得到DF的长度即可；已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例可得 ；接下来将已知数据代入计算即可得到DF的长，结合BF=DF+BD便可解答此题 【详解】∵ a∥b∥c， ∴ . ∵ AC=4，CE=6，BD=3，， ∴ DF=4.5. ∵ DF=4.5，BD=3，BF=BD+DF， ∴ BF=7.5. 故选B. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题关键是掌握平行线分线段成比例，由题意得到得到DF的长度. 6．如图，现有一等腰直角三角形的腰长为4，，将沿折叠，使的顶点恰好落在边的中点处，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交MN于点O，可得AB∥MN，根据平行线分线段定理，可得MN是三角形的中位线，进而即可求解． 【详解】解：连接，交MN于点O， ∵等腰直角三角形中，的顶点恰好落在边的中点处， ∴⊥AB，⊥MN，， ∴AB∥MN， ∴AM=CM，CN=BN， ∴MN是三角形的中位线， ∵等腰直角三角形的腰长为4，， ∴AB=4， ∴=2． 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，折叠的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 7．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质解答即可 【详解】解：∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴， ∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比， ∴， ∴， 即， ∴， ∴a：b=：1． 故选A． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边成比例． 8．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE//BC，若AD＝2，DB＝1，AC＝6，则AE等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到AE的长． 【详解】解：∵DE//BC ∴AE：AC＝AD：AB， ∵AD＝2，DB＝1，AC＝6， ∴， ∴AE＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系． 9．如图所示，长为，宽为的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分），那么截去矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似形的对应边比相等，分清矩形的对应边是解题的关键，根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】解：如图，在矩形中截取矩形， 则矩形矩形， 则， 设，得到： ， 解得：， 则剩下的矩形面积是：． 故选：B． 10．如图，正方形的边，上各有一个点，，连结，且，点，，分别在，，边上，连结，，，，其中与相交于点，，为求出平行四边形的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解：设，根据正方形的性质及平行四边形的性质利用AAS易证明，得出，再根据平行成比例线段可得出，最后根据平行四边形的面积等于大正方形的面积减去两组全等三角形的面积，化简即可得出答案． 【详解】解：设 四边形ABCD为正方形 ， 四边形EFGH是平行四边形 HG=EF， ， 在和中 ， 同理可证明 S△BGH=S△DEF，S△AGF=S△CEH 即 S平行四边形EFGH= 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、平行线成比例线段、全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二、填空题 11．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．    【答案】 【详解】∵AB∥CD∥EF， ∴ ， 故答案为． 12．如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，，若，则的长 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 由，利用平行线分线段成比例定理，可得出，代入，可求出的长，再结合，即可求出结论． 【详解】解：∵， 故答案为：4． 14．如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边、应满足的条件是 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，对折两次后的小长方形的长为，宽为，再根据相似图形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为，宽为， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，△ABC中，点DE分别在边BA，CA的延长线上；且DEBC，若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则BD＝ ． 【答案】9 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入先求解AB，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵AE=2，AC=4，AD=3， ∴， 解得：AB=6， 经检验符合题意； ∴BD=AD+AB=6+3=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 16．如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    【答案】 【分析】首先过点M作，交分别于K，N，由M是的中点与、为的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，然后根据比例的性质，即可求解． 【详解】解：过点M作，交分别于K，N，    ∵M是的中点， ∴， ∵、为的三等分点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 17．如图，D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，则AN:NC＝ ． 【答案】1:2 【详解】如图，过点D作DE∥BN，交AC于点E， ∵D是BC的中点，M是AD的中点， ∴，， ∴， ∴AN：NC=1：2. 点睛：本题解题的关键是过BC的中点D作DE∥BN交AC于点E，从而可在△BCN和△ADC中分别利用“平行线分线段成比例定理”结合点D、M分别是BC、AD的中点证得：AN=NE=EC，从而求得AN：NC的值. 18．如图，在平面直角坐标系内，，的横坐标分别是1和3，线段，，，…都垂直于x轴，且，，，…，等线段互相平行，若，，，…，．都在直线上，则的长度是 ． 【答案】 【分析】根据直线解析式分别求出线段，的长度，利用平行线分线段成比例求出对应的值，并计算的长度，推导一般性规律，进而可得出答案． 【详解】解：当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴推导一般性规律为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象，点的坐标的变化的规律，平行线分线段成比例等知识．根据点的坐标表示出相应线段的长度并推导一般性规律是解题的关键． 三、解答题 19．如图所示，若，分别写出相似图形中的对应角与对应边．      【答案】对应角是： 与 ， 与 ， 与 ．对应边是： 与 ， 与 ， 与 ． 【分析】根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例即可得到答案. 【详解】解：∵△ABE∽△DCE ∴对应角为： 与 ， 与 ， 与 ． 对应边为： 与 ， 与 ， 与 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的对应角、对应边的概念，找准对应顶点是解题的关键. 20．如图，左边格点图中有一个四边形ABCD，请在右边的格点图中画一个与该四边形相似的四边形A'B'C'D'． 【答案】见解析． 【分析】利用相似图形的性质：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，在右边格点中画出即可． 【详解】解：如图，四边形A'B'C'D’'即所求 【点睛】本题主要考查的是利用相似图形的性质，画出与已知图形相似的图形，正确的理解相似图形的性质是解题的关键． 21．将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来： 【答案】见解析 【分析】旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形变换叫作轴对称变换． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是对平移变换，相似变换，旋转变换，轴对称变换的认识，根据概念作出回答是解题关键． 22．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值． 【答案】FN：ND=2：3． 【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可． 【详解】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E， ∴， ∵AF：BF=1：2， ∴=， ∴， 即FE=BC， ∵BC：CD=2：1， ∴CD=BC， ∵FE∥BD， ∴． 即FN：ND=2：3． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目． 23．如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识．根据相似得到，则，用公式法解一元二次方程得到，根据矩形的长和宽均为正数即可得到答案． 【详解】解：设原矩形的长是a，宽是b（，且），则剩下矩形的长为b，宽为． 由题意可得，所以． 将的两边同除以，得， 所以． 因为矩形的长和宽均为正数，所以． 故原矩形的长和宽的比为． 24．如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出AD：AB=AE：AC以及AF：AD=AE：AC，即可得出结论正确． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例. 25．如图，矩形ABCD中，E，F分别在BC，AD上，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝2，S矩形ABCD＝3S矩形ECDF．试求S矩形ABCD． 【答案】4. 【详解】试题分析：根据矩形的面积求出AD=3DF，然后根据相似多边形的对应边成比例列式求出AD，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 试题解析：∵AB=2， ∴CD=AB=2， ∵S矩形ABCD=3S矩形ECDF， ∴AF=2DF， ∴AD=3DF， ∵矩形ABCD∽矩形ECDF， ∴， 即， ∴3DF2=4， 解得DF=， ∴AD=3×=， ∴S矩形ABCD=AB⋅AD=2×=. 26．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，，交于点O，则． 请利用该结论解答下面的问题： 如图2，在中，点D在线段上，，，，求的长． 【答案】3 【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可． 【详解】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E， 则＝，又BD＝2DC， ∴ ∵AD＝2， ∴DE＝1， ∵CE∥AB， ∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°， ∴∠ACE＝∠E＝75°， ∴AC＝AE＝AD + DE =3． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，恰当作辅助线，正确运用定理找准对应关系，列出比例式求值是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$