第18章 分式 章测综合练习-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元综合练（人教版2024）

第十八章 分式 章测综合练习 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分） 1.［2025 吉林长春质检］将分式 �+� �2+�2 中�与� 的值同时扩大 2倍，则分式的值 ( ) A.扩大 2倍 B.缩小为原来的1 2 C.不变 D.无法确定 解析：将分式 �+� �2+�2 中�与� 的值同时扩大 2倍可得 2�+2� (2�)2+(2�)2 = 2(�+�) 4(�2+�2) = �+� 2(�2+�2) ，即分式的值缩小为原来的 1 2 .故选 B. 2.［2025 山东威海中考］据央视网 2023 年 10 月 11 日消息，中国科学技术大学中国科学院量 子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了 255 个光 子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世 界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万 分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的 时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为( ) A.1 × 10−5 B.1 × 10−6 C.1 × 10−7 D.1 × 10−8 解析：百万分之一= 1 1 000 000 = 0.000 001 = 1 × 10−6 .故选 B. 3.［2025 山东东营期中］下列结论：①无论�为何值， � �2+1 都有意义；②当� =− 1 时，分式 �+1 �2−1 的值为 0；③若 �2+1 �−1 的值为负数，则�的取值范围是� < 1 ；④若�+1 �+2 ÷ �+1 � 有意义，则�的取值 范围是� ≠− 2且� ≠ 0 .其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：① ∵ �2 ≥ 0，∴ �2 + 1 ≥ 1 ≠ 0，∴ 无论�为何值, � �2+1 都有意义，故①正确；② ∵ 当� =− 1 时，�2 − 1 = 1 − 1 = 0，∴ 此时分式无意义，故②错误；③ ∵ � 2+1 �−1 的值为负数，且�2 + 1 > 0, ∴ � − 1 < 0,∴ � < 1 ，故③正确；④ ∵ �+1 �+2 ÷ �+1 � 有意义，∴ � + 2 ≠ 0, � ≠ 0, � + 1 ≠ 0, 解得� ≠− 2且� ≠ 0且 70/75 第十八章 分式 � ≠− 1 ，故④错误.综上所述，其中正确的个数是 2.故选 B. 4.［2025 河北邯郸调研］根据分式的基本性质，可以将分式� = � 2−2�+1 �2−1 （�为整数）进行如 下变形：� = � 2−2�+1 �2−1 = �−1 �+1 = (�+1)−2 �+1 = 1 − 2 �+1 ，其中� 为整数.有以下结论： 结论Ⅰ：依据变形结果可知，� 的值可以为 0； 结论Ⅱ：若使�的值为整数，则� 的值有 3个. 下列说法正确的是( ) A.Ⅰ和Ⅱ都正确 B.Ⅰ和Ⅱ都错误 C.Ⅰ错误,Ⅱ正确 D.Ⅰ正确,Ⅱ错误 解析：∵ �2 − 1 ≠ 0，∴ � ≠± 1，∴ � = 1 − 2 �+1 ≠ 0 ，故结论Ⅰ错误.由题意可知，若使� 的值为整数，则�+ 1 = 1，2，−1，−2,∴ � = 0，1，−2，−3 .又∵ � ≠± 1,∴ � = 0，−2， −3 ，共 3个，故结论Ⅱ正确.故选 C. 5.［2025 安徽合肥期末，中］对于两个不相等的实数�，�，规定：max(�, �) 表示�，�中的较 大值，如 max(2,4) = 4.按照这个规定，方程 max( − 1 � ， 1 � ) = 2 3−� 的解为 ( ) A.� =− 3 B.� = 3 C.� = 1或� =− 3 D.� = 1或� = 3 解析：当� > 0时，max( − 1 � ， 1 � ) = 1 � = 2 3−� ，∴ 1 � = 2 3−� ，去分母得 3 − � = 2� ，解得� = 1， 经检验，� = 1是分式方程的解，且满足题意；当� < 0 时，max( − 1 � ， 1 � ) =− 1 � = 2 3−� ，∴− 1 � = 2 3−� ， 去分母得−(3 − �) = 2�，解得� =− 3 ，经检验，� =− 3是分式方程的解，且满足题意，∴ � =− 3 或� = 1 .故选 C. 6.［2025 黑龙江哈尔滨质检］如图，若� 为正整数，则表示� 2+3� �3−� ⋅ �−1 3+� − (�−1 − 1) ÷ (�−1 + 1) 的值的点落在( ) A.段① B.段② C.段③ D.段④ 解析： �2+3� �3−� ⋅ �−1 3+� − (�−1 − 1) ÷ (�−1 + 1) = � 2+3� �3−� ⋅ �−1 3+� − 1−� � ÷ 1+� � = �(�+3) �(�−1)(�+1) ⋅ �−1 3+� − 1−� � ⋅ � 1+� = 71/75 第十八章 分式 1 �+1 − 1−� 1+� = � �+1 .∵ �为正整数，∴ 1 ≤ � < � + 1 ，∴ 1 2 ≤ � �+1 < 1，∴ 表示� 2+3� �3−� ⋅ �−1 3+� − (�−1 − 1) ÷ (�−1 + 1) 的值的点落在段②.故选 B. 7.［2025 福建泉州期中］已知 � 20−� 是一个整数的平方，则满足要求的正整数� 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：∵ �为正整数且 � 20−� 是一个整数的平方，∴ � > 0, � ≥ 20 − �, 20 − � > 0, ∴ 10 ≤ � < 20 ， 0 < 20 − � ≤ 10，∴ 1 ≤ � 20−� < 16,∴ � 20−� = 12或22或32，∴ � = 10 或 16 或 18.故选 C. 8.已知一列均不为 1的数�1，�2，�3，⋯ ，��满足如下关系：�2 = 1+�1 1−�1 ，�3 = 1+�2 1−�2 ，�4 = 1+�3 1−�3 ， ⋯ ,��+1 = 1+�� 1−�� ，若�1 = 2，则�2 023 的值是( ) A.− 1 2 B.1 3 C.−3 D.2 解析：∵ �1 = 2，∴ �2 = 1+�1 1−�1 = 1+2 1−2 =− 3，�3 = 1+�2 1−�2 = 1+(−3) 1−(−3) =− 1 2 ， �4 = 1+�3 1−�3 = 1+(−12) 1−(−12) = 1 3 ，�5 = 1+�4 1−�4 = 1+13 1−13 = 2，⋯ ，∴ 这列数按照 2，−3，− 1 2 ， 1 3 的循环规律 出现.∵ 2 023 ÷ 4 = 505⋯⋯3，∴ �2 023的值是− 1 2 ，故选 A. 9.［2025 河南洛阳期中］实数�,�,�,�满足� < �，−1 < � < �.若� = �+�� 1+� ，� = �+�� 1+� ，则 �与� 的大小关系是( ) A.� > � B.� = � C.� < � D.无法确定 解析：∵ � = �+�� 1+� = 1 1+� � + � 1+� �，� = �+�� 1+� = 1 1+� � + � 1+� � ， ∴ � − � = ( 1 1+� − 1 1+� )� + ( � 1+� − � 1+� )� = �−� (1+�)(1+�) � + �−� (1+�)(1+�) � = (�−�)(�−�) (1+�)(1+�) . ∵ � < �，−1 < � < �，∴ � − � > 0，1 + � > 0，1 + � > 0 ，� − � > 0,∴ (�−�)(�−�) (1+�)(1+�) > 0, ∴ � − � > 0,∴ � > � .故选 A. 72/75 第十八章 分式 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分） 10.［2025 山东青岛质检］青岛市某校为落实中小学生“十个一”项目行动计划，举办以“强 体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加了 3 000 米比赛项目，经过一段时间训练后， 比赛时小亮的平均速度比训练前提高了 25% ，少用 3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速 度为�米/分，那么� 满足的分式方程为 ____________________. 解析：依题意有 3 000 � − 3 000 (1+25%)� = 3.故答案为3 000 � − 3 000 (1+25%)� = 3 . 11.［2025 河北沧州期中］ （1）当� =_______时，关于�的方程 2 �−2 + �� �2−4 = 3 �+2 有增根； 解析：去分母，得 2(� + 2) + �� = 3(� − 2)，(� − 1)� =− 10. ∵ 分式方程有增根，∴ � =± 2， � ≠ 1.当� = 2时，代入(� − 1)� =− 10，得 2(� − 1) =− 10 ，解得� =− 4;当� =− 2时， 代入(� − 1)� =− 10,得−2(� − 1) =− 10 ，解得� = 6，∴ 当� =− 4或 6时，关于�的方程 2 �−2 + �� �2−4 = 3 �+2 有增根.故答案为−4 或 6. （2）若 5�−7 �2−4�−5 = � �+1 + � �−5 ，则 2� − � 的立方根为___. 解析：∵ � �+1 + � �−5 = �(�−5)+�(�+1) (�+1)(�−5) = (�+�)�−5�+� (�+1)(�−5) ， 5�−7 �2−4�−5 = 5�−7 (�+1)(�−5) ， ∴ 5� − 7 = (� + �)� − 5� + �，∴ � + � = 5，−5� + � =− 7，解得� = 2 ，� = 3， ∴ 2� − � = 4 − 3 = 1，∴ 2� − � 的立方根为 1.故答案为 1. 12.［2025 四川凉山州期末］已知三个实数�，�，�满足 �� �+� =− 2， �� �+� = 5 3 ， �� �+� =− 5 3 ， 则 ��� ��+��+�� = ____. 解析：∵ �� �+� =− 2， �� �+� = 5 3 ， �� �+� =− 5 3 ，∴ �+� �� =− 1 2 ，① �+� �� = 3 5 ，② �+� �� =− 3 5 ，③ 由①+②+③可得�+� �� + �+� �� + �+� �� =− 1 2 + 3 5 − 3 5 =− 1 2 ，∴ 2(��+��+��) ��� =− 1 2 ， ∴ ��+��+�� ��� =− 1 4 ，∴ ��� ��+��+�� =− 4.故答案为−4 . 73/75 第十八章 分式 三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分） 13.（1）［2025 湖南永州校级期中］计算：(π − 3.15)0 × ( − 1)2 023 − ( − 1 3 )−2 . 解：原式= 1 × ( − 1) − 9 =− 1 − 9 =− 10 . （2）解分式方程: 1 3 − 2 2�−1 = 1 6�−3 . 解：去分母得 2� − 1 − 6 = 1,解得� = 4 .经检验,� = 4 是原分式方程的解. 14.［2025 浙江义乌质检］ （1）若 � � = 3，求� 2+�2 �� 的值. 解：∵ � � = 3，∴ � = 3�，∴ � 2+�2 �� = (3�) 2+�2 3�⋅� = 9� 2+�2 3�2 = 10� 2 3�2 = 10 3 . （2）先化简分式(1 + 1 � ) ÷ � 2−1 � ，再从−1 ，0，1，2四个数中选一个恰当的数作为� 的值，代 入求值. 解：(1 + 1 � ) ÷ � 2−1 � = �+1 � ⋅ � (�+1)(�−1) = 1 �−1 .∵ 当� = 0，±1 时，原分式无意义， ∴ � = 2.当� = 2时，原式= 1 2−1 = 1 . 15.［2025 海南海口期中］已知关于�的方程 3 �+1 + 6 �−1 = �� (�+1)(�−1) . （1）若方程有增根，求� 的值； 解：去分母得 3(� − 1) + 6(� + 1) = ��，去括号，得 3� − 3 + 6� + 6 = �� ，移项、合并同 类项，得(� − 9)� = 3 .若分式方程有增根，则� =± 1且� ≠ 9 . 当� =− 1时,代入(� − 9)� = 3,得 9 −� = 3，解得� = 6； 当� = 1 时，代入(� − 9)� = 3,得�− 9 = 3，解得� = 12. ∴ � 的值为 6或 12. （2）若方程无解，求� 的值； 解：∵ (� − 9)� = 3，∴ 当�− 9 = 0时，原分式方程无解，此时� = 9 ；由（1） 74/75 第十八章 分式 知当� = 6或 12 时，原分式方程有增根，则原分式方程无解.∴ � 的值为 6或 9或 12. （3）若方程的解为整数，求整数� 的值. 解：∵ (� − 9)� = 3，且分式方程有解，∴ � = 3 �−9 ,且� ≠± 1,∴ � − 9 ≠± 3 .又 ∵ 方程的解为整数，�为整数，∴ � − 9 =± 1.当�− 9 = 1时，� = 10 ； 当�− 9 =− 1时，� = 8，∴ � = 8 或 10. 16.［2025 黄石期末］一辆汽车开往距离出发地 180 km的目的地,出发后 1 h 内按原计划的 速度匀速行驶，1 h 后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 min 到达目的地. （1）求汽车实际走完全程所花的时间. 解：设出发后 1 h内行驶的速度为� km/h，则 1 h后行驶的速度为 1.5� km/h .根据题意得 180−� � − 180−� 1.5� = 40 60 ，解得� = 60，经检验,� = 60 是所列方程的解，且符合题意， ∴ 180 � − 40 60 = 3 − 2 3 = 7 3 . 答:汽车实际走完全程所花的时间为 7 3 h . （2）汽车按原路返回时，若司机一半路程以� km/h 的速度行驶，另一半路程以� km/h的速 度行驶(� ≠ �)，则用时�1 h;若司机一半时间以� km/h 的速度行驶，另一半时间以� km/h的 速度行驶，则用时�2 h，请比较�1，�2 的大小，并说明理由. 解：�1 > �2.理由如下：由题意得，�1 = 90 � + 90 � = 90(�+�) �� ，�2 = 2 × 180 �+� = 360 �+� ， 则�1 − �2 = 90(�+�) �� − 360 �+� = 90(�+�) 2−360�� ��(�+�) = 90(�−�) 2 ��(�+�) .∵ �，�均为正数，且� ≠ � ， ∴ (� − �)2 > 0，��(� + �) > 0，∴ 90(�−�) 2 ��(�+�) > 0，即90(�+�) �� − 360 �+� > 0，∴ �1 > �2 . 75/75 第十八章 分式 章测综合练习 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分） 1.［2025 吉林长春质检］将分式 �+� �2+�2 中�与� 的值同时扩大 2倍，则分式的值 ( ) A.扩大 2倍 B.缩小为原来的1 2 C.不变 D.无法确定 2.［2025 山东威海中考］据央视网 2023 年 10 月 11 日消息，中国科学技术大学中国科学院量 子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了 255 个光 子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世 界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万 分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的 时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为( ) A.1 × 10−5 B.1 × 10−6 C.1 × 10−7 D.1 × 10−8 3.［2025 山东东营期中］下列结论：①无论�为何值， � �2+1 都有意义；②当� =− 1 时，分式 �+1 �2−1 的值为 0；③若 �2+1 �−1 的值为负数，则�的取值范围是� < 1 ；④若�+1 �+2 ÷ �+1 � 有意义，则�的取值 范围是� ≠− 2且� ≠ 0 .其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.［2025 河北邯郸调研］根据分式的基本性质，可以将分式� = � 2−2�+1 �2−1 （�为整数）进行如 下变形：� = � 2−2�+1 �2−1 = �−1 �+1 = (�+1)−2 �+1 = 1 − 2 �+1 ，其中� 为整数.有以下结论： 结论Ⅰ：依据变形结果可知，� 的值可以为 0； 结论Ⅱ：若使�的值为整数，则� 的值有 3个. 下列说法正确的是( ) A.Ⅰ和Ⅱ都正确 B.Ⅰ和Ⅱ都错误 C.Ⅰ错误,Ⅱ正确 D.Ⅰ正确,Ⅱ错误 41/44 第十八章 分式 5.［2025 安徽合肥期末，中］对于两个不相等的实数�，�，规定：max(�, �) 表示�，�中的较 大值，如 max(2,4) = 4.按照这个规定，方程 max( − 1 � ， 1 � ) = 2 3−� 的解为 ( ) A.� =− 3 B.� = 3 C.� = 1或� =− 3 D.� = 1或� = 3 6.［2025 黑龙江哈尔滨质检］如图，若� 为正整数，则表示� 2+3� �3−� ⋅ �−1 3+� − (�−1 − 1) ÷ (�−1 + 1) 的值的点落在( ) A.段① B.段② C.段③ D.段④ 7.［2025 福建泉州期中］已知 � 20−� 是一个整数的平方，则满足要求的正整数� 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知一列均不为 1的数�1，�2，�3，⋯ ，��满足如下关系：�2 = 1+�1 1−�1 ，�3 = 1+�2 1−�2 ，�4 = 1+�3 1−�3 ， ⋯ ,��+1 = 1+�� 1−�� ，若�1 = 2，则�2 023 的值是( ) A.− 1 2 B.1 3 C.−3 D.2 9.［2025 河南洛阳期中］实数�,�,�,�满足� < �，−1 < � < �.若� = �+�� 1+� ，� = �+�� 1+� ，则 �与� 的大小关系是( ) A.� > � B.� = � C.� < � D.无法确定 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分） 10.［2025 山东青岛质检］青岛市某校为落实中小学生“十个一”项目行动计划，举办以“强 体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加了 3 000 米比赛项目，经过一段时间训练后， 比赛时小亮的平均速度比训练前提高了 25% ，少用 3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速 度为�米/分，那么� 满足的分式方程为 ____________________. 42/44 第十八章 分式 11.［2025 河北沧州期中］ （1）当� =_______时，关于�的方程 2 �−2 + �� �2−4 = 3 �+2 有增根； （2）若 5�−7 �2−4�−5 = � �+1 + � �−5 ，则 2� − � 的立方根为___. 12.［2025 四川凉山州期末］已知三个实数�，�，�满足 �� �+� =− 2， �� �+� = 5 3 ， �� �+� =− 5 3 ， 则 ��� ��+��+�� = ____. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分） 13.（1）［2025 湖南永州校级期中］计算：(π − 3.15)0 × ( − 1)2 023 − ( − 1 3 )−2 . （2）解分式方程: 1 3 − 2 2�−1 = 1 6�−3 . 14.［2025 浙江义乌质检］ （1）若 � � = 3，求� 2+�2 �� 的值. （2）先化简分式(1 + 1 � ) ÷ � 2−1 � ，再从−1 ，0，1，2四个数中选一个恰当的数作为� 的值，代 入求值. 43/44 第十八章 分式 15.［2025 海南海口期中］已知关于�的方程 3 �+1 + 6 �−1 = �� (�+1)(�−1) . （1）若方程有增根，求� 的值； （2）若方程无解，求� 的值； （3）若方程的解为整数，求整数� 的值. 16.［2025 黄石期末］一辆汽车开往距离出发地 180 km的目的地,出发后 1 h 内按原计划的 速度匀速行驶，1 h 后以原来速度的 1.5 倍匀速行驶，并比原计划提前 40 min 到达目的地. （1）求汽车实际走完全程所花的时间. （2）汽车按原路返回时，若司机一半路程以� km/h 的速度行驶，另一半路程以� km/h的速 度行驶(� ≠ �)，则用时�1 h;若司机一半时间以� km/h 的速度行驶，另一半时间以� km/h的 速度行驶，则用时�2 h，请比较�1，�2 的大小，并说明理由. 44/44