第十四讲：用频率估计概率（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十四讲：用频率估计概率 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用频率估计概率 1. 频率：n 次重复试验中，某事件发生的次数m 与总次数n 的比值. 2. 用频率估计概率 (1)用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. (2)适用对象：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计概率. (3)计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p 附近，那么估计事件A 发生的概率P(A)=p. 知识点02：模拟试验 1. 模拟试验：在用试验法估计某些事件发生的概率时，往往受试验条件的限制，使试验具有一定的难度或所得的结果误差较大，或者试验次数太多，或者试验具有一定的破坏性，导致完成起来比较困难，这时，我们可以采用模拟试验的方法估计事件发生的概率. 2. 模拟试验的两种方法 (1)利用替代物模拟实际事物进行试验. (2)利用计算器产生的随机数进行模拟试验. 利用计算器产生随机数的一般步骤是：进入产生随机数的状态→输入所产生的随机数的范围→按键得出随机数. 说明：很难找到合适的替代物模拟试验，或者利用替代 物模拟试验比较麻烦时，可选择(2)中的方法. 考点1：求某事件的频率 【典型例题】 某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式训练1】 “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 考点2：由频率估计概率 【典型例题】 山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（   ） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【变式训练1】 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表： 每批粒数n 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【变式训练2】 从电脑文档存储的一篇文章中随机抽取若干页，统计其中“的”字出现的频率约为0.02，由此可以估计整篇文章中“的”字出现的概率约为（   ） A．0.04 B．0.02 C．0.98 D．不能确定 考点3：由频率估计概率的综合应用 【典型例题】 在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【变式训练1】 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【变式训练2】 某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．投一枚骰子，朝上一面的点数是，是随机事件 B．某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次一定中奖次 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．天气预报预计今天下雨的概率为，则今天的时间下雨 2．数学课上，张老师与同学们做“用频率估计概率”的试验．不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 3．某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，如图-1所示，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品；如图所示，售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图．根据以上信息可知，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 5．袋中有100个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（   ） A．30 B．25 C．20 D．15 6．一个不透明袋中装有6个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中红球的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 7．在一个不透明的箱子里装有白球和红球共20个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，则箱子中红球的个数约是（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 8．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（   ） 实验次数 100 200 500 800 1000 2000 频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 二、填空题 9．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共35个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.6左右，则袋子中白球的个数最有可能是 个． 10．在一个不透明的布袋中，红色、黄色、白色的玻璃球共有100个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小亮通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、白色球的频率分别稳定在和，则布袋中黄色球的个数很可能是 个． 11．不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中红球的个数为 ． 12．在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 13．在一个不透明的袋子里装有白球和黄球共20个，这些球除颜色外完全相同．小黄通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，估计袋子中白球的个数可能是 ． 14．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲤鱼 尾． 15．为评估某外卖平台“准时送达”的服务质量，平台统计了不同订单量下“准时送达”的频率，并绘制了折线统计图．随着订单数量持续增加，“准时送达”的频率逐渐趋于稳定．据此估计，该平台外卖“准时送达”的概率约为 （结果精确到0.01）． 16．为了估计抛掷同一枚瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的频率稳定在，由此可估计抛掷瓶盖落地后凸面向上的概率为 ． 三、解答题 17．在一个不透明的口袋中装有个2红球，1个白球，这3个球除颜色外其他完全相同． (1)若从口袋中随机摸出1个球，试求摸到红球的概率； (2)若再往不透明的口袋中装入若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出1个球．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，求口袋中黑球大约有多少个． 18．某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：在一个不透明的袋子里，装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同，充分摇匀后，任意摸一球，摸到红球则小明去，摸到绿球则小亮去．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球30次，其中摸到绿球10次，则这30次摸球中，摸到绿球的频率为___________； (2)袋子中红、绿球各有多少个？ (3)你认为这个规则公平吗？请说明理由． 19．在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． (1)将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； (2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 20．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十四讲：用频率估计概率 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用频率估计概率 1. 频率：n 次重复试验中，某事件发生的次数m 与总次数n 的比值. 2. 用频率估计概率 (1)用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. (2)适用对象：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计概率. (3)计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p 附近，那么估计事件A 发生的概率P(A)=p. 知识点02：模拟试验 1. 模拟试验：在用试验法估计某些事件发生的概率时，往往受试验条件的限制，使试验具有一定的难度或所得的结果误差较大，或者试验次数太多，或者试验具有一定的破坏性，导致完成起来比较困难，这时，我们可以采用模拟试验的方法估计事件发生的概率. 2. 模拟试验的两种方法 (1)利用替代物模拟实际事物进行试验. (2)利用计算器产生的随机数进行模拟试验. 利用计算器产生随机数的一般步骤是：进入产生随机数的状态→输入所产生的随机数的范围→按键得出随机数. 说明：很难找到合适的替代物模拟试验，或者利用替代 物模拟试验比较麻烦时，可选择(2)中的方法. 考点1：求某事件的频率 【典型例题】 某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式训练1】 “长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 【变式训练2】 在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 考点2：由频率估计概率 【典型例题】 山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（   ） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 由图可知，成活频率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：C． 【变式训练1】 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表： 每批粒数n 400 600 1000 2000 3000 发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为0.95； 故选C． 【变式训练2】 从电脑文档存储的一篇文章中随机抽取若干页，统计其中“的”字出现的频率约为0.02，由此可以估计整篇文章中“的”字出现的概率约为（   ） A．0.04 B．0.02 C．0.98 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查频率与概率的关系．在大量重复试验中，频率会稳定于概率附近，因此可以通过随机抽样得到的频率来估计概率．题目中“随机抽取若干页”且统计出的频率为0.02，符合用频率估计概率的条件． 【详解】解：随着相同条件下试验次数的增大，事件出现的频率逐渐稳定，可以用稳定时的频率来估计这一事件发生的概率， 故可估计这本书中“人”字出现的概率是0.02． 故选B． 考点3：由频率估计概率的综合应用 【典型例题】 在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 【变式训练1】 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B 【变式训练2】 某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【答案】A 【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【详解】解：（棵）， 故选：A． 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．投一枚骰子，朝上一面的点数是，是随机事件 B．某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次一定中奖次 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．天气预报预计今天下雨的概率为，则今天的时间下雨 【答案】C 【详解】本题考查了随机事件、概率的意义及频率与概率的关系，根据各选项的描述，结合相关概念逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【分析】解：、骰子最大点数为，出现点是不可能事件，原选项说法错误； 、概率表示平均中奖次数趋近于次，但实际抽奖次可能不中奖或中奖次数不同，原选项说法错误； 、根据大数定律，大量重复试验中事件发生的频率逐渐接近其概率，原选项说法正确； 、下雨概率指可能性而非时间占比，原选项说法错误； 故选：． 2．数学课上，张老师与同学们做“用频率估计概率”的试验．不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中有放回的随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键． 利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可． 【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有2个白球、4个红球、5个黑球和9个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 故，，，， 根据图象，得该球频率稳定在， 故其概率约为． 即则该球的颜色最有可能是红球 故选：B 3．某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，如图-1所示，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品；如图所示，售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图．根据以上信息可知，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，涉及几何概率模型等知识，先由获得优胜奖频率的折线统计图，如图所示，估算出获得优胜奖的概率是，再由几何概率模型求概率的方法即可得到答案，熟记概率基础知识是解决问题的关键． 【详解】解：由获得优胜奖频率的折线统计图，可得获得优胜奖的频率稳定在附近，即获得优胜奖的概率是， ， 故选： C． 4．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率与频率的定义及关系．根据概率与频率的定义及关系，逐一分析选项．概率是理论值，频率是试验结果，当试验次数足够多时，频率会接近概率，即可解答． 【详解】解：A选项：中奖概率并不意味着买100张必中6张，概率仅表示可能性，实际结果可能波动，故本选项错误，不符合题意； B选项：当试验次数大时，频率会稳定在概率附近，而非概率稳定在频率附近，故本选项错误，不符合题意； C选项：频率，故本选项正确，符合题意；． D选项：试验频率与概率可能相等，例如多次试验后频率可能恰好等于理论概率，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 5．袋中有100个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（   ） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用摸到红球的频率乘以100即可得出红球的个数． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，口袋中有个除颜色外完全相同的小球， ∴袋中红球的个数为（个）． 故选：A． 6．一个不透明袋中装有6个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中红球的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了频率估计概率，根据频率估计概率的原理，摸到白球的频率稳定在附近，说明白球的概率约为．设红球个数为，则总球数为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设袋中红球有个，总球数为． 由题意可知，摸到白球的概率为，即：， 解方程：， 因此红球有4个． 故选：A． 7．在一个不透明的箱子里装有白球和红球共20个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，则箱子中红球的个数约是（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．根据利用频率估计概率可知摸到红球的概率为0.7，从而可以计算出红球的个数． 【详解】解：利用频率估计概率可知摸到红球的概率为0.7， ∴箱子中红球的个数约是（个）． 故选：D． 8．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（   ） 实验次数 100 200 500 800 1000 2000 频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 【答案】C 【分析】此题考查了用频率估计概率， 根据表格数据，随着实验次数的增加，频率稳定在0.167左右，对应的概率约为．需逐一验证各选项的理论概率，选择最接近的选项． 【详解】解：表格中实验次数从100到2000时，频率在0.165至0.167之间波动，最终稳定在附近， A：一副去掉大小王的扑克牌共52张，红桃有13张，概率为，不符合． B：在“石头、剪刀、布”游戏中，每个选项的概率为，不符合． C：正六面体骰子每个点数出现的概率均为，与表格数据一致． D：抛硬币出现反面的概率为，不符合． ∴选项C的理论概率与实验频率最接近． 故选：C． 二、填空题 9．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共35个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.6左右，则袋子中白球的个数最有可能是 个． 【答案】14 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出白球的个数是解答本题的关键．根据白球出现的频率和球的总数，可以计算出白球的个数． 【详解】解：由题意可得：（个），即袋子中白球的个数最有可能是14个， 故答案为：14． 10．在一个不透明的布袋中，红色、黄色、白色的玻璃球共有100个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小亮通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、白色球的频率分别稳定在和，则布袋中黄色球的个数很可能是 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据频率求数量．用100乘以黄色球的频率即可． 【详解】解：布袋中黄色球的个数很可能是（个） 故答案为：． 11．不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中红球的个数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先根据摸到红球的频率稳定在0.6左右，得到摸到红球的概率为，设红球的个数为个，根据概率公式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：摸到红球的概率为，设红球的个数为个， ∴， 解得：； 故答案为：6． 12．在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，概率公式求概率，解题的关键是要计算出红球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到红球的概率，再设绿球个数为个，根据红球的概率,即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红球， 估计摸到红球的概率为， 设绿球个数为个， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 估计箱子中有个绿球． 故答案为：． 13．在一个不透明的袋子里装有白球和黄球共20个，这些球除颜色外完全相同．小黄通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，估计袋子中白球的个数可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出黄球的个数是解答本题的关键．根据黄球出现的频率和球的总数，求出黄球的个数，再计算出白球的个数即可． 【详解】解：∵摸出黄球的频率稳定在左右， ∴摸出黄球的概率为， ∴袋子中黄球的个数为（个）， ∴ 袋子中白球的个数为（个）， 故答案是：． 14．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲤鱼 尾． 【答案】360 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后即可估计事件的概率． 由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，而鲤鱼出现的频率为0.36，然后乘以总数即可得到水塘有鲤鱼有多少尾． 【详解】解：∵水塘约有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36， ∴鲤鱼出现的概率为0.36， ∴水塘有鲤鱼（尾）， 故答案为：360． 15．为评估某外卖平台“准时送达”的服务质量，平台统计了不同订单量下“准时送达”的频率，并绘制了折线统计图．随着订单数量持续增加，“准时送达”的频率逐渐趋于稳定．据此估计，该平台外卖“准时送达”的概率约为 （结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是结合图形读出概率． 本题考查用概率估计频率，根据大量重复实验频率逐渐稳定的数值即事件发生的概率解题即可． 【详解】解：由题图可看出，该平台外卖“准时送达”的概率在附近摆动，并逐渐稳定于， ∴概率的估计值是. 故答案为：． 16．为了估计抛掷同一枚瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的频率稳定在，由此可估计抛掷瓶盖落地后凸面向上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解在大量重复试验的情况下，事件发生的频率会逐渐稳定，此时该频率可近似看作事件发生的概率是解题的关键． 根据在大量重复试验中，某一事件发生的频率近似等于这一事件发生的概率，即可解答． 【详解】解：∵小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的频率稳定在， ∴可估计抛掷瓶盖落地后凸面向上的概率为． 故答案为： 三、解答题 17．在一个不透明的口袋中装有个2红球，1个白球，这3个球除颜色外其他完全相同． (1)若从口袋中随机摸出1个球，试求摸到红球的概率； (2)若再往不透明的口袋中装入若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出1个球．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，求口袋中黑球大约有多少个． 【答案】(1) (2)5个 【分析】本题考查概率的计算及利用频率估计概率，解题关键是运用概率公式通过已知条件列方程求解． （1）先确定口袋中球的总数，再明确红球的个数，最后根据古典概型概率公式计算出摸到红球的概率． （2）设黑球个数为，此时球的总数变为个，红球个数仍为个．由于多次试验后摸到红球的频率稳定在附近，根据频率估计概率，此时摸到红球的概率可认为是．再依据概率公式列出方程，解方程得出黑球的个数． 【详解】（1）解：∵口袋中共有个球，其中红球有2个， ∴摸到红球的概率， （2）解：设口袋中黑球约有x个， 则， 解得， 故口袋中黑球大约有5个． 18．某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：在一个不透明的袋子里，装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同，充分摇匀后，任意摸一球，摸到红球则小明去，摸到绿球则小亮去．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球30次，其中摸到绿球10次，则这30次摸球中，摸到绿球的频率为___________； (2)袋子中红、绿球各有多少个？ (3)你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)红球有20个，绿球有8个． (3)不公平，小明去可能性大． 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． （1）根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值求解即可； （2）先根据概率公式求出红球个数，再设绿球有个，则黄球有个，建立方程求解即可； （3）直接根据概率公式求出摸到绿球的概率，比较摸到红球和摸到绿球概率大小即可得出结论． 【详解】（1）摸到绿球的频率为， 故答案为. （2）解：红球个数：（个）， 设绿球有个，则黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 红球有20个，绿球有8个． （3）解：从袋中随机摸出一球，共有60种等可能的结果，其中摸出绿球的结果有8种， 从袋中随机摸出一球是绿球的概率为． ∵，即摸到红球概率大， ∴这个规则不公平，小明去可能性大． 19．在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． (1)将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； (2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了可能性的大小，利用实验的方法进行概率估算，当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． （1）利用摸到红球的概率表示摸到红球的可能性； （2）利用频率估计概率得到随机摸出一个白球的概率，则根据概率公式得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率， 即摸到红球的可能性为； 故答案为：； （2）解：∵经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动， ∴随机摸出一个白球的概率， ∴， 解得， 即m的值为3． 20．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1)0.58，118； (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.58，118； （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）解：(个)， 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 学科网（北京）股份有限公司 $$