22.1.2二次函数y＝ax²的图象和性质（知识梳理+习题精选）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.2二次函数y＝ax²的图象和性质 一、知识梳理 1.二次函数y=ax²（a≠0)的图象与性质 （1）二次函数y=ax²（a≠0)的图象 二次函数y=ax²的图象叫做抛物线y=ax².抛物线y=ax²是 图形，对称轴是 .抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的 ，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线y=ax²的顶点是 . （2）二次函数y=ar2(a≠0)图象的作法 列表：在二次函数y=ax²中，自变量x的取值范围是 给出x的一些代表值，求出对应的y值： ：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点： ：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸， x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （3）二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 （4）二次函数y=ax²解析式中二次项系数a与抛物线间的关系 (1)a的正负决定抛物线的 和函数的 .当a>0时，抛物线开口 ，函数有最 ；当a<0时，抛物线开口 ，函数有最 .（2)的大小决定抛物线的开口大小，越大开口 二、知识精练 一、单选题 1．下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 4．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 6．如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 7．若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 10．拋物线的对称轴是 轴． 11．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 12．若点，在抛物线上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 13．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 三、解答题 14．已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 15．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．求的值，并画出它的图象； 16．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得二次项系数，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同， ∴二次项系数， 故选：． 2．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数的对称轴为直线轴，求得关于轴的对称点为，根据抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，进而即可判断的大小关系． 【详解】解：∵，对称轴为轴，图象开口向上， 当时，随的增大而增大，关于轴的对称点为， ∵点都在二次函数的图象上，， ∴． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把，，分别代入计算即可判断． 【详解】解：当时，， 二次函数的图象经过点不经过点， 当时，， 二次函数的图象不经过点， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的的取值范围为，于是可得的整数解为，，，根据函数图象分别求出当，，时的整点数，将其相加即可得出的值． 【详解】解：令， 解得：，， 抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：， 的整数解为：，，， 当时，，， 满足条件的整点为一个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 满足条件的整点共个，故， 即：的值为， 故选：． 7．A 【分析】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴． ∴当时，y随x的增大而增大，关于y轴的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 9． 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 10． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为： 11． 【分析】本题考查二次函数的性质，在中，的值越大，函数图像越靠近轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵，，的图像开口向上，的图像开口向下， ∴，，，， ∵，，的图像开口依次增大， ∴， ∴． 故答案为： 12． 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在函数的图象上， 且， ∴， 故答案为：． 14．(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 15．，图见解析 【分析】此题考查了二次函数的定义以及性质，描点法画函数图像，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质．根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可； 【详解】解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示： 16．（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$