精品解析：山东省聊城市莘县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 （时间:120分钟;满分:120 分） 一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求) 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故选C． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算熟练掌握运算法则是解答本题的关键．本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的除法、二次根式的乘法，二线格式的减法以及二次方根式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确，不符合题意； B．，正确，符合题意； C．，故不正确，不符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选B． 4. 如图，数轴上点A，B分别对应的数是1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点M对应的数是（ ） A. 52 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴．先确定的长，再根据勾股定理求出和，从而可以确定点表示的数． 【详解】解：连接，由题意，得， 在中， ，， ， ， ∴点M对应的数是． 故选：D． 5. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. C. 直线过点 D. 与坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴，解得， ∴一次函数为，y随x增大而减小，故A和B错误； 当时，，故C正确； 该一次函数与x轴交于点，与y轴交于点， ∴与坐标轴围成的三角形面积为，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 6. 若且，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据且，得到a,b的取值范围，再根据一次函数的图像即可求解. 【详解】解：∵，且， ∴a＞0，b＜0. ∴函数的图象经过第一、三、四象限． 故选A． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知不等式的性质及一次函数的图像. 7. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 当时， D. 关于，的方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 9. 如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，坐标与平移，先求出菱形绕其对角线的交点为，旋转得到点的对应点为，再根据点的平移：左减右加，上加下减即可得出结果． 【详解】解：由图和题意可知，， 设菱形的对角线的交点为，则：为点的中点， ∴， ∴ 设旋转后点的对应点为，则：， ∴， 将再向右平移3个单位，得到，即：； 故选C． 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积 【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变， 可知图中, 根据图像的对称性，， 由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理 矩形的面积为 故答案为：C 【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. －的立方根是______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先化简，再根据立方根的定义求出即可． 【详解】解：－=-8 则-8的立方根是-2． 故答案为：-2 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的应用，解答关键是根据相关定义进行计算． 12. 已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案． 【详解】解：点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点为：（﹣2﹣m，1﹣m）， ∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限， ∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0， 解得：﹣2＜m＜1． 故答案为：﹣2＜m＜1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 13. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ______． 【答案】##-a+1 【解析】 【分析】根据数轴可得： ，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和立方根的性质，熟练掌握实数与数轴，算术平方根和立方根的性质是解题的关键． 14. 如图，在四边形中，，连接，点、、、分别为、、、的中点，若，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，三角形中位线定理、勾股定理．连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理分别求出、、、，计算即可． 【详解】解：连接， 是的中点，， ， ， 点、、、分别为、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形的周长为， 故答案为：． 15. 在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为__________________cm3． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为，求出的值即可． 【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系， 设， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 当时，，即烧杯的质量为 当该种液体时，时，即， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】第二个矩形的周长为第一个矩形周长的，第三个矩形的周长为第一个矩形周长的，依此类推，第n个矩形的周长为第一个矩形周长的. 【详解】解：由中点四边形的性质可得， 第二个矩形的周长为第一个矩形周长的； 第三个矩形的周长是第一个矩形周长的； … 故第n个矩形的周长为第一个矩形周长的． 又∵第一个矩形的周长为1， ∴第n个矩形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质、中点四边形．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 三、解答题(本题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）第一项根据二次根式的性质化简，第二项和第三项根据乘法公式计算； （2）先把括号里根据二次根式的性质化简，再算二次根式的除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组 ，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解有： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∴， ∴整数解有：． 19. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为：、、．线段的端点坐标为，． （1）线段先向　　　平移　　　个单位，再向　　　平移　　　个单位与线段重合； （2）将绕点旋转后得到的，使的对应边为，直接写出点的坐标，并画出； （3）求点在旋转过程中所经过的路径的长． 【答案】（1）右，4，下，6 （2）；图见解析 （3）点在旋转过程中所经过的路径长． 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移性质得出平移规律即可； （2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用弧长公式进而求出答案． 【小问1详解】 解：先向右平移4个单位，再向下平移6个单位与重合； 故答案为：右，4，下，6； 【小问2详解】 解：如图所示：； ； 【小问3详解】 解：， 点在旋转过程中所经过的路径长． 21. 如图，已知函数：和的图象交于点P，点P的横坐标为1． （1）观察图象，直接写出不等式的解集； （2）求a的值． （3）求出函数和的图象与轴围成的几何图形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）4 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与不等式的联系．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）观察图象，利用数形结合即可求解； （2）先把代入，得出，则两个一次函数的交点的坐标为；把代入即可得到结论； （3）分别求出函数和的图象与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 解：观察图象，当时，函数的图象在函数的图象的下方， ∴不等式的解集为； 【小问2详解】 解：把代入，得出， 函数和的图象交于点， 把代入， 得，解得； 【小问3详解】 解：函数与轴的交点为， 与轴的交点为， 这两个交点之间的距离为， ， 函数和的图象与轴围成的几何图形的面积为：． 22. 加强劳动教育，落实五育并举．某校准备在校内建立劳动实践基地，现对其果蔬栽培区建设拟定相关设备采购方案． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 根据劳动实践基地管理制度相关要求，结合安全性能、果蔬栽培架质量、性价比等多方面考虑，综合多家招标公司监督公开比较，规范严谨选择供货单位．现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架，便于学生认领并体验自己所选蔬果的种植栽培全过程． 素材二 若购买甲种栽培架12个、乙种栽培架7个，共需资金747元；若购买甲种栽培架6个，乙种栽培架3个，共需资金351元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）请你求出甲、乙两种栽培架的单价； 任务二 （2）若该校计划购进这两种规格的栽培架共140个，且乙种栽培架的数量不少于56个，设购买这批栽培架所需费用为w元，甲种栽培架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）甲种栽培架单价为36元，乙种栽培架单价为45元；（2）当购买甲种栽培架84个，乙种栽培架56个时，所需费用最少，最少费用为5544元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一次函数应用，读懂题意、列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由乙种花架的数量不少于56个可得，而，然后根据一次函数性质即可解答． 【详解】解：设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元， 根据题意得：，解得：， 答：甲种栽培架单价为36元，乙种栽培架单价为45元； （2）∵甲种花架购买a个， ∴乙种花架购买个， ∵乙种花架的数量不少于56个， ∴，解得：， 根据题意得：， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，，w取最小值，最小值为， ∴当购买甲种栽培架84个，乙种栽培架56个时，所需费用最少，最少费用为5544元． 23. 如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． （1）求证：四边形 是矩形； （2）在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）存在最小值，的最小值为 （3）D的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查四边形综合应用，坐标与图形，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用勾股定理逆定理证明，根据三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）连接，可得，故当最小时，最小，此时，用面积法可得答案； （3）过A作于K，求出点A的坐标，设，而，分三种情况：①若为对角线；②若为对角线；若为对角线，分别解方程组可得D的坐标为即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在点P的运动过程中，的长存在最小值，理由如下： 连接，如图： 由（1）知，四边形是矩形， ， ∴当最小时，最小，此时， ∴， ， ∴的最小值为； 小问3详解】 过A作于K，如图： 同（2）可知， ， ， 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ②若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ③若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； 综上所述，D的坐标为或或． 24. 小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． （2）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______． （3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②直接写出四边形的面积． 【答案】（1）菱形、正方形 （2） （3）①见解析；②130 【解析】 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）①连接，证出，由证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可；②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【小问1详解】 ∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形； 故答案为：菱形、正方形； 【小问2详解】 如图1所示： ∵四边形的面积=的面积+的面积 =； 故答案为：； 【小问3详解】 ①证明：连接交于N，交于M，如图2所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； ②∵ ∴ ∴， 在中， ∴， ∵四边形为垂美四边形， ∴四边形面积 【点睛】本题考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 （时间:120分钟;满分:120 分） 一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求) 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上点A，B分别对应的数是1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点M对应的数是（ ） A. 52 B. C. D. 5. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. C. 直线过点 D. 与坐标轴围成的三角形面积为2 6. 若且，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而增大 B. C. 当时， D. 关于，的方程组的解为 9. 如图，将菱形绕其对角线交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. －的立方根是______． 12. 已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是_____． 13. 实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ______． 14. 如图，在四边形中，，连接，点、、、分别为、、、的中点，若，，则四边形的周长为_______． 15. 在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为__________________cm3． 16. 如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为______． 三、解答题(本题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： （1） （2） 18. 解不等式组 ，并写出它的所有整数解． 19. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为：、、．线段的端点坐标为，． （1）线段先向　　　平移　　　个单位，再向　　　平移　　　个单位与线段重合； （2）将绕点旋转后得到，使的对应边为，直接写出点的坐标，并画出； （3）求点在旋转过程中所经过的路径的长． 21. 如图，已知函数：和的图象交于点P，点P的横坐标为1． （1）观察图象，直接写出不等式的解集； （2）求a的值． （3）求出函数和图象与轴围成的几何图形的面积． 22. 加强劳动教育，落实五育并举．某校准备在校内建立劳动实践基地，现对其果蔬栽培区建设拟定相关设备采购方案． 生活中数学：如何设计合理的采购方案 素材一 根据劳动实践基地管理制度相关要求，结合安全性能、果蔬栽培架质量、性价比等多方面考虑，综合多家招标公司监督公开比较，规范严谨选择供货单位．现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架，便于学生认领并体验自己所选蔬果的种植栽培全过程． 素材二 若购买甲种栽培架12个、乙种栽培架7个，共需资金747元；若购买甲种栽培架6个，乙种栽培架3个，共需资金351元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）请你求出甲、乙两种栽培架的单价； 任务二 （2）若该校计划购进这两种规格的栽培架共140个，且乙种栽培架的数量不少于56个，设购买这批栽培架所需费用为w元，甲种栽培架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 23. 如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． （1）求证：四边形 是矩形； （2）在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 24. 小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． （2）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______． （3）问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$