第13章 三角形 章测综合练习-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元综合练（人教版2024）

第十三章 三角形 全章综合训练 章测综合练习 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1.［2025 福建福州校级期中］有两个角互余的三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2.［2025 天津宁河区质检］图中以 AB 为边的三角形的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.［2025 黑龙江哈尔滨期中］如图，AD，CE 是△ABC 的高，AB=5，BC=4，AD=3，则 CE= ( ) A.20 3 B.10 C.12 5 D.6 4.［2025 山东临沂质检］如图，已知数轴上点 A，B，C，D 对应的数字分别为−1 ，1，x，7， 点 C 在线段 BD 上且不与端点重合，若线段 AB，BC，CD 能围成三角形，则 x 可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6/44 第十三章 三角形 全章综合训练 5.［2025 天津南开区期中］如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是边 AC，BD，CE 的中点，且 阴影部分的面积为 7，则△ABC 的面积为( ) A.14 B.21 C.28 D.32 6.［2025 江苏苏州期中］如图，把三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内 部时，∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变,这种数量关系为( ) A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2) 7.如图，在△ABC 中，O 是三个内角的平分线的交点，过点 O 作∠ODC=∠AOC，交边 BC 于 点 D 若∠ABC=n∘ ，则∠BOD 的度数为( ) A.90∘ + 1 2 n∘ B.45∘ + 1 2 n∘ C.90∘ − 1 2 n∘ D.90∘ 7/44 第十三章 三角形 全章综合训练 8.［2025 江西赣州期中］平面内 A，B，C，D，E，F 六点构成如图所示的图形，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于( ) A.180∘ B.360∘ C.540∘ D.720∘ 9.［2025 安徽滁州期中］在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ；②∠A:∠B:∠C=1:2:3； ③∠A=90∘ −∠B；④∠A=∠B=2∠C ；⑤∠A=2∠B=3∠C，能确定△ABC 是直角三角形的 条件有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 10.［2025 重庆开州区期中］已知点 O 为△ABC 内任意一点，设 OA+OB+OC=S1，AB+BC+AC=S2 ，则下列关系正确的是( ) A.S2≥2S1 B.S2>2S1 C.S2<2S1≤2S2 D.S2<2S1<2S2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 11.［2025 浙江杭州期中］王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图所示，要使这个木架 不变形，他至少要再钉上木条的根数为___. 12.已知△ABC 的三边长为 a,b,c，化简|a+b−c|−|b−a−c| 的结果是________. 8/44 第十三章 三角形 全章综合训练 13.如图，在△ABC 中，∠B=50∘ ，∠C=40∘ ，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 E 是 AC 边上的一个动点，当△ADE 是钝角三角形时，∠ADE 的取值范围是_____________________ __________________________. 14.如图，在平面直角坐标系中，点 B(0,m)，点 C(n,m)，其中 m>0，n<0 ，点 A 是 x 轴负半轴 上一点，点 P 是在直线 CB 与直线 AO 之间的一点，连接 BP,OP.BN 平分∠CBP，ON 平分∠AOP， BN 交 ON 于 N，则∠BPO 与∠BNO 之间满足的数量关系为_____________________________ ___________. 三、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分） 15.［2025 吉林长春期末］图（1）、图（2）、图（3）均是 4×4 的正方形网格，每个小正方形 的边长均为 1，小正方形的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺， 在给定的网格中，按下列要求以 AB 为边画△ABC .要求： （1）在图（1）中画一个直角三角形，在图（2）中画一个锐角三角形，在图（3）中画一个钝 角三角形. （2）点 C 在格点上. 图（1） 图（2） 图（3） 9/44 第十三章 三角形 全章综合训练 16.［2025 江苏南京建邺区校级期末］如图，在△ABC 中，∠B=35∘ ，点 D 在 BC 上， ∠BAC=∠ADC，点 E 在 AB 上，连接 AD,DE . （1）若 DE//AC，求∠ADE 的度数. （2）当∠BED 的度数是 _________时，△BDE 是直角三角形. 10/44 第十三章 三角形 全章综合训练 17.［2025 河北邯郸期末］在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，点 E 是线段 AC 上的 动点（不与点 D 重合），过点 E 作 EF//BC 交射线 BD 于点 F，∠CEF 的平分线所在直线与射 线 BD 交于点 G . 备用图 （1）如图，点 E 在线段 AD 上运动时, ①若∠ABC=40∘ ，∠C=60∘ ，则∠A 的度数是____,∠EFB 的度数是____. ②猜想∠BGE 与∠A 之间的数量关系，并说明理由. （2）若点 E 在线段 DC 上运动时，请直接写出∠BGE 与∠A 之间的数量关系. 11/44 第十三章 三角形 全章综合训练 章测综合练习 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1.［2025 福建福州校级期中］有两个角互余的三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析：有两个角互余的三角形是直角三角形.故选 B. 2.［2025 天津宁河区质检］图中以 AB 为边的三角形的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析：题图中以 AB 为边的三角形有△ABD，△ABE，△ABC ,共 3 个.故选 B. 3.［2025 黑龙江哈尔滨期中］如图，AD，CE 是△ABC 的高，AB=5，BC=4，AD=3，则 CE= ( ) A.20 3 B.10 C.12 5 D.6 解析：∵S△ABC= 1 2 AB⋅ CE= 1 2 BC⋅ AD ，∴CE= BC⋅ AD AB = 4×3 5 = 12 5 ，故选 C. 4.［2025 山东临沂质检］如图，已知数轴上点 A，B，C，D 对应的数字分别为−1 ，1，x，7， 点 C 在线段 BD 上且不与端点重合，若线段 AB，BC，CD 能围成三角形，则 x 可能是( ) 8/75 第十三章 三角形 全章综合训练 A.2 B.3 C.4 D.5 解析：由题图得 AB=1−(−1)=2，BC=x−1，CD=7−x.∵ 线段 AB ，BC，CD 能围成三角形，∴ 由三角形三边关系得 &x−1+7−x>2,① &2+x−1>7−x,② &2+7−x>x−1,③ 不等式①恒成立，解不等式②得 x>3，解不等式③得 x<5， ∴ 不等式组的解集是 3<x<5 .观察四个选项，只有 C 选项符合题意，故选 C. 5.［2025 天津南开区期中］如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是边 AC，BD，CE 的中点，且 阴影部分的面积为 7，则△ABC 的面积为( ) A.14 B.21 C.28 D.32 解析：∵F 是 CE 的中点，∴S△ACE=2S△AEF=2×7=14.∵E 是 BD 的中点，∴S△ADE= 1 2 S△ABD， S△CDE= 1 2 S△CBD， ∴S△CDE+S△ADE= 1 2 S△CBD+ 1 2 S△ABD= 1 2 (S△CBD+S△ABD)= 1 2 S△ABC.∵S△ADE+S△CDE=S△ACE=14 ， ∴S△ABC=2(S△ADE+S△CDE)=28 ，故选 C. 6.［2025 江苏苏州期中］如图，把三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内 部时，∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变,这种数量关系为( ) A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2) 解析：∵∠1=180∘ −∠AEA'，∠2=180∘ −∠ADA'， 9/75 第十三章 三角形 全章综合训练 ∴∠1+∠2=180∘ −∠AEA'+180∘ −∠ADA'=360∘ −(∠AEA'+∠ADA').∵∠A+∠A'=360∘ −(∠AEA'+∠ADA') ，∴∠A+∠A'=∠1+∠2.∵∠A=∠A'，∴2∠A=∠1+∠2 ，故选 B. 7.如图，在△ABC 中，O 是三个内角的平分线的交点，过点 O 作∠ODC=∠AOC，交边 BC 于 点 D 若∠ABC=n∘ ，则∠BOD 的度数为( ) A.90∘ + 1 2 n∘ B.45∘ + 1 2 n∘ C.90∘ − 1 2 n∘ D.90∘ 8.［2025 江西赣州期中］平面内 A，B，C，D，E，F 六点构成如图所示的图形，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于( ) A.180∘ B.360∘ C.540∘ D.720∘ 解析：如图所示，连接 AH,设 AC 与 BE 交于点 G .由三角形外角性质可知∠AGH=∠C+∠E， ∠FHG=∠B+∠D.∵∠FAG=∠FAH+∠GAH ，∠FHG=∠FHA+∠GHA.在△AGH 中， ∠AGH+∠GHA+∠HAG=180∘ ；在△AFH 中，∠F+∠FHA+∠HAF=180∘ , ∴∠F+∠FAG+∠AGH+∠FHG=360∘ ，∴∠FAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360∘ ， 故选 B. 10/75 第十三章 三角形 全章综合训练 9.［2025 安徽滁州期中］在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ；②∠A:∠B:∠C=1:2:3； ③∠A=90∘ −∠B；④∠A=∠B=2∠C ；⑤∠A=2∠B=3∠C，能确定△ABC 是直角三角形的 条件有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 解析：① &∠A+∠B=∠C, &∠A+∠B+∠C=180∘ , ∴2∠C=180∘ ，∴∠C=90∘ ，∴△ABC 是直角三角形.② 由条件可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x.∵∠A+∠B+∠C=180∘ ， ∴x+2x+3x=6x=180∘ ，∴x=30∘ ，∴∠C=3x=90∘ ，∴△ABC 是直角三角 形.③∵∠A=90∘ −∠B，∴∠A+∠B=90∘ ，∴∠C=180∘ −(∠A+∠B)=180∘ −90∘ =90∘ ， ∴△ABC 是直角三角形.④由∠A=∠B=2∠C，设∠C=x，∠A=∠B=2x. ∵∠A+∠B+∠C=180∘ ，∴2x+2x+x=5x=180∘ ，∴x=36∘ ， ∴∠A=∠B=2x=72∘ ，∠C=x=36∘ ，∴△ABC 不是直角三角形. ⑤由条件可知∠B= 1 2 ∠A，∠C= 1 3 ∠A.∵∠A+∠B+∠C=180∘ ， ∴∠A+ 1 2 ∠A+ 1 3 ∠A= 11 6 ∠A=180∘ ，∴∠A= 1 080 ∘ 11 > 990 ∘ 11 =90∘ ， ∴△ABC 不是直角三角形.综上，能确定△ABC 是直角三角形的条件有①②③，共 3 个， 故选 B. 10.［2025 重庆开州区期中］已知点 O 为△ABC 内任意一点，设 OA+OB+OC=S1，AB+BC+AC=S2 ，则下列关系正确的是( ) 11/75 第十三章 三角形 全章综合训练 A.S2≥2S1 B.S2>2S1 C.S2<2S1≤2S2 D.S2<2S1<2S2 解析：如图， ∵OA+OB>AB，OB+OC>BC ， OC+OA>AC，∴2(OA+OB+OC)>AB+BC+AC ，∴2S1>S2.延长 BO 交 AC 于点 G.∵AB+AG>BO+OG ，OG+GC>OC，∴AB+AC>OB+OC ，同理可得，AB+BC>OA+OC， AC+BC>OA+OB ，∴2(AB+BC+AC)>2(OA+OB+OC)，∴S2>S1，∴S2<2S1<2S2 .故选 D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 11.［2025 浙江杭州期中］王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图所示，要使这个木架 不变形，他至少要再钉上木条的根数为___. 解析：根据三角形具有稳定性可知，要使这个木架不变形，他至少要再钉上 1 根木条，故答案 为 1. 12.已知△ABC 的三边长为 a,b,c，化简|a+b−c|−|b−a−c| 的结果是________. 解析：∵△ABC 的三边长分别是 a,b,c，∴a+b>c，b−a<c ，∴a+b−c>0，b−a−c<0， ∴|a+b−c|−|b−a−c|=a+b−c−(−b+a+c)=a+b−c+b−a−c=2b−2c.故答案为 2b−2c . 13.如图，在△ABC 中，∠B=50∘ ，∠C=40∘ ，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 E 是 AC 边上的一个动点，当△ADE 是钝角三角形时，∠ADE 的取值范围是_____________________ __________________________. 12/75 第十三章 三角形 全章综合训练 答案： 0∘ <∠ADE<45∘ 或 90∘ <∠ADE≤95∘ 解析：∵∠B=50∘ ，∠C=40∘ ，∴∠BAC=180∘ −∠B−∠C=90∘ .∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAE=45∘ ，∴∠ADC=180∘ −∠DAE−∠C=95∘ .当∠ADE 是钝角时，90∘ <∠ADE≤95∘ . 当∠AED 是钝角时， ∠AED>90∘ .∵∠AED=180∘ −∠DAE−∠ADE=180∘ −45∘ −∠ADE=135∘ −∠ADE ， ∴135∘ −∠ADE>90∘ ，∴0∘ <∠ADE<45∘ .综上，0∘ <∠ADE<45∘ 或90∘ <∠ADE≤95∘ . 14.如图，在平面直角坐标系中，点 B(0,m)，点 C(n,m)，其中 m>0，n<0 ，点 A 是 x 轴负半轴 上一点，点 P 是在直线 CB 与直线 AO 之间的一点，连接 BP,OP.BN 平分∠CBP，ON 平分∠AOP， BN 交 ON 于 N，则∠BPO 与∠BNO 之间满足的数量关系为_____________________________ ___________. 答案：∠BNO+ 1 2 ∠BPO=180∘ 或∠BPO=2∠BNO 解析：①如图（1）,当点 P 在 OB 左侧时,∠BPO=2∠BNO.理由如下:在△BPO 中, ∠PBO+∠POB=180∘ −∠BPO.由题可知 BC//OA,BN 平分∠CBP,ON 平分∠AOP, ∴∠NBP+∠NOP= 1 2 (180∘ −∠PBO−∠POB). 13/75 第十三章 三角形 全章综合训练 在△NOB 中,∠BNO=180∘ −(∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB) =180∘ −[ 1 2 (180∘ −∠PBO−∠POB)+∠PBO+∠POB] =90∘ − 1 2 (∠PBO+∠POB) =90∘ − 1 2 (180∘ −∠BPO)= 1 2 ∠BPO , ∴∠BPO=2∠BNO 图（1） 图（2） ②如图（2）,当点 P 在 OB 右侧时,∠BNO+ 1 2 ∠BPO=180∘ .理由如下: ∵BC//OA, ∴ 易得∠CBP+∠AOP+∠BPO=360∘ .∵BN 平分∠CBP,ON 平分∠AOP, ∴∠PBN+∠PON+ 1 2 ∠BPO= 1 2 ×360∘ =180∘ ,∴∠PBN+∠PON=180∘ − 1 2 ∠BPO. 在四边形 BNOP 中,∠BNO=360∘ −∠PBN−∠PON−∠BPO =360∘ −(180∘ − 1 2 ∠BPO)−∠BPO=180∘ − 1 2 ∠BPO ,∴∠BNO+ 1 2 ∠BPO=180∘ . 综上，∠BPO 与∠BNO 之间的数量关系为∠BNO+ 1 2 ∠BPO=180∘ 或∠BPO=2∠BNO . 三、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分） 15.［2025 吉林长春期末］图（1）、图（2）、图（3）均是 4×4 的正方形网格，每个小正方形 的边长均为 1，小正方形的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺， 在给定的网格中，按下列要求以 AB 为边画△ABC .要求： （1）在图（1）中画一个直角三角形，在图（2）中画一个锐角三角形，在图（3）中画一个钝 角三角形. 14/75 第十三章 三角形 全章综合训练 （2）点 C 在格点上. 图（1） 图（2） 图（3） 解：如图所示.（答案不唯一） 图（1） 图（2） 图（3） 16.［2025 江苏南京建邺区校级期末］如图，在△ABC 中，∠B=35∘ ，点 D 在 BC 上， ∠BAC=∠ADC，点 E 在 AB 上，连接 AD,DE . （1）若 DE//AC，求∠ADE 的度数. 解：∠ADE=∠B=35∘ 解析：∵DE//AC，∴∠BED=∠BAC.∵∠BAC=∠ADC ，∴∠BED=∠ADC. ∵∠BED=∠EAD+∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠ADE=∠B=35∘ . （2）当∠BED 的度数是 _________时，△BDE 是直角三角形. 解析：当∠BED 的度数是90∘ 时，△BDE 是直角三角形.当∠BDE=90∘ ， 则∠BED=90∘ −35∘ =55∘ 时，△BDE 是直角三角形.综上,当∠BED 的度数是90∘ 或55∘ 时， △BDE 是直角三角形.故答案为90∘ 或55∘ . 15/75 第十三章 三角形 全章综合训练 17.［2025 河北邯郸期末］在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，点 E 是线段 AC 上的 动点（不与点 D 重合），过点 E 作 EF//BC 交射线 BD 于点 F，∠CEF 的平分线所在直线与射 线 BD 交于点 G . 备用图 （1）如图，点 E 在线段 AD 上运动时, ①若∠ABC=40∘ ，∠C=60∘ ，则∠A 的度数是____,∠EFB 的度数是____. 解：∵∠ABC=40∘ ，∠C=60∘ ，∴ 在△ABC 中， ∠A=180∘ −∠ABC−∠C=180∘ −40∘ −60∘ =80∘ .∵EF//BC ， ∴∠EFB=∠FBC.∵BD 平分∠ABC，∴∠FBC= 1 2 ∠ABC=20∘ ， ∴∠EFB=∠FBC=20∘ ，故答案为80∘ ,20∘ . ②猜想∠BGE 与∠A 之间的数量关系，并说明理由. 解：∠BGE=90∘ − 1 2 ∠A 解析：∠BGE=90∘ − 1 2 ∠A.理由:∵∠BGE 是△EGF 的一个外角， ∴∠BGE=∠EFG+∠FEG . ∵EF//BC，∴∠C=∠DEF.∵∠ABC+∠C=180∘ −∠A ， ∴∠ABC+∠DEF=180∘ −∠A.∵BD 平分∠ABC，EG 平分∠CEF ， ∴∠CBD= 1 2 ∠ABC，∠FEG= 1 2 ∠DEF， ∴∠CBD+∠FEG= 1 2 ∠ABC+ 1 2 ∠DEF= 1 2 ×(180∘ −∠A)=90∘ − 1 2 ∠A.∵EF//BC， ∴∠EFG=∠CBD，∴∠EFG+∠FEG=90∘ − 1 2 ∠A，∴∠BGE=90∘ − 1 2 ∠A . 16/75 第十三章 三角形 全章综合训练 （2）若点 E 在线段 DC 上运动时，请直接写出∠BGE 与∠A 之间的数量关系. 解：∠BGE=∠EHC−∠GBC= 180 ∘ −∠C 2 − 1 2 ∠ABC= 180 ∘ −∠C−∠ABC 2 = 1 2 ∠A 解析：∠BGE= 1 2 ∠A.如图,设∠CEF 的平分线与 BC 交于点 H . ∵EF//BC，∴∠FEH=∠EHC . ∵EH 是∠FEC 的平分线，∴∠FEH=∠HEC，∴∠HEC=∠EHC ， ∴∠EHC= 180 ∘ −∠C 2 .∵BG 平分∠ABC，∴∠GBC= 1 2 ∠ABC ， ∴∠BGE=∠EHC−∠GBC= 180 ∘ −∠C 2 − 1 2 ∠ABC= 180 ∘ −∠C−∠ABC 2 = 1 2 ∠A . 17/75