第17章 因式分解 章测综合练习-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元综合练（人教版2024）

第十七章 因式分解 章测综合练习 一，选择题 1.［2025 江苏无锡惠山区期中］下列分解因式正确的是( ) A.−2�2 + 4� =− 2�(� + 2) B.�2 + �� + � = �(� + �) C.�(� − �) − �(� − �) = (� − �)2 D.�2 + 6� − 9 = (� − 3)2 2.［2025 安徽安庆质检］多项式�2� + 4�2�2 − 2�3�2� 各项的公因式是( ) A.2�2�2� B.2�2� C.�2� D.4�3�2� 3.已知�2 + �2 = 25，�� = 12，则�3� −��3 的值为( ) A.−84 B.84 C.±84 D.300 4.若�为任意整数，则(2� + 3)2 − 4�2 的值总能( ) A.被 2 整除 B.被 3 整除 C.被 5 整除 D.被 7 整除 5.［2025 浙江宁波镇海区质检］若关于�的不等式组 � + � ≤ 4, � 2 − �−1 4 > 1 有解且至多有 4个整数解， 且多项式�2 − (1 −�)能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数� 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.已知�2 − 2�− 2011 = 0，则�3 −�2 − 2013� − 2014 =____. 7.［2025 黑龙江哈尔滨期中］我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推 理验证.观察图（1），�2 − 1 = �(� − 1) + (� − 1) = (� − 1)(� + 1).接下来，观 察图（2），通过类比思考，因式分解:�3 − 1 =___________________. 图（1） 图（2） 37/44 第十七章 因式分解 8.［2025 广东深圳校级模拟］定义：任意两个数�，�，按规则� = � + � − ��扩充得到数�， 称所得的数�为“鸿蒙数”.若� = 2，� = �2 − 2� + 2，�为由�,�扩充得到的“鸿蒙数”，则�, �的大小关系为�___�． 三、解答题 9.把下列各式分解因式： （1）��3 − 16��； （2）(2� − 3�)2 − 2�(2� − 3�) + �2； （3）(�2 + 1)2 − 4�2. 10.［2025 河北秦皇岛期末］如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是 边长都为�cm的大正方形，两块是边长都为�cm的小正方形，五块是长为�cm，宽为�cm的 小长方形(� > �)． （1）观察图形，可以发现代数式 2�2 + 5�� + 2�2可以因式分解为_____________________ （2）若每块小长方形的面积为 10cm2，两块大正方形和两块小正方形的面积和为 58cm2. ①试求�+ �的值. ②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为____________cm．（直接写出结果） 38/44 第十七章因式分解 章测综合练习 一，选择题 1.[2025江苏无锡惠山区期中]下列分解因式正确的是() A.-2x2+4x=-2x(x+2) B.x2+xy+x=x(x+y) C.x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2 D.x2+6x-9=(x-3)2 解析： A -2x2+4x=-2x(x-2)≠-2x(x+2) B x2+xy+x=x(x+y+1)#x(x+y) x(x-y)-yx-y)）=(x-y)x-y)=(x-y)2 D x2+6x-9≠(x-3)2 2.[2025安徽安庆质检]多项式a2b+4a2b2-2a3b2c各项的公因式是() A.2a2b2c B.2a2b C.a2b D.4a3b2c 解析： 定系数 1.4.-2的最大 公因数为1 定 定字母 三项都含有的 确定公 因 字母为a,b 因式为a 定指数 a的最低次数为2， b的最低次数为1 故选C. 3.已知m2+n2=25,mn=12,则m3n-mm3的值为() A.-84 B.84 C.±84 D.300 63/75 第十七章因试分解 解析：×m2+n2=25,mn=12, (m-n)2=m2+n2-2mn=25-2×12=1, (m+n)2=m2+n2+2mn=25+2×12=49,m-n=±1，m+n=±7. 当m-n=1,m+n=7时， m3n-mm3=mn(m2-n2)=mn(m+n)(m-n)=12×7×1=84: 当m-n=1,m+n=-7时， m3n-mn3=mn(m2-n2)=mn(m+n)(m-n)=12×(-7)×1=-84: 当m-n=-1,m+n=7时， m3n-mn3=mn(m2-n2=mn(m+n)(m-n)=12×7×(-1)=-84: 当m-n=-1,m+n=-7时， m3n-mn3=mn(m2-n2)=mn(m+n)(m-n)=12×(-7)×(-1)=84.故选C. 4.若k为任意整数，则(2k+3)2-4k2的值总能() A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 解析：(2k+3)2-4k2=(2k+3)2-(2k)2=(2k+3+2k)·(2k+3-2k)=3(4k+3), k为任意整数，·其值总能被3整除.故选B. 5.[2025浙江宁该镇海区质检]若关于的不等式组号>1 (X+m≤4， 有解且至多有4个整数解， 2 且多项式x2-(1-m)能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数m的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 [X+m≤4， 解析：~不等式组 -是1有解，3<x≤4-m:不等式组 x+m≤4， x--2>1 4 2-4 有解且至多有4个整数解，3<4-m<8,解得-4<m<1,0<1-m<5. 又：多项式x2-(1-m)能在有理数范围内因式分解，.1-m=4或1-m=1, .符合条件的整数m的值为-3,0，即符合条件的整数m的个数为2.故选B. 二、填空题 6.已知m2-2m-2011=0,则m3-m2-2013m-2014=一 64/75 第十七章因式分解 解析：~m2-2m-2011=0,m(m-2)=2011.m3-m2-2013m-2014 =m3-m2-m2+m2-2013m-2014=m3-2m2+m2-2013m-2014=m2(m-2)+ m(m-2013)-2014=m2(m-2)+m(m-2-2011)-2014=m2(m-2)+m(m-2)- 2011m-2014.把m(m-2)=2011代入上式， 得原式=2011m+2011-2011m-2014=-3.故答案为-3. 7.[2025黑龙江哈尔滨期中]我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推 理验证.观察图（1)，a2-1=a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a+1).接下来，观 察图(2)，通过类比思考，因式分解：a3-1= a-l -1 - a- 2 图(1) 图(2) 解：(a-1)(a2+a+1) 解析：将题图(2)分成三个长方体，可得体积为a×a×(a-1)+1×1×(a-1)+1×a× (a-1)=a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)=(a-1)(a2+a+1),a3-1=(a-1)(a2+a+ 1).故答案为(a-1)(a2+a+1). 8.[2025广东深圳校级模拟]定义：任意两个数a,b,按规则c=a+b-ab扩充得到数c, 称所得的数c为“鸿蒙数”.若a=2,b=x2-2x+2,c为由a,b扩充得到的“鸿蒙数”，则b, c的大小关系为bc. 解析：由题意得，当a=2,b=x2-2x+2时，c=a+b-ab=2+(x2-2x+2)-2(x2- 2x+2)=2+x2-2x+2-2x2+4x-4=-x2+2x, b-c=(x2-2x+2)-（-x2+2x)=x2-2x+2+x2-2x=2x2-4x+2=2(x2- 2x+1)=2(x-1)2≥0，·b≥c.故答案为≥. 65/75 第十七章因试分解 三、解答题 9.把下列各式分解因式： （1)ax3-16ax; 解：原式=ax(x2-16)=ax(x+4)(x-4) (2)(2x-3y)2-2x(2x-3y)+x2; 解：原式=(2x-3y-x)2=(x-3y)2. (3)(m2+1)2-4m2 解：原式=(m2+1+2m)(m2+1-2m)=(m+1)2(m-1)2. 10.[2025河北秦皇岛期末]如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是 边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长为mcm,宽为ncm的 小长方形(m>n). nn m (1)观察图形，可以发现代数式2m2+5n+2n2可以因式分解为 解：由图形可知，2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n).故答案为(2m+n)(m+2m. (2)若每块小长方形的面积为10cm2,两块大正方形和两块小正方形的面积和为58cm2. ①试求m+n的值， 解：依题意得，2m2+2n2=58,mm=10,÷m2+n2=29, ÷(m+n)2=m2+n2+2mn=29+20=49. m+n>0,÷m+n=7 ②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为 cm. (直接写出结果) 解：所有裁剪线长之和为7×6=42(am).故答案为42 66/75