第十三讲：用树状图或表格求概率（暑期预习衔接讲义）（思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十三讲：用树状图或表格求概率 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用列表法求概率 1. 列表法 列表法是用表格的形式反映各种事件发生所有可能出现的结果和次数，以及某一事件发生出现的结果和次数，并求出概率的方法. 2. 具体步骤 (1)选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为纵列，列出表格； (2)运用概率公式P(A)= 计算概率. 知识点02：用画树状图法求概率 1. 画树状图法 画树状图法是用树状图的形式反映各种事件发生所有可能出现的结果和次数，以及某一事件发生出现的结果和次数，并求出概率的方法. 2. 画树状图法求概率的步骤 树状图将试验中具有相同的可能性的结果像树分叉一样一层一层地表示出来，每一个分支对应一种可能性相同的结果，便于计算结果总数. 知识点03：游戏的公平性 游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方获胜的概率是否相等. 1. 判断游戏公平性的两种类型 (1)若游戏中不计得分情况，可通过计算概率来判断是否公平. 若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平. (2)若游戏中涉及得分情况，先计算出概率，再根据游戏规则中规定的得分方法，分别计算出得分，若得分相同，则游戏公平；若得分不同，则游戏不公平. 考点1：列举法求概率 【典型例题】 有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用列举法或列表法或树状图法求概率．准确列出事件的所有结果是解题的关键； 根据题意列出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】酚酞遇碱性溶液变红，五种溶液中，只有碳酸钠和氢氧化钾可使酚酞变红． 从这5个试剂瓶中随机抽取2个，共有10种等可能结果，列举如下： 稀硫酸和稀盐酸，稀硫酸和碳酸钠，稀硫酸和氯化钠，稀硫酸和氢氧化钾，稀盐酸和碳酸钠， 稀盐酸和氯化钠，稀盐酸和氢氧化钾，碳酸钠和氯化钠，碳酸钠和氢氧化钾，氯化钠和氢氧化钾， 其中均能使酚酞溶液变红的只有碳酸钠和氢氧化钾这一种，其概率为， 故选：C． 【变式训练1】 有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：A．祖冲之；B．李时珍；C．张衡；D．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，则抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，需先确定所有可能的抽取结果及符合条件的结果数，即可解答． 【详解】解：四张邮票分别记为A、B、C、D．从中一次性抽取两张，所有可能的抽取结果为： (A，B)、(A，C)、(A，D)、(B，C)、(B，D)、(C，D)，共6种等可能的情况． 其中，抽到A和B的情况仅有1种． 因此，所求概率为． 故选B． 【变式训练2】 如果一个两位数中两个数字之差的绝对值不超过3，则称该两位数为“幸运数”．用3，6，9这三个数字随机组成一个无重复数字的两位数，恰好是“幸运数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率计算，新定义运算，首先列出所有可能的无重复两位数，再根据“幸运数”的定义筛选符合条件的数，最后计算概率即可． 【详解】解：用3、6、9组成无重复数字的两位数共有6种可能：36、39、63、69、93、96， 判断每个数是否为“幸运数”（两数字之差的绝对值）： 36：，符合条件； 39：，不符合； 63：，符合条件； 69：，符合条件； 93：，不符合； 96：，符合条件； 符合条件的数有4个（36、63、69、96），故概率为． 故选：D． 考点2：列表法求概率 【典型例题】 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（　　） A．摸出1个球是红球的概率是 B．摸出1个球是白球的概率是 C．一次摸出4个球至少有2个是红球 D．一次摸出2个球至少有1个是白球 【答案】D 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A、摸出1个红球的概率为，说法正确，本选项不符合题意； B、摸出1个白球的概率为，说法正确，本选项不符合题意； C、一次摸出4个球时，口袋中剩余1个球，若剩余的是红球，则摸出的4个球中有2个红球和2个白球；若剩余的是白球，则摸出的4个球中有3个红球和1个白球；无论哪种情况，红球数量均不少于2个，说法正确，本选项不符合题意； D、列表如下： 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红1，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红1，红3） （红3，红2） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （红1，白1） （红2，白1） （红3，白1） （白1，白2） 白2 （红1，白2） （红2，白2） （红3，白2） （白1，白2） ∵共有20种等可能的结果，摸出2个球至少有1个是白球的有14种结果， ∴摸出2个球至少有1个是白球的概率为，原说法错误，本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1】 小明得知深圳有优必选、智平方、逐际动力、众擎这四大通用型机器人公司可供参观，他打算从中选两个，则众擎公司被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及众擎公司被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这四大通用型机器人公司分别记为 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中众擎公司被选中的结果有共6种， ∴众擎公司被选中的概率为 故选：A． 【变式训练2】 年春晚中的魔术节目备受瞩目，刘谦老师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌正面均不同，将这两张扑克牌分别对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的结果数，再利用概率公式可得出答案．掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【详解】解：将四个半张扑克牌分别记为，，，，其中与可以合成完整的一张牌，与可以合成完整的一张牌， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的结果有：，，，，共种， ∴小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是． 故选：D． 考点3：树状图法求概率 【典型例题】 “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图，根据树状图求出共有种等可能的情况出现，其中恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的情况有种，从而可得：恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率为． 【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为，，，， 根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知共有种等可能的情况出现，其中恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的情况有种， 恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率为． 故选： A． 【变式训练1】 两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣，从点A到点B一共有三条路可以选择，两只蚂蚁随机选择，则两只蚂蚁选择同一条路的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两只蚂蚁选择同一条路的结果数有3种， ∴两只蚂蚁选择同一条路的概率是． 故选：B． 【变式训练2】 将三张扑克牌分别剪成大小相同的两段后背面向上混合到一起随机从中抽取两段，刚好能搭配成一张完整扑克牌的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，设为一张完整的扑克牌，为一张完整的扑克牌，为一张完整的扑克牌，画出树状图，再根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设为一张完整的扑克牌，为一张完整的扑克牌，为一张完整的扑克牌，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中刚好能搭配成一张完整扑克牌的结果有种， ∴刚好能搭配成一张完整扑克牌的概率是， 故选：． 考点4：游戏公平性 【典型例题】 一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 【变式训练1】 五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 【变式训练2】 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算，比较甲赢、乙赢的概率，即可求解；能熟练利用列举法进行求解是解题的关键． 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 一、单选题 1．如图是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 【详解】解：∵蓝色区域的圆心角为， ∴指针落在蓝色区域的概率是， 故选：A． 2．如图，这是正方形网格，图中的2个小方格已涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使整个阴影部分组成轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率，轴对称图形，将图中1~10中的小正方形任涂一个均能使整个阴影部分组成轴对称图形，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：如图，将图中1~10中的小正方形任涂一个均能使整个阴影部分组成轴对称图形，所以使整个阴影部分组成轴对称图形的概率． 故选：D． 3．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”  “美”  “辽”  “宁”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了画树状图求概率，先画出树状图，即可得出所有可能出现的结果，及符合条件的结果，再根据概率公式得出答案，掌握树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 一共有种可能出现的情况，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的种情况， ∴取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是， 故选：． 4．某校体育节期间开展丰富多彩的比赛活动，现有“踢毽子、跳绳、乒乓球”三个比赛项目面向全体同学招集赛事服务志愿者（每名同学只能报名其中一项），在互不沟通的情况下，小明和小芳报名同一个比赛项目志愿服务的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了树状图或列表法求概率， 画树状图展示所有9种等可能的结果，找出小明和小芳恰好在同一个比赛项目的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设踢毽子、跳绳、乒乓球分别为甲，乙，丙， 根据题意，画出树状图，如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小芳恰好在同一个比赛项目的结果数为3， 所以小明和小芳恰好在同一个比赛项目的概率：． 故选： C． 5．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子2个，白子2个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 【详解】解：列表如下： 黑 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （黑，白） （白，白） 白 （黑，白） （黑，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中摸出的两个棋子中至少有1个是白子的有10种结果， 所以摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为． 故选：A． 6．数学老师准备在祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶这4位数学家中选取2位，介绍他们在数学领域取得的成就，则选到数学家祖冲之和秦九韶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶分别记为、、、， 列表可得： 共有种等可能出现的结果，其中选到数学家祖冲之和秦九韶的情况有种， ∴选到数学家祖冲之和秦九韶的概率是， 故选：D． 7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小明．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小明从中随机抽取两张，则小明抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法与画树状图法求概率，解题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的概率． 【详解】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，画树状图如下： 由图可得，一共有种等可能性的结果， 其中小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的可能性有种， ∴小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的概率是． 故选：D ． 8．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 二、填空题 9．今年“五一”小长假期间，甲、乙两位同学分别从木兰天池、清江画廊、古隆中三个景区中各自随机选择一个游玩，那么他们选择同一个景区的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择同一个景区的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将三个景区分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中他们选择同一个景区的结果有3种， ∴他们选择同一个景区的概率为． 故答案为：． 10．如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】先计算阴影部分的面积，用阴影面积除以总面积即可． 本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：阴影面积为：，总面积为， 飞镖落在阴影部分的概率是：． 故答案为：． 11．如图，在正方形中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形．若随机向正方形内投掷一枚小针，则针尖落在四边形内的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率； 设正方形的边长为2，先求出正方形的面积和四边形的面积，再根据几何概率的意义计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为2， ∵点E，F，G，H是四条边的中点， ∴， ∴， 同理：， ∵正方形的面积为， ∴四边形的面积为：， ∴针尖落在四边形内的概率为 故答案为：． 12．如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，落在蓝色区域的概率等于蓝色区域面积在整个圆中的占比，据此可得答案． 【详解】解：指针落在蓝色区域的概率是， 故答案为：． 13．某校为培养学生的数学素养，开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学建模”“数学实践”四门数学趣味 课程，小琳和小玲从这四门课程中各随机选择一门学习，则她们选择相同课程的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查运用列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，列表确定所有等可能结果数以及她们选择相同课程的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学建模”“数学实践”四门数学趣味课程，分别用A、B、C、D表示， 根据题意列表如下： A B C D A       AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由上表可知，共有16种等可能的结果，她们选择相同课程有4种结果，则她们选择相同课程的概率是． 故答案为． 14．中国古代神话源远流长，现有4个古代神话故事：《女娲补天》《后羿射日》《哪吒出生》《哪吒闹海》．从中随机抽取2个，则抽到的2个故事都是关于哪吒的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，先画出相应的树状图，然后即可求得抽到的2个故事都是关于哪吒的概率． 【详解】解：将《女娲补天》《后羿射日》《哪吒出生》《哪吒闹海》分别记为A、B、C、D， 画树状图如下所示： 由上可得，共有12种等可能性的结果，其中抽到的2个故事都是关于哪吒的结果有2种， ∴抽到的2个故事都是关于哪吒的概率为． 故答案为：． 15．．少林武术，又称少林功夫，是在河南嵩山少林寺这一特定历史文化环境中形成的．将正面画有少林功夫经典招式——朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳的四张卡片背面朝上洗匀，且它们除正面外完全相同．从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片是同一招式的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片是同一招式的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳，列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两次抽取的卡片是同一招式的结果数有4种， ∴两次抽取的卡片是同一招式的概率为， 故答案为：． 16．如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合，小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，设计轴对称图形，根据轴对称图形的性质，确定可以涂的小正方形的个数，再用概率公式进行计算即可． 【详解】解：所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合的个数总共有7个，其中所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的情况有3种，如图： ∴； 故答案为：． 三、解答题 17．如图所示是一个可以自由转动的转盘． (1)自由转动转盘一次，求指针落在蓝色区域的概率． (2)小颖和小亮用这个转盘做游戏，自由转动转盘一次，如果指针落在红色区域，则小颖获胜，如果指针落在蓝色区域，则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用蓝色区域的扇形圆心角度数除以360度即可得到答案； （2）分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，指针落在蓝色区域的概率为， （2）解：不公平，理由如下： P（小颖获胜）=， P（小亮获胜）=， ∵， ∴游戏对双方不公平． 18．端午节某商场举办了“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有14个小球，其中有8个红球、4个白球和2个绿球，它们除颜色外其余都相同，小颖和小亮参与了这个活动． (1)从中任意摸出一球，若摸到红球，则小颖获得奖励；若摸到白球，小亮获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； (2)现在要从箱中取出若干个红球，再放入相同数量的白球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个红球？ 【答案】(1)活动对双方不公平，理由见解析； (2)取出2个红球． 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）利用概率公式分别求出小颍和小亮获得奖励的概率，进而得出答案； （2）设取出了x个红球，直接利用当红球与白球个数相等时，小颍和小亮获得奖励的概率相等，则活动公平，列出方程，求出答案即可． 【详解】（1）解：（1）不公平． 由题意可得：小颍获得奖励的概率为，小亮获得奖励的概率为； ∵， ∴活动对双方不公平； （2）解：设取出了x个红球，当红球与白球个数相等时，活动公平，则： ， ∴． 答：取出2个红球． 19．在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)从甲袋中摸出1个小球，摸出的小球是红色的概率是_____． (2)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）． (3)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色小球的概率是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求比较复杂的情况概率，画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据甲袋中有1个红球和2个白球，共3个小球，利用概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，得出等可能的情况总数和两次都是白球的次数，即可求出概率； （3）先找出从每个布袋中各摸出2个小球的可能情况数，然后画出树状图，得出等可能的情况总数和符合题意的情况数，即可求出概率． 【详解】（1）解：根据题意从甲袋中摸出1个小球，摸出的小球是红色的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意画出树状图，如图所示： 共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有2次，因此摸出的都是白色小球的概率为； （3）解：从第一个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白1、白1白2、红白2，从第二个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白、红黑、黑白，根据题意列出树状图，如图所示： 共有9种等可能情况，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的情况数有5种，因此摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率为． 故答案为：． 20．为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数； (3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】(1)80；条形统计图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，以及用画树状图或列表法求概率，解题关键是理解题意，能结合两种图形获取有效信息． （1）已知A项目所占圆心角度数为，可根据，先求出其占总人数的比例，再根据A项目人数为32人，即可求出总人数；进而根据总人数求出 C类人数，即可完成条形统计图； （2）由（1）中 C类人数，可先求出其占总人数的比例，再用比例与相乘即可求出对应圆心角的度数； （3）首先画出树状图，由图可得所有等可能的结果数量，以及恰好两名性别相同的学生的结果数量，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，本次被调查的学生共有：（人） C项目人数为：（人）， 完整条形统计图如下： （2）C类对应的圆心角的度数为：． （3）画出树状图如下所示： 由上图可得，共有12种等可能的结果，其中两名性别相同的学生的结果有4种， ∴恰好两名性别相同的学生的概率为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版九年级数学上册 第十三讲：用树状图或表格求概率 （思维导图+知识总结梳理+典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用列表法求概率 1. 列表法 列表法是用表格的形式反映各种事件发生所有可能出现的结果和次数，以及某一事件发生出现的结果和次数，并求出概率的方法. 2. 具体步骤 (1)选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为纵列，列出表格； (2)运用概率公式P(A)= 计算概率. 知识点02：用画树状图法求概率 1. 画树状图法 画树状图法是用树状图的形式反映各种事件发生所有可能出现的结果和次数，以及某一事件发生出现的结果和次数，并求出概率的方法. 2. 画树状图法求概率的步骤 树状图将试验中具有相同的可能性的结果像树分叉一样一层一层地表示出来，每一个分支对应一种可能性相同的结果，便于计算结果总数. 知识点03：游戏的公平性 游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方获胜的概率是否相等. 1. 判断游戏公平性的两种类型 (1)若游戏中不计得分情况，可通过计算概率来判断是否公平. 若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平. (2)若游戏中涉及得分情况，先计算出概率，再根据游戏规则中规定的得分方法，分别计算出得分，若得分相同，则游戏公平；若得分不同，则游戏不公平. 考点1：列举法求概率 【典型例题】 有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：A．祖冲之；B．李时珍；C．张衡；D．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，则抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如果一个两位数中两个数字之差的绝对值不超过3，则称该两位数为“幸运数”．用3，6，9这三个数字随机组成一个无重复数字的两位数，恰好是“幸运数”的概率为（   ） A． B． C． D． 考点2：列表法求概率 【典型例题】 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（　　） A．摸出1个球是红球的概率是 B．摸出1个球是白球的概率是 C．一次摸出4个球至少有2个是红球 D．一次摸出2个球至少有1个是白球 【变式训练1】 小明得知深圳有优必选、智平方、逐际动力、众擎这四大通用型机器人公司可供参观，他打算从中选两个，则众擎公司被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 年春晚中的魔术节目备受瞩目，刘谦老师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌正面均不同，将这两张扑克牌分别对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是（     ） A． B． C． D． 考点3：树状图法求概率 【典型例题】 “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣，从点A到点B一共有三条路可以选择，两只蚂蚁随机选择，则两只蚂蚁选择同一条路的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 将三张扑克牌分别剪成大小相同的两段后背面向上混合到一起随机从中抽取两段，刚好能搭配成一张完整扑克牌的概率是（    ） A． B． C． D． 考点4：游戏公平性 【典型例题】 一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【变式训练1】 五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【变式训练2】 一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 一、单选题 1．如图是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 2．如图，这是正方形网格，图中的2个小方格已涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使整个阴影部分组成轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 3．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“最”  “美”  “辽”  “宁”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字恰能组成“辽宁”的概率是 （    ） A． B． C． D． 4．某校体育节期间开展丰富多彩的比赛活动，现有“踢毽子、跳绳、乒乓球”三个比赛项目面向全体同学招集赛事服务志愿者（每名同学只能报名其中一项），在互不沟通的情况下，小明和小芳报名同一个比赛项目志愿服务的概率是（   ） A． B． C． D． 5．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子2个，白子2个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为（   ） A． B． C． D． 6．数学老师准备在祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶这4位数学家中选取2位，介绍他们在数学领域取得的成就，则选到数学家祖冲之和秦九韶的概率是（   ） A． B． C． D． 7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小明．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小明从中随机抽取两张，则小明抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是（   ） A． B． C． D． 8．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．今年“五一”小长假期间，甲、乙两位同学分别从木兰天池、清江画廊、古隆中三个景区中各自随机选择一个游玩，那么他们选择同一个景区的概率是 ． 10．如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 11．如图，在正方形中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形．若随机向正方形内投掷一枚小针，则针尖落在四边形内的概率为 ． 12．如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是 ． 13．某校为培养学生的数学素养，开设了“图说数学史”“玩转几何”“数学建模”“数学实践”四门数学趣味 课程，小琳和小玲从这四门课程中各随机选择一门学习，则她们选择相同课程的概率是 ． 14．中国古代神话源远流长，现有4个古代神话故事：《女娲补天》《后羿射日》《哪吒出生》《哪吒闹海》．从中随机抽取2个，则抽到的2个故事都是关于哪吒的概率为 ． 15．少林武术，又称少林功夫，是在河南嵩山少林寺这一特定历史文化环境中形成的．将正面画有少林功夫经典招式——朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳的四张卡片背面朝上洗匀，且它们除正面外完全相同．从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片是同一招式的概率是 ． 16．如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合，小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为 ． 三、解答题 17．如图所示是一个可以自由转动的转盘． (1)自由转动转盘一次，求指针落在蓝色区域的概率． (2)小颖和小亮用这个转盘做游戏，自由转动转盘一次，如果指针落在红色区域，则小颖获胜，如果指针落在蓝色区域，则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？为什么？ 18．端午节某商场举办了“幸运抽奖”活动，抽奖箱里共有14个小球，其中有8个红球、4个白球和2个绿球，它们除颜色外其余都相同，小颖和小亮参与了这个活动． (1)从中任意摸出一球，若摸到红球，则小颖获得奖励；若摸到白球，小亮获得奖励，这个活动对双方公平吗？请说明你的理由； (2)现在要从箱中取出若干个红球，再放入相同数量的白球，使得这个活动对双方公平，则要取出多少个红球？ 19．在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)从甲袋中摸出1个小球，摸出的小球是红色的概率是_____． (2)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）． (3)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色小球的概率是_____． 20．为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数； (3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$