精品解析：山东省聊城市莘县2024-2025学年下学期八年级数学期末试题

2024—2025学年度第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 随着2024年年未等技术推动迅猛发展，各类与相关的图标层出不穷，以下是几个常见的图标，仅看图标其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与可以合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 4. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，，F为DE的中点．若的周长为18，则OF的长为( ) A. 3.5 B. 4 C. 5 D. 7 6. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 7. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系内，直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，折叠后点A，B的位置分别是点，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ） A. 由图象可知； B. 方程组的解为； C. 方程的解为； D. 当时． 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 如图所示：数轴上点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为____________． 13. 把直线（b为常数）向左平移3个单位长度后过点，则b的值为_______． 14. 现定义一种新的运算：．例如，则不等式的解集为_______． 15. 如图，正方形的边长为，等边的顶点在正方形内，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，……，按此规律进行下去，若点B坐标为，则的坐标为______． 三、解答题：本题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，已知的三个顶点坐标为，，． （1）将绕坐标原点旋转，画出图形； （2）将绕坐标原点逆时针旋转，并直接写出点的对应点的坐标___________； （3）请直接写出：以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标___________． 19. 如图，的对角线相交于点O，． （1）求证：； （2）连接，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明． 20. 随着中国科技、经济的不断发展，信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个信号源，且点C到点A和点B的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． （1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ （2）若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 21. 阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求值． （2）化简：. 22. 已知，直线与轴、轴分别交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． （1）求篮球、足球的单价； （2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？最少费用是多少？ 24. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量知道：，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 随着2024年年未等技术推动迅猛发展，各类与相关的图标层出不穷，以下是几个常见的图标，仅看图标其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列二次根式中，与可以合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．化简二次根式，找出与是同类二次根式的即可． 【详解】解：A．； B．； C．； D．． 只有可以与合并． 故选：D． 3. 如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 4. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，分母有理化，正确计算是解本题的关键．根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质化简对B进行判断；根据二次根式的加法对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断． 【详解】解：A、，原计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，原计算正确，故不符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，，F为DE的中点．若的周长为18，则OF的长为( ) A. 3.5 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质和直角三角形斜边中线的性质可得CF=FE=FD，由勾股定理求出DC的长，然后利用三角形中位线定理即可求出OF的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCE=90°，OD=OB， ∵DF=FE， ∴CF=FE=FD， ∵EC+EF+CF=18，EC=5， ∴EF+FC=13，即DE=13， ∴DC= ， ∴BC=CD=12， ∴BE=BC-EC=7， ∵OD=OB，DF=FE， ∴OF=BE==3.5， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键． 7. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是不等式组含参数问题．首先分别解两个不等式，然后根据不等式组无解得到，进而求解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组无解， ， 解得， 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系内，直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与正比例函数图象综合，根据函数图象分别求出正比例函数比例系数的符号以及一次函数一次项系数和常数项的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、由正比例函数图象可知，则，一次函数经过第一、二、四象限，但图中一次函数经过一、三、四象限，故此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，一次函数经过第一、二、四象限，图中一次函数经过一、二、四象限，故此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，一次函数经过第一、二、四象限，但图中一次函数经过一、二、三象限，故此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，一次函数经过第一、三、四象限，但图中一次函数经过一、二、三象限，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，将矩形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，折叠后点A，B的位置分别是点，，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形与翻折，利用角度的转换即可解答，熟练利用翻折前后的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ） A. 由图象可知； B. 方程组的解为； C. 方程的解为； D. 当时． 【答案】D 【解析】 【分析】先观察直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答D即可． 【详解】解：因为直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，所以； 则A正确； 因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程的解是， 则B正确； 因为直线与x轴交点的坐标是， 所以方程的解是， 则C正确； 因为从交点向左时直线在直线的上方， 所以当时，， 则D不正确． 故选：D． 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图所示：数轴上点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理． 先利用勾股定理求出斜边的长，得出点A表示的数，再根据即可求出点B表示的数． 【详解】解：∵， ∴点A表示的数为． 设点B表示的数为x， ∵点A与点B关于点C对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 13. 把直线（b为常数）向左平移3个单位长度后过点，则b的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平移得，再把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵把直线（为常数）向左平移3个单位长度后过点， ∴， ∴把代入， 得， 解得． 故答案为：． 14. 现定义一种新的运算：．例如，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，新定义，根据新定义可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，等边的顶点在正方形内，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，确定出最小是解答关键． 由于点与点关于对称，所以连接，与的交点即为点，此时最小，而是等边的边，根据已知条件即可求解． 【详解】解：设与于点，连接， 四边形是正方形， 点与点关于对称， ， （最小）． 正方形的边长为， 是等边三角形， ， 即的最小值是． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，……，按此规律进行下去，若点B坐标为，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，由旋转的性质可得为的中点，可求得，同理可得，，，，，…同理可得为的中点，为的中点，为的中点，…从而可依次求得，，，…进一步可推得，将代入即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． 过点A作，交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将等边绕点A旋转180°，得到， ∴， ∴，，， ∴，，为的中点， 同理可得，，，，，… 同理可得为的中点，为的中点，为的中点，… 同理可得，，，… 依次类推，， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，以及直角三角形的性质，规律问题，解题关键是根据题意，找到图形变化的规律． 三、解答题：本题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1） （2），整数解为，，， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元一次不等式组： （1）根据二次根式的混合运算法则，进行求解即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，再确定整数解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由①，得：， ∴， 解得：； 由②，得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为，，，． 18. 如图，已知的三个顶点坐标为，，． （1）将绕坐标原点旋转，画出图形； （2）将绕坐标原点逆时针旋转，并直接写出点的对应点的坐标___________； （3）请直接写出：以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标___________． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析，； （3）或或． 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换以及中心对称图形的性质，平行四边形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可； （）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，； 【小问3详解】 解：如图， ∵，，， ∴当是对角线时，； 当是对角线时，； 当是对角线时，， 故答案为：或或． 19. 如图，的对角线相交于点O，． （1）求证：； （2）连接，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的性质以及菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，，再利用等式的性质可得，然后再利用即可证明结论； （2）根据，可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形为菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：四边形为菱形， 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 20. 随着中国科技、经济的不断发展，信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个信号源，且点C到点A和点B的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． （1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ （2）若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】（1）能，理由见详解 （2）秒 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论． 【小问1详解】 解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号． 【小问2详解】 解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答：有秒可以接收到信号． 21. 阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若，求值． （2）化简：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【小问1详解】 解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 已知，直线与轴、轴分别交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）求出点D的坐标，利用计算解题； （3）根据，列方程求出的值，即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得或， 当时，，点P的坐标为； 当时，，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 23. 体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． （1）求篮球、足球的单价； （2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）足球的单价为50元，篮球的单价为100元 （2）当购买足球20个，篮球80个时花费最少，最少费用为9000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据购买篮球100个，足球100个花费15000元，购买篮球120个，足球60个花费15000元建立方程组求解即可； （2）设购买足球m个，则购买篮球个，根据足球数量不超过篮球数量的列出不等式求出m的取值范围，再根据一个足球的花费比一个篮球的花费少，即足球数量越多，总花费越少可得答案． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：足球的单价为50元，篮球的单价为100元； 【小问2详解】 解：设购买足球m个，则购买篮球个， ∵足球数量不超过篮球数量的， ∴， 解得， ∵， ∴一个足球的花费比一个篮球的花费少， ∴足球数量越多，总花费越少， ∴当，时，花费最小，最少费用为元， 答：当购买足球20个，篮球80个时花费最少，最少费用为9000元． 24. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量知道：，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 解：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ； （2） 解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据旋转的性质可证明是等边三角形，再证明直角三角形，继而用勾股定理求解； （2）把绕点C顺时针旋转得到，连接，通过旋转证明是等腰直角三角形，，求出，在中由勾股定理即可求解； （3）将绕点B顺时针旋转，得到，连接，证明点在线段上，，对运用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知： ， 是等腰直角三角形， ，， ∵， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $