第08讲 比例线段与相似多边形（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册（北师大版）

第08讲 比例线段与相似多边形（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 相似图形 典型例题二 比例线段 典型例题三 成比例线段 典型例题四 黄金分割 典型例题五 相似多边形 典型例题六 比例的性质 典型例题七 相似多边形的性质 典型例题八 由平行判断成比例的线段 典型例题九 由平行截线求相关线段的长或比值 典型例题十 平行线分线段成比例多结论问题 知识点01 相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 【即时训练】 2．（2024九年级上·全国·专题练习）各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ． 【答案】 对应成比例 相似比 【解析】略 知识点02 线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则这三边上的高的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，三角形的面积，首先设三角形的三边长分别为，，，其对应高的长分别为，，，由三角形的面积得，与三角形的三边长分别为，，，即可求得答案；掌握比例线段是解题的关键． 【详解】解：设三角形的三边长分别为，，，其对应高的长分别为，，， ， ， 三角形的三边长分别为，，， ， ， 这三边上的高的比为：． 故选：D． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）在此例尺为的地图上，如果A，B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 【答案】5 【分析】此题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解∶∵比例尺为，，两地的距离是10厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， 故答案为：5 知识点03 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意可设，则，代入中求值即可． 【详解】解：∵， 故可设，则， ∴． 故选B． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查比例的性质，根据比例性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， 故答案为：6． 知识点04 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（    ） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，cm， ∴， ∴； 故选B． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，根据题意，易得：，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 知识点05平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，中，点D、E分别在边、上，，若，，，则的长是（  ） A．4 B．4.5 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，由中，点、分别在边、上，，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵， ， ，，， ， ， 故选：B． 【即时训练】 2．（2025·河北·模拟预测）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，，    ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 【典型例题一 相似图形】 【例1】（23-24九年级上·广西北海·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断． 【详解】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）某公司举办“建党100周年”文艺汇演，舞台AB长为24米，主持人小军主持节目时，站在离点A最长 米处，主持节目效果最佳． 【答案】（12 －12） 【分析】直接将24乘以黄金分割比即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割比的实际应用，解题关键是理解黄金分割比的意义，牢记黄金分割比． 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）． 【答案】 【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：如图：，，令， 设，则老师在黑板上写的文字大小为， ∵， ∴， 解得：， ∴老师在黑板上写的文字大小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解． 1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握几何变换的特征是解题的关键．根据几何变换的特征即可得到答案． 【详解】解：由图可知，两个开口向右的大小不一样，故只可能是相似， 故选C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形四边形，，，则 ． 【答案】 【分析】利用相似图形的性质即可求. 【详解】∵四边形四边形 ∴∠A=∠E，∠D=∠H ∵ ∴∠E=∠H=100° ∵ ∴∠F=360°-∠E-∠H-∠G=95° 故答案为95°. 【点睛】本题考查的知识点是相似图形的性质，解题关键是熟记相似图形对应角相等. 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ （1）正三角形ABC与正三角形DEF； （2）正方形ABCD与正方形EFGH． 【答案】（1）形状相同．它们的对应角相等，都是60°．对应边的比相等；（2）形状相同．它们的对应角相等，都是90°．对应边的比相等． 【分析】（1）两个正三角形的形状相同，对应角相等，对应边的比相等． （2）两个正方形的形状相同，对应的角相等，对应边的比相等． 【详解】（1）正△ABC与正△DEF的形状相同．它们的对应角相等，都是60°．根据正三角形的边长相等可以得到对应边的比相等． （2）正方形ABCD与正方形EFGH的形状相同．它们的对应角相等，都是90°．根据正方形的边长相等可以得到对应边的比相等． 【点睛】本题考查相似图形，相似图形是指形状相同的图形，判断两个正多边形的形状是否相同，就看它们的对应角是否相等，对应边的比是否相等． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）请看下图，并回答下面的问题： （1）在图（1）中，两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？ （2）在图（2）中，两个正方形物体的形状相同吗？ 【答案】（1）形状相同，大小不等（2）这形状相同 【详解】分析：通过观察,(1)中的两个足球的形状是相同的,只是大小不同.(2)中的两个正方体,虽然左边正方体上有黑边,但形状还是相同的. 本题解析： （1）这两个足球的形状相同，大小不等． （2）这两个正方形物体的形状相同． 点睛：本题考查同学们对相似图形的理解与运用，要想成功解得该题，必须认真审题以及增加对这些概念的理解与运用.形状相同的图形叫做相似图形. 【典型例题二 比例线段】 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（　　） A．+1 B．2﹣ C．3﹣ D．﹣2 【答案】C 【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可． 【详解】解：分两种情况讨论 （1）如图， ∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2， ∴AC＝AB＝×2＝﹣1， 或如图， AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，比例尺，理解比例尺的概念是解题关键．设地图上的距离为，根据比例尺列方程求解即可． 【详解】解：设地图上的距离为， 则， 解得：， 即地图上的距离为， 故答案为：． 【例3】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段成比例的运算，黄金分割点的计算方法，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据点都是线段的黄金分割点，可得，根据线段的和差运算即可求解． 【详解】解：已知点为线段的黄金分割点，则（即）， ∵点都是线段的黄金分割点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点大约（   ）m处是比较得体的位置． A．12.36m B．7.64m C．12.36m或7.64m D．13.36m 【答案】C 【分析】黄金分割是指将整体分成两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618． 【详解】解：设一个主持人现在站在A处，则主持人应走到离A点xm处最自然得体，则 ①若AC是BC与AB的比例中项： x：（20-x）=（-1）：2， 解得，x=30-10≈7.64； ②若BC是AC与AB的比例中项： （20-x）：x=（ -1）：2， 解得：x=10（-1）≈12.36； 故选：C 【点睛】本题考查黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在五角星形中，C、D是AB的两个黄金分割点．若CD＝1，则AB＝ ． 【答案】． 【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝BD＝ AB，则AD＝AB﹣BD＝AB，再利用AC﹣AD＝CD得到（﹣）AB＝1，然后利用分母有理化计算出AB． 【详解】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点， ∴AC＝BD＝AB， ∴AD＝AB﹣BD＝AB． ∵AC﹣AD＝CD， ∴（﹣）AB＝1， ∴AB＝ +2． 故答案为+2． 【点睛】本题考查了黄金分割点的运用，解题的关键是利用黄金分割点找到线段的比例关系. 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 4．（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点.为上一点，经过点，. (1)求证：是的切线； (2)在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)点是线段的黄金分割点. 【分析】(1)连接，由等腰三角形性质和折叠性质证，根据矩形性质证；（2）根据矩形性质和勾股定理求CE,CF,由得出结论. 【详解】解：(1)证明：连接， ∵， ∴. 由折叠可知， ∴. ∴. ∴. ∵四边形是矩形， ∴. ∴.即. ∴是的切线； (2)点是线段的黄金分割点. ∵四边形是矩形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴点是线段的黄金分割点. 【点睛】考核知识点：矩形性质，切线判定.根据需要寻找条件是关键. 【典型例题三 成比例线段】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键． 根据成比例线段的定义，若是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴，即， ∵，，， ∴，故选项B正确； 故选：B． 【例2】（2025·广东深圳·模拟预测）数学家定义：若点把线段分成两部分，满足，则点为线段的白银分割点．已知点是线段的白银分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，理解白银分割点的定义是解题关键．根据白银分割点的定义得到，即可求出的长． 【详解】解：点是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为：． 【例3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用该定理建立比例关系求出的长度． 先根据，利用平行线分线段成比例定理得到，再结合已知白银比和，求出，最后将与相加得到． 【详解】， ，即， ， ． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　） A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形 【答案】D 【分析】根据比例线段和三角形三边关系解答即可． 【详解】解：∵三条线段a、b、c的长满足， ∴设，，则 ∵ ∴不能围成三角形， 故选：D． 【点睛】此题考查了比例线段，关键是根据比例线段和三角形三边关系解答． 2．（2024·上海徐汇·模拟预测）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为 ．    【答案】或 【分析】先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4， ∴AC＝5， ∵DE∥BC， ∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5， 设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∵△A′EC是直角三角形， ∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝3×cot∠ACB＝， ∴AD＝；    ②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2＝（x）2， 解得x1＝4（不合题意舍去），x2＝．    故AD长为或． 故答案为：或． 【点晴】本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）如图，在中，是的中点，是边延长线上的点，连结交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】过点作交于，根据平行线分线段成比例定理和中点的性质得到，，利用等量代换得到答案． 【详解】证明：过点作交于， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 【答案】（1）、、，，;（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有，，进而问题可求解； （2）由（1）及题意可进行求解； （3）由题意易得，，进而问题可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 以BF为公共边的“共边三角形”为：、、， 由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； （2）证明：由“共边三角形”的性质： 即：， ∴， ∴； （3）解：由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可． 【典型例题四 黄金分割】 【例1】（2025·山西临汾·模拟预测）大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割．把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长． 【详解】解：∵为的黄金分割点， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，古琴模型上的一根弦，点是线段的黄金分割点（即），则的距离为 ．（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段成比例．黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， ∴之间的距离为， 故选：B． 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号) 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义、勾股定理、正方形的性质、二次根式的混合等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 根据勾股定理和正方形的性质求出，再根据黄金分割点的定义列式，然后根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ∵点E为线段的黄金分割点，， ，即，解得：， ． 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【答案】（1）厘米；（2）或． 【分析】（1）根据条件建立等式，求解即可； （2）利用分类讨论的思想讨论出黄金分割点，得出与原线段比例分别为和，然后建立等式求解． 【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且， 可知，此时 厘米； （2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和， 故或． 【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个． 4．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； （2）方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 【典型例题五 相似多边形】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据相似多边形的判定条件求解即可． 【详解】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等， ∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等， ∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似， 矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似， ∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组， 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，熟知对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的关键．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴新正方形与原正方形的相似比， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用 张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）．    【答案】12 【分析】根据题意可知两个长方形相似，得到它们对应边的比相等，则至少长和宽各是原来的2倍，计算得到答案． 【详解】∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍， ∴需要正方形的纸片是张， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握对应角相等，对应边的比相等的两个多边形是相似多边形是解题的关键． 1．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可． 【详解】作AE⊥BC于E， 则四边形AECD为矩形， ∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3， ∴BE＝4， 由勾股定理得，AB＝＝5， ∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5， D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等， 故选：D． 【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长. 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形． 现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形 . 【答案】①④ 【分析】根据相似图形的定义，对题中所给图形一一分析，判断它们的边长、对角线等所有元素都是否对应成比例，从而选出正确答案． 【详解】①两个圆，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义； ②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故不是相似图形； ③两个长方形，对应角的度数一定相等，但对应边的比值不一定相等，故不是相似图形； ④两个正六边形，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义． ∴①④是相似图形． 故答案为①④． 【点睛】本题考查的是相似图形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同． 3．（24-25九年级·全国·课后作业）如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    【答案】 【分析】此题主要考查相似多边形相似比的性质，首先根据相似性，列出相似比的等式，即可得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形与四边形相似， ∴， 又∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴ ． 4．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，连接，求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB． 【详解】∵菱形菱形， ∴∠DAB=∠EAG， ∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD， ∵四边形ABCD、AEFG都是菱形， ∴AE=AG，AB=AD， 在△EAB和△GAD中， ∴△EAB≌△GAD， ∴GD=EB． 【点睛】本题考查相似多边形的性质及全等三角形的判定与性质，根据多边形的性质得出∠DAB=∠EAG是解题关键． 【典型例题六 比例的性质】 【例1】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键． 利用内项之积等于外项之积计算判断即可． 【详解】解：A、由，得到，故该项正确，符合题意； B、由，得到，故该项错误，不符合题意； C、由，得到，故该项错误，不符合题意； D、由，得到，故该项错误，不符合题意． 故选：A． 【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的长度、比例性质，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设桌面的宽为x尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 【详解】解：设桌面的宽为x，则，即． 由题意，，得．又， 则． 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·四川成都·期末）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键． 根据已知，用b表示a、d表示c、f表示e，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答即可． 【详解】解：A、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； B、转化为等积式为，和已知一致，该选项正确； C、转化为等积式为，整理得：，和已知不一致，故该选项错误； D、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或8 【分析】本题考查了比例的性质以及分式的化简求值，分类讨论是解题的关键． 设，进而得出，再进行分类讨论进行化简求值即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∴， 当时，则； 当时，则，即； 故答案为：或8． 3．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 【答案】15 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，求出k的值，进而得出a、b、c的值，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， ， 解得， 则，，， 则． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 【典型例题七 相似多边形的性质】 【例1】（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论． 【详解】解：四边形和四边形相似， ，，，， 又， ． 故选：A． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，菱形的面积为，对角线，交于点，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到菱形；点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，得到菱形；…，依此类推，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先证明所有的菱形相似，再根据面积比等于相似的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵点，，，分别是，，，的中点， ∴，， ∴，， ∴菱形菱形， ∴菱形与菱形的面积比为：， ∴菱形的面积为， 同理：菱形的面积为， 依次类推，可知：菱形的面积为． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形．设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，由矩形矩形可得，代入整理可得，最后表示出大长方形的周长，代入化简即可求得． 【详解】解：设， 则， 依题意得： ， 矩形矩形， ， ， 整理得， 这个大矩形的面积为： 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形相似的性质和矩形面积；解题的关键是利用相似的性质找到等量关系． 2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，即可求解. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 3．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）（1）解方程：； （2）如图，在矩形中，，E、F分别是、上的点，且，若矩形矩形，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，相似多边形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据相似多边形的性质得出，再根据矩形的性质得出，，列式，求解即可得出答案． 【详解】解：（1） ，； （2）∵矩形矩形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 4．（2025·山东济宁·模拟预测）按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形与折叠，相似多边形的性质，菱形的判定和勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为，根据对折得到的矩形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可； （2）由（1）可知：，折叠推出四边形为正方形，进而求得，即可得证； （3）易得，得到，折叠得到，，，进而推出，即可得证． 【详解】（1）解：设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为， ∵通过对折得到的矩形纸都是相似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：设，由（1）可得：， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． （3）由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【典型例题八 由平行判断成比例的线段】 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，下列比例关系错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定定理，在解答时寻找对应线段是关键．根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= · 【答案】// 【分析】先根据平行线的判定方法得到，然后根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质计算DF． 【详解】解：∵DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC， ∴， ∴，即， ∴DF＝7.5． 故答案为7.5． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，对角线和交于点，，，点、分别是、的中点，连接，过点作于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行线的判定，平行线分线段成比例，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的性质得到,,求出，由是的中点得到， 由得到，得出，得到是的中位线，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，对角线和交于点，，， ,, , 是的中点， , , , , , 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， , 故选：A． 2．（24-25八年级下·北京西城·期末）在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 【答案】/③① 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变的长度能使 成立，故可判断③；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断④，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：①、 ∴四边形是平行四边形，故①符合题意； ②、只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故②不符合题意； ③、改变的长度，与的交点为中点时，则 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， 故③符合题意； ④保持的长度不变且时， ∵平分 ∴为的中点， ∴ 即为的中点， ∴是的中位线， ∵四边形是平行四边形， ∴改变的大小都能使 当的长度不变且不等于时，点不是的中点， ∴不可能使成立，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，以及勾股定理的应用，由矩形的性质得出，，，，由勾股定理求出，，由平行线分线段成比例可得出，设，则，代入，得出x的值，即可得出 【详解】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在中，是的角平分线，求证：”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作的平行线交的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路：在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若的外角平分线交的延长线于点D，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，，，平分，求的长． 【答案】（1）小丽同学的解题思路；证明见解析（2）证明见解析（3） 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）小丽同学，由平行线分线段成比例得到，再证即可；小强同学，证明，则，得到，，则，，即可得到结论； （2）过点D作交于点M，则，，，由比例的性质得到，证明，即可得到结论； （3）延长交的延长线于点F，求出，，，进一步得到，．过点E作于点G，证明是等腰直角三角形，，则，，求得，即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：小丽同学， ∵， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 小强同学， 在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． （2）证明：如图4，过点D作交于点M， ∴，，， ∴，则； ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图5，延长交的延长线于点F， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，． ∴ 过点E作于点G， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【典型例题九 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，小红同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，，，，， ，， ， ， ， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·广东梅州·期中）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：作于，交于， ， ， ， ， 故答案为：10． 【例3】（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．因为 ，所以，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 则， 解得， 故答案为：1． 1．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求出，再利用平行线分线段成比例可得出，即可求解，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形准确作出平行线是解题的关键．过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点D作交于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为的中点，是上的一点，且，连接，并延长交的延长线于点，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，，求出，进而可得． 【详解】23．解：如图，过点作，交于点，则． 是的中点， ， ． ， ， ， ． 4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【典型例题十 平行线分线段成比例多结论问题】 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，A选项成立，故不符合题意； ，B选项成立，故不符合题意； ，C选项不成立，故符合题意； ，D选项成立，故不符合题意； 故选C． 【例2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图， 在中，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上， 且．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】已知BC//DE，根据平行线分线段成比例判断即可. 【详解】∵BC//DE， ∴，故①说法正确； ，故②说法正确； ，故③说法正确； ，故④说法错误. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例的运用，正确理解题意与图形，根据平行找到相应的关系是解题的关键. 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，于，为中点，连接，过作交于．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④若，，则线段的长为7．其中一定正确的结论是 ．（请将正确结论的序号填在横线上） 【答案】①②③ 【分析】延长延长交于点H，证明得，，，结合外角的性质可判断①正确；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断②正确；由平行四边形的性质可判断③正确；由得，从而，整理得，设，则，，由平行线分线段成比例定理得，进而可判断④不正确． 【详解】解：延长交于点H， ∵平分交于点D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵M为中点，E为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵，即， ∴， 整理得， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线分线段成比例定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 1．（2025·河北·模拟预测）在中，，，是边上的中线，E是线段上一点（不与点D重合）．将线段绕点E顺时针旋转得到线段，如图，连接． 结论Ⅰ：当点E与点C重合时，； 结论Ⅱ：当点E为的中点时，线段取得最小值． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，∵，，是边上的中线， ∴，，过作，交于，连接，连接交于，交于，由旋转可得，，结合平行得到，即可证明，，则垂直平分，得到，当E是线段上运动时，点的运动轨迹为直线一部分，根据运动轨迹求解即可． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段，如图，连接，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段，如图，连接，当点E与点C重合时，点F与点M重合，即，故结论Ⅰ正确； 过作，交于，连接，连接交于，交于， 由旋转可得，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴，即， ∴当E是线段上运动时，点的运动轨迹为直线一部分， ∴线段最小值为，此时与重合，即， ∵， ∴， ∴， ∴当点E为的中点时，线段取得最小值， 故结论Ⅱ正确， 综上所述，Ⅰ和Ⅱ都对， 故选：A． 2．（2024·云南·模拟预测）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论中①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．正确的有 【答案】①②③ 【分析】利用SAS证△BEC≌△AFC，即可判定①；由△BEC≌△AFC，则CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，即可得出∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF是等边三角形，可判定②；由∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，则∠AGE＝∠AFC，可判定③；过点E作EMBC交AC下点M点，易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，由AFEM，则．即可判定故④． 【详解】解：①∵菱形ABCD，∠BAD＝120°， ∴AB=BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠BAC＝60°， ∴∠FAC=∠BAD-∠BAC＝60°， ∴∠B=∠FAC， ∵BE=AF， ∴△BEC≌△AFC （SAS），正确； ②∵△BEC≌△AFC， ∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF， ∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°， ∴∠ACF+∠ECA＝60， ∴△CEF是等边三角形，故②正确； ③∵∠AGE＝∠FGC＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG， ∴∠AGE＝∠AFC，故③正确； ④过点E作EMBC交AC下点M点， ∵EMBC， ∴∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠ACB=60°， ∴△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3， ∵AFEM， ∴． 故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握等边三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海·期中）如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．交于点，，设，． (1)用向量、分别表示下列向量： _____________，_____________，_____________． (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论） 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，向量的线性运算和平行四边形法则等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）利用向量的线性运算，求解即可； （2）过点分别作、的平行线，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 由题意得：； 由平行四边形的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， ； 故答案为：，， ； （2）如图：过点作交于点，过点作交于点， 则向量、是向量分别在、方向上的分向量． 4．（2024·河南商丘·模拟预测）综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．        【答案】（1）；（2）正确．理由见解析；（3）或． 【分析】（1）先证得四边形是正方形，得到，再通过“”证得，得到，从而得证； （2）根据正方形的性质和垂直的定义证得，得到，根据，，得到，证得，从而得证； （3）由正方形的边长为3可求得，由点E是的三等分点，得到或．分两种情况讨论：①当时，，在中，，从而，根据得到，从而求得，进而即可解答；②当时，同①思路即可解答． 【详解】（1）∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，，又点E是的中点， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）正确． 理由如下：过点E作于点M，过点F作于点P，如图所示．    ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （3）∵在正方形中，，， ∴ ∵点E是的三等分点， ∴或． ①当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，由（2）可得， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，综合运算相关知识是解题的关键． 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知，那么下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解题关键． 由已知比例式出发，利用比例的基本性质及等式变形，逐项分析判断即可． 【详解】解：， ． A、可变为，无法得出，故此选项错误，不符合题意； B、，两边同乘得，当时，即，不一定成立，故此选项错误，不符合题意； C、，得，即，则，不一定成立，故此选项错误，不符合题意； D、，得，即，故此选项正确，符合题意． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川达州·期末）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点是的黄金分割点， ， ∵点是的黄金分割点， ， ， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为， 故选：B． 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，为对角线BD上一点，过点的直线MN分别交边AB，BC于点F，G，交射线DA，DC于点M，N．若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 6．（2025·江苏盐城·模拟预测）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：15 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，交于，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，则代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：9． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．设它的较长一边的长为，则它的较短一边的长为，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：设它的较长一边的长为，则它的较短一边的长为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 它的较长一边的长为， 故答案为：． 10．（2025·广东清远·模拟预测）如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握平移的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 过点作，交于点，由等边三角形的性质和含角的直角三角形，可得，，继而可求出，即，再由判定是等边三角形，进而求出，再根据中线的性质得出，进而根据两个三角形重叠部分面积为得出结果． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵是边长为4的等边上的高， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边上的高， ∴，， ∴， , 又∵点是的中点， ∴点是的中点， ∴，同理， ∴两个三角形重叠部分面积为， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等式的性质及比的性质运算，运用等式的基本性质两边加1，可证；还可以运用比例的性质求解． 【详解】方法一：证明：， ， ， ． 方法二：证明：， ． ， ， ． ， 方法三：证明：， ． ， ， ． ． 12．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【答案】(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 13．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)若，，，，则的长为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）证明得，进而利用等边对等角得，即可得出结论； （2）过点A作于点F，交于点P，由等腰三角形的性质和勾股定理分别求出、，再由得对应线段成比例，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点F，交于点P， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，，，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）设， 则，，，， ∴ ； （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 15．（24-25九年级上·山西·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【答案】（1）A；（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；（3）60.75 【分析】（1）根据阅读材料得到相似体的概念，然后对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析，发现只有球体的形状是完全相同的； （2）根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系； （3）根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论． 【详解】解：（1）A、两个球体，形状完全相同，是相似体； B、两个圆锥体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； C、两个圆柱体，如果底面半径或高发生变化，图形就会改变，不是相似体； D、两个长方体，如果长，宽，高中有一个发生变化，图形就会改变，不是相似体； 故选：A； （2）根据阅读材料进行归纳可以得到： ①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； ②相似体表面积的比等于相似比的平方； ③相似体体积的比等于相似比的立方； 故答案为：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方； （3）由题意知他的体积比为()3； 又因为体重之比等于体积比， 若设初三时的体重为x千克， 则有()3=， 解得x==60.75． 答：初三时的体重为60.75千克． 故答案为：60.75． 【点睛】本题考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．根据阅读材料对相似图形的概念进行推广，得到相似体的概念，然后对阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，表面积的比以及体积的比与相似比的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 比例线段与相似多边形（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 相似图形 典型例题二 比例线段 典型例题三 成比例线段 典型例题四 黄金分割 典型例题五 相似多边形 典型例题六 比例的性质 典型例题七 相似多边形的性质 典型例题八 由平行判断成比例的线段 典型例题九 由平行截线求相关线段的长或比值 典型例题十 平行线分线段成比例多结论问题 知识点01 相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【即时训练】 2．（2024九年级上·全国·专题练习）各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ． 知识点02 线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则这三边上的高的比为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）在此例尺为的地图上，如果A，B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 知识点03 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若，且，则 ． 知识点04 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（    ） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 【即时训练】 2．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 知识点05平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，中，点D、E分别在边、上，，若，，，则的长是（  ） A．4 B．4.5 C．2.5 D．2 【即时训练】 2．（2025·河北·模拟预测）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是 ． 【典型例题一 相似图形】 【例1】（23-24九年级上·广西北海·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）某公司举办“建党100周年”文艺汇演，舞台AB长为24米，主持人小军主持节目时，站在离点A最长 米处，主持节目效果最佳． 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）． 1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形四边形，，，则 ． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ （1）正三角形ABC与正三角形DEF； （2）正方形ABCD与正方形EFGH． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）请看下图，并回答下面的问题： （1）在图（1）中，两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？ （2）在图（2）中，两个正方形物体的形状相同吗？ 【典型例题二 比例线段】 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（　　） A．+1 B．2﹣ C．3﹣ D．﹣2 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 【例3】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点大约（   ）m处是比较得体的位置． A．12.36m B．7.64m C．12.36m或7.64m D．13.36m 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在五角星形中，C、D是AB的两个黄金分割点．若CD＝1，则AB＝ ． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 4．（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点.为上一点，经过点，. (1)求证：是的切线； (2)在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由. 【典型例题三 成比例线段】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东深圳·模拟预测）数学家定义：若点把线段分成两部分，满足，则点为线段的白银分割点．已知点是线段的白银分割点，且，则 ． 【例3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为 ． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　） A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形 2．（2024·上海徐汇·模拟预测）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为 ．    3．（24-25九年级上·甘肃·阶段练习）如图，在中，是的中点，是边延长线上的点，连结交于点．求证：． 4．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 【典型例题四 黄金分割】 【例1】（2025·山西临汾·模拟预测）大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，，且，则 ． 【例3】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，古琴模型上的一根弦，点是线段的黄金分割点（即），则的距离为 ．（结果保留根号）    1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E 为线段的黄金分割点，，则的长为 cm．(结果保留根号) 3．（2024九年级上·全国·专题练习）（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 4．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【典型例题五 相似多边形】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【例2】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ． 【例3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用 张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）．    1．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形． 现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形 . 3．（24-25九年级·全国·课后作业）如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    4．（24-25九年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，连接，求证：．    【典型例题六 比例的性质】 【例1】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）已知，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【例3】（24-25九年级上·四川成都·期末）若，且，则 ． 1．（23-24九年级上·上海松江·期中）已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【典型例题七 相似多边形的性质】 【例1】（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为 ． 【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，菱形的面积为，对角线，交于点，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到菱形；点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，得到菱形；…，依此类推，则菱形的面积为 ． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形．设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）（1）解方程：； （2）如图，在矩形中，，E、F分别是、上的点，且，若矩形矩形，求的长． 4．（2025·山东济宁·模拟预测）按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【典型例题八 由平行判断成比例的线段】 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，下列比例关系错误的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【例3】（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC，AB=2，AC=6，EF=5，那么DF= · 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，对角线和交于点，，，点、分别是、的中点，连接，过点作于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京西城·期末）在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可） 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，E是边延长线上的点，且，与相交于点F，，，求及的长． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【问题初探】 在数学活动课上，张老师给出如下问题：“如图1，在中，是的角平分线，求证：”，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作的平行线交的延长线于点E，运用等腰三角形和相似等知识解决问题． ②如图3，小强同学从“是的角平分线”给出了另一种解题思路：在上截取，连接，过点C作的平行线交的延长线于点G，也是利用相似等知识解决问题． （1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程． 【类比分析】 张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对应边的比．为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答． （2）如图4，若的外角平分线交的延长线于点D，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形中，，，，平分，求的长． 【典型例题九 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，小红同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东梅州·期中）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若，则的长为 ． 【例3】（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，则 ． 1．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为的中点，是上的一点，且，连接，并延长交的延长线于点，求的值． 4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【典型例题十 平行线分线段成比例多结论问题】 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（   ）      A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图， 在中，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上， 且．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，于，为中点，连接，过作交于．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④若，，则线段的长为7．其中一定正确的结论是 ．（请将正确结论的序号填在横线上） 1．（2025·河北·模拟预测）在中，，，是边上的中线，E是线段上一点（不与点D重合）．将线段绕点E顺时针旋转得到线段，如图，连接． 结论Ⅰ：当点E与点C重合时，； 结论Ⅱ：当点E为的中点时，线段取得最小值． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 2．（2024·云南·模拟预测）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论中①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．正确的有 3．（23-24九年级上·上海·期中）如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．交于点，，设，． (1)用向量、分别表示下列向量： _____________，_____________，_____________． (2) 在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论） 4．（2024·河南商丘·模拟预测）综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______． 【推理验证】 （2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长．        1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知，那么下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25九年级上·四川达州·期末）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A． B． C． D． 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，为对角线BD上一点，过点的直线MN分别交边AB，BC于点F，G，交射线DA，DC于点M，N．若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 6．（2025·江苏盐城·模拟预测）如果，那么 ． 7．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，交于，，，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为 ． 10．（2025·广东清远·模拟预测）如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为 ． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 12．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 13．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)若，，，，则的长为___________． 14．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 15．（24-25九年级上·山西·阶段练习）阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体． 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比． 设分别表示这两个正方体的表面积，则 又设分别表示这两个正方体的体积，则 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（    ） A．两个球体          B．两个锥体         C．两个圆柱体        D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于__________．②相似体表面积的比等于____________．③相似体体积比等于___________． （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为16千克，到了初三时，身高为1.65米，则他的体重是_________千克（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 学科网（北京）股份有限公司 $$