第十六讲：平行线分线段成比例（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十六讲：平行线分线段成比例 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平行线分线段成比例的基本事实 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2. 符号表示：如图①②③所示. 在l1 ∥ l2 ∥ l3 的条件下，可分别推出下面共同的结论： (1)= ，简称“上比下”等于“上比下”. (2)=，简称“下比上”等于“下比上”. (3)=，简称“上比全”等于“上比全”. (4)= ，简称“下比全”等于“下比全”. 知识点02：平行线分线段成比例的基本事实的推论 1. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 2. 符号表示：如图若DE ∥ BC，则=，=，=. 3. 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 考点1：由平行判断成比例的线段 【典型例题】 如图，，交于点G，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，点都在格点上，点是线段与网格的交点，每个小格是长度为1的正方形，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 考点2：由平行截线求相关线段的长或比值 【典型例题】 如图，已知，若，则的长为（　　） A．3 B．5 C．5.5 D．6 【变式训练1】 如图，已知直线，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练2】 如图，，若，则的值为（   ） A．5 B．10 C．15 D．2.5 一、单选题 1．在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．4 5．如图，在中，延长到E，连接交于F，若，，则长是（   ） A．4.5 B．3 C．2 D．1 6．如图是我们铜仁少数民族工艺品商店的货架，其中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A．2 B．1 C． D．4 8．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，若，，，，则长为 ． 10．如图，正方形中，E，F分别在边上，相交于点G，若， ，则 ． 11．如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 ． 12．如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 13．如图，直线，则 ． 14．如图，，若，则等于 ． 15．如图，，，若，则的长为 ． 16．如图，在中，，则的值为 ． 三、解答题 17．如图，在中，，，，求证：． 18．如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 19．如图所示，，且，，．求，，的长． 20．如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十六讲：平行线分线段成比例 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平行线分线段成比例的基本事实 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2. 符号表示：如图①②③所示. 在l1 ∥ l2 ∥ l3 的条件下，可分别推出下面共同的结论： (1)= ，简称“上比下”等于“上比下”. (2)=，简称“下比上”等于“下比上”. (3)=，简称“上比全”等于“上比全”. (4)= ，简称“下比全”等于“下比全”. 知识点02：平行线分线段成比例的基本事实的推论 1. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 2. 符号表示：如图若DE ∥ BC，则=，=，=. 3. 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 考点1：由平行判断成比例的线段 【典型例题】 如图，，交于点G，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得，结合，则，可判断A；，结合题意得和，则，可判断B；由，结合已知得和，则，可判定C；由和，则，可判定D． 【详解】解：， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ，故B正确，不符合题意； ∵， ， ， ， ， ， ， ， ，故C错误，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 如图，点都在格点上，点是线段与网格的交点，每个小格是长度为1的正方形，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段对应成比例．如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【变式训练2】 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：， ，，，； 选项A、C、D正确，不符合题意；选项B错误，不符合题意． 故选：B． 考点2：由平行截线求相关线段的长或比值 【典型例题】 如图，已知，若，则的长为（　　） A．3 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式训练1】 如图，已知直线，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练2】 如图，，若，则的值为（   ） A．5 B．10 C．15 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 根据，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B ． 一、单选题 1．在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：如图： A、当时，不能判定，故不符合题意； B、当时，能判定，故符合题意； C、当时，不能判定，故不符合题意； D、当时，不能判定，故不符合题意； 故选：B． 2．如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形的判定与性质，平行分线段成比例，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：A、， ，故A错误； B、， ，故B错误； C、， ，故C错误； D、， ，故D正确； 故选：D 3．如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 4．如图，，若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到的关系，再根据可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，延长到E，连接交于F，若，，则长是（   ） A．4.5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理，运用相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ 故选：B． 6．如图是我们铜仁少数民族工艺品商店的货架，其中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．首先根据可得：，根据，，，可以求出的长度，再根据求出的长度． 【详解】解：， ，，， ， 解得：， ． 故选：C． 7．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交直线于点E，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交直线于点E， 根据题意，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求出，再利用平行线分线段成比例可得出，即可求解，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 9．如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 10．如图，正方形中，E，F分别在边上，相交于点G，若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．作，交与，设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图所示，作，交与， 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 【答案】/3.5 【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案． 【详解】解：梯形中，，梯形的中位线为， ，， ，， ， ，是的中点， 由平行线分线段成比例得到， ， 为的中位线，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 13．如图，直线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则， 解得： 故答案为：． 14．如图，，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先根据建立等式求出，再根据建立等式，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，即，解得，或（舍去）． ∵， ∴，即，解得， 故答案为：． 16．如图，在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 17．如图，在中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；由平行可得，结合已知条件和比例的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图所示，，且，，．求，，的长． 【答案】、、 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截得的对应线段成比例，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，即可求解，由得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 而， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 20．如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． 学科网（北京）股份有限公司 $$