专题01 指数幂的拓展，指数幂的运算性质（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题01 指数幂的拓展，指数幂的运算性质 教学目标 1.理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。 2.掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 3.掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 教学重难点 1.重点：掌握无理数、实数指数幂的计算。 2.难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算. 知识点01 整数指数幂的概念及运算性质（重点） 1、 整数指数幂的概念 (1)= (2) 0 ; (3). 2、运算法则 (1) ; (2)； (3)； (4) . 【即学即练】 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 2．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：C 知识点02 根式的概念和运算法则（重点） 次方根的定义 若 ，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2.两个等式 （1）当且时，；（2） 【即学即练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，当时，无意义，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)2 (2) (3) 【解析】（1）原式. （2）原式 （3）原式 知识点03 分数指数幂的概念和运算法则（重难） 为避免讨论，我们约定，，，且互质，分数指数幂可如下定义： (1) ; (2) ; (3) 【即学即练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【解析】原式． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C．64 D． 【答案】D 【解析】． 知识点04 有理数指数幂的运算（重难） 1.有理数指数幂的运算性质 ，则有： （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 2．指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先进行指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质． 在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【即学即练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：． （2）已知，求． 【解析】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 2．（24-25高一上·全国·周测）（1）求值：. （2）设，且，求的值. 【解析】（1）      . （2）因为，且， 所以 . . 知识点05 无理数指数幂（重难） 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【注意事项】 无理数指数幂的两注意 (1)它是一个确定的实数；(2)它是有理数指数幂无限逼近的结果． 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) ； (2)1 ． 【解析】（1） ． （2）原式． 2．（24-25高一上·全国·周测）已知函数 (1)若，求的值； (2)若，求函数的最小值. 【解析】（1）因为，所以，对其两边平方得，即 （2），， 设，则，当且仅当时取等号；所以，所以，因为函数在时单调递增， 所以当即时，取最小值为 知识点06 实数指数幂的运算性质（难点） 将指数幂从整数指数幂拓展到实数指数幂后，有以下运算性质成立： 设，则 （1） ； （2） ； （3）. 【即学即练】 1．（2024秋·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）（1）化简：（其中）； （2）化简：（其中）． 【解析】（1）原式． （2）原式． 题型01 由根式的意义求范围 【典例1】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 由根式的意义求范围 对于奇次方根而言，其被开方数为全体实数，对于偶次方根而言，其被开方数为非负数，若根式位于分母位置，此时其被开方数不能为0，根据各限制条件列不等式组即可求得参数的取值范围. 【变式1-1】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：． 【变式1-2】求使等式成立的实数a的取值范围. 【答案】[-3，3] 【解析】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 【变式1-3】满足方程的实数解的个数为 . 【答案】无数个 【解析】设，则 方程化为 即，即 当时，则，解得 当时，则恒成立，即满足方程. 当时，则，解得 所以满足方程，即，解得 故满足方程的实数解的个数为无数个 题型02 根式的化简与求值 【典例2】（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）化简：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出. 【解析】. 故选：A. 根式的化简与求值的策略 1.此类问题应熟练应用． 2.当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式2-1】若，则的立方根为 . 【答案】2 【解析】由，得， 所以， 所以，所以的立方根为. 故答案为：. 【变式2-2】使得等式成立的实数a的值为 ． 【答案】8 【解析】解：由题意可得，，所以，故. 设，则. 解得，或（舍），或（舍） 所以 所以 故答案为：8 【变式2-3】计算下列各式的值： (1)； (2)． 【解析】（1）解：原式 . （2）解：原式 题型03 有限制条件的根式的化简 【典例3】，求 ． 【答案】 【解析】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 多重根式的化简策略 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可. 【变式3-1】已知，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 【变式3-2】若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】，，．由 ，得 . 故选C. 【变式3-3】设，且，求= . 【答案】 【解析】对左右同时平方得 同时由可判断，则， 题型04 根式与分数指数幂的互化 【典例4】已知函数，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以将代入中，可得 因为，所以将代入中，可得. 故答案为:. 根式与分数指数幂的互化策略 根式是分数指数幂的另一种形式，因此两者之间可以相互转化. (1)根式化为分数指数幂时，根指数为分母，被开方数的指数为分子，即; (2)分数指数幂化根式时，分母为根指数，分子为被开方数的指数，即，负指数取倒数后再转化. 【变式4-1】（多选），下列运算（化简）中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD． 【变式4-2】化简： (1) (2)（） 【解析】（1）原式 （2）原式 【变式4-3】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 题型05 指数幂的化简与求值 【典例5】已知，则 ． 【答案】 【解析】 ， 因为，所以原式 故答案为： 指数幂的化简与求值策略 指数幂的四则运算是一类常见题型，其运算顺序是:有括号的先算括号里面的，无括号的先作指数运算，再作加减乘除这四则运算(先乘除，后加减). 进行指数幂的综合运算的具体方法有:幂的运算性质法、转化法、凑公式法. 1.幂的运算性质法 即利用书本上所讲述的三条幂的运算性质达到简化运算的目的 2.转化法 在指数幂的综合运算中，往往需要用到转化的思想，常见的转化技巧有： ①小数化为分数,根式化为分数指数幂; ②如果指数是负数,底数是分数,那么对调底数的分子和分母并将负指数变为正指数; ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式分解进行变形根式的化简结果. 【变式5-1】下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 【变式5-2】若，则满足的的取值范围 . 【答案】 【解析】由题意，则且，而， 所以，即，故，可得. 故答案为： 【变式5-3】下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】C 【解析】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 题型06 整体代换法解决条件求值问题 【典例6】若，则 【答案】 【解析】由于，故. 这就意味着，从而. 故答案为： 整体代换法解决条件求值问题 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 【变式6-1】已知，，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 【变式6-2】已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正数、满足，即，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【变式6-3】若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 题型07 解指数方程 【典例7】解下列方程． （1）； （2） ． 【分析】（1）观察方程的特点，两边化成同底数的指数式，利用指数相等解方程；（2）利用换元法将换成，解关于的方程，再求的值． 【解析】（1）原方程可化为， ∴，解得 ． （2）原方程可化为 ， 设，则 ， 解得或（舍去）， 即． 指数方程的类型及求解策略 求解指数式方程的关键是通过指数运算进行等价转化，指数式方程常见的类型有： （1） （2） 类型(1)通过同底法可解，类型(2)常利用换元法求解. 【变式7-1】（2025·上海静安·二模）指数方程的解是 . 【答案】 【分析】由方程看成关于的二次方程，解得（舍或，从而得到方程的解． 【详解】， （舍或，解得． 【变式7-2】解下列指数方程： (1)； (2); (3). 【解析】（1）．解方程，得． （2）． 设，，则原方程为． 解方程，得（舍），． ∴．解． (3)，故， ∴，∴，即， ，解得． 题型08 指数幂的等式证明问题 【典例8-1】证明下列恒等式. (1)(·(·(=1(a>0); (2)··=1(m>0). 【分析】本题主要考查分数指数幂与根式的化简,同一道题中幂的底数均相同,这样就为应用运算性质提供了必备的条件,可用到的性质有(xm)n=xmn,xm·xn=xm+n及=(x>0,m,n∈R). 【证明】(1)左边=·· = ==a0=1=右边, ∴等式成立. (2)左边=·· = ==m0=1=右边, ∴等式成立. 【典例8-2】已知ax3＝by3＝cz3，及＋＋＝1，求证(ax2＋by2＋cz2)＝a＋b＋c. 【分析】本题考查分数指数幂的内容和证明的有关知识，以及利用“参数法”解决问题的能力，根据已知条件ax3＝by3＝cz3，设一个参数t，用含有t的式子表示ax2＋by2＋cz2与a＋b＋c，从而找到(ax2＋by2＋cz2)与a＋b＋c的关系，这也是解决本题的关键． 【解析】令ax3＝by3＝cz3＝t， 则ax2＝，by2＝，cz2＝，ax＝by＝cz＝t， ∴(ax2＋by2＋cz2)＝＝t. 又＋＋＝1，∴(ax2＋by2＋cz2)＝t.(5分) 由ax＝by＝cz＝t，得a＝，b＝，c＝， ∴a＋b＋c＝＋＋＝t＝t. ∴(ax2＋by2＋cz2)＝a＋b＋c. 指数幂等式的证明策略 1.证明等式A＝B的常用思路： 思路一：A＝C，B＝CA＝B. 思路二：A－B＝0A＝B. 思路三：aA＝aBA＝B. 思路四：＝1A＝B. 2.有关条件等式的证明方法： 对条件等式的证明问题，首先对条件进行化简或变形，对连等式有时要引进字母参数，设而不求，通过转化证明等式的左右两端相等，要注意引用分数指数幂的运算性质． 【变式8】已知求证：. 【证明】（1） （2） 又 由（1）（2）知 . 题型09 幂的综合应用问题 【典例9】已知f(x)=,g(x)=. (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(已知y=在R上是增函数) (2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明. 【分析】利用函数单调性的定义证明;(2)由特殊到一般,得到猜想,再利用幂的运算性质进行证明. 【解析】(1)证明:任取x1>x2>0,∵y=在R上是增函数,∴>. 又∵(x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)=(--+) =(-)[1+(x1x2]>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)经计算知f(4)-5f(2)g(2)=0, f(9)-5f(3)g(3)=0, 由此猜想:f(x2)-5f(x)g(x)=0. 证明: f(x2)-5f(x)g(x)=(-)-(+)(-)=(-)-(-)=0. 【点拨】本题第(2)问所用方法为归纳法，归纳法解题的一般步骤为：(1)对特殊现象进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的一般结论，即猜想；（3）检验或证明猜想. 幂的综合问题破解策略 解决有关幂的综合问题时，首先要善于观察、分析，并对它进行适当的加工、处理、变形，以创设运用公式和幂的有关性质的条件，然后进行化简、求值即可；其次，要注意方程思想、整体思想、化归与转化、换元等数学思想方法的运用. 【变式9】已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a>1). (1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值; (2)设f(x)·f(y)=4,g(x)·g(y)=8,求的值. 【解析】(1)[f(x)]2-[g(x)]2 =(ax-a-x)2-(ax+a-x)2 =2ax·(-2a-x) =-4. (2)∵f(x)·f(y)=4, ∴(ax-a-x)(ay-a-y)=4, ∴ax+y+a-(x+y)-ax-y-ay-x=4, 即g(x+y)-g(x-y)=4①. ∵g(x)·g(y)=8, ∴(ax+a-x)·(ay+a-y)=8, ∴ax+y+a-(x+y)+ax-y+ay-x=8, 即g(x+y)+g(x-y)=8②. 由①②得g(x+y)=6,g(x-y)=2, ∴=3. 练基础 1.（2024秋·北京·高一校考期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·周测）若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 3．（24-25高二下·天津河东·期末）已知 则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】已知 当时，，所以， 当，根式没有意义， 则p是q的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以，故B错误； ，， 所以，，故CD错误； ， 所以，A正确. 故选：A 5．（24-25高二下·广西·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． 【答案】A 【解析】因为，则. 故选：A. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 故选：D. 7．（多选）（2025·河北衡水·高一校考阶段练习）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（　　） A． B．﹣ C． D． 【答案】ACD 【解析】由式，可得， ，则，， 所以，， 又，则， ， ，， 则c的值可能为． 故选：ACD． 8．（多选）（2025·山东泰安·高一泰安一中校考期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值9 B．的最小值是 C．ab有最大值 D．的最小值是 【答案】AB 【解析】，当且仅当时等号成立，A对； ，当且仅当即时等号成立，B对； ，则，当且仅当即时等号成立，C错； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，D错. 故选：AB 9．（2025·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）若，则的值为 . 【答案】2 【解析】因为，所以，， 10．（2023·全国·高一专题练习）若，则 . 【答案】 【解析】由题意可知，，所以，则. 11．（2025·江苏·高一专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，所以. 12．（2025·山东·校联考模拟预测）计算： (1)； (2) 【解析】（1）原式 （2）由根式与分数指数幂互化运算可得， 练提升 13．（24-25高三上·山东威海·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，集合. 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得； 当时，两边同时立方可得. 所以. 所以. 因为，，所以. 故选：B. 14．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为 所以，当且仅当即时等号成立， 故选：D． 15．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 16．（2024秋·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）设，，求的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，． 故答案为：. 17.（2024秋·河南洛阳·高一校考阶段练习） . 【答案】 【解析】解： . 18．（2025·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【解析】（1）原式= =； （2）由， 则， 则 则， 即. 19．（2025·全国·高一随堂练习）已知，，求的值． 【解析】因为， 所以， 故可得. 练创新 20．（24-25高二下·山东菏泽·期末）定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 【答案】4 【解析】依题意，，，则， ，而，，则， ，由，得，因此， ，而，于是， 即，，所以. 故答案为：4 21．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】因为， 所以． 因为，所以． 所以，即． 当且仅当，，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 22．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w若ax＝by＝cz＝70w≠1，＝＋＋，求a，b，c的值． 【解析】∵ax＝70w，∴a＝70，同理b＝70，c＝70. ∴a·b·c＝70·70·70. 即(abc)＝70＋＋. 又＋＋＝， ∴abc＝70＝2×5×7. 而a，b，c为正整数且70w≠1， ∴a，b，c均不为1. 又a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数幂的拓展，指数幂的运算性质 教学目标 1.理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。 2.掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 3.掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 教学重难点 1.重点：掌握无理数、实数指数幂的计算。 2.难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算. 知识点01 整数指数幂的概念及运算性质（重点） 1、 整数指数幂的概念 (1) = (2) ; (3) . 2、运算法则 (1) (2)； (3)； (4) . 【即学即练】 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 根式的概念和运算法则（重点） 次方根的定义 若 ，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有 ，是 ，记为 ；负数的奇次方根有 ，是 ，记为 ；零的奇次方根为 ，记为 ． 为偶数时，正数的偶次方根有 ，记为 ；负数 偶次方根；零的偶次方根为 ，记为 ． 2.两个等式 （1）当且时，；（2） 【即学即练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列根式的值． (1)； (2)； (3). 知识点03 分数指数幂的概念和运算法则（重难） 为避免讨论，我们约定，，，且互质，分数指数幂可如下定义： (1) ; (2) ； (3) 【即学即练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）的分数指数幂表示为（   ） A． B． C． D．都不对 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C．64 D． 知识点04 有理数指数幂的运算（重难） 1.有理数指数幂的运算性质 ，则有： （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 2．指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先进行 ．负指数幂化为 ．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用 表示，便于用指数运算性质． 在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 【即学即练】 1．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：． （2）已知，求． 2．（24-25高一上·全国·周测）（1）求值：. （2）设，且，求的值. 知识点05 无理数指数幂（重难） 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 【注意事项】 无理数指数幂的两注意 (1)它是一个确定的实数；(2)它是有理数指数幂无限逼近的结果． 【即学即练】 1．计算： (1) (2) 2．（24-25高一上·全国·周测）已知函数 (1)若，求的值； (2)若，求函数的最小值. 知识点06 实数指数幂的运算性质（难点） 将指数幂从整数指数幂拓展到实数指数幂后，有以下运算性质成立： 设，则 （1） ； （2） ； （3） . 【即学即练】 1．（2024秋·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）（1）化简：（其中）； （2）化简：（其中）． 题型01 由根式的意义求范围 【典例1】求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 由根式的意义求范围 对于奇次方根而言，其被开方数为全体实数，对于偶次方根而言，其被开方数为非负数，若根式位于分母位置，此时其被开方数不能为0，根据各限制条件列不等式组即可求得参数的取值范围. 【变式1-1】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】满足方程的实数解的个数为 . 【变式1-3】求使等式成立的实数a的取值范围. 题型02 根式的化简与求值 【典例2】（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）化简：（    ） A．1 B． C． D． 根式的化简与求值的策略 1.此类问题应熟练应用． 2.当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式2-1】若，则的立方根为 . 【变式2-2】使得等式成立的实数a的值为 ． 【变式2-3】计算下列各式的值： (1)； (2)． 题型03 有限制条件的根式的化简 【典例3】，求 ． 多重根式的化简策略 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可. 【变式3-1】已知，，则的值为 ． 【变式3-2】若，则等式成立的条件是 A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】设，且，求= . 题型04 根式与分数指数幂的互化 【典例4】已知函数，则 ． 根式与分数指数幂的互化策略 根式是分数指数幂的另一种形式，因此两者之间可以相互转化. (1)根式化为分数指数幂时，根指数为分母，被开方数的指数为分子，即; (2)分数指数幂化根式时，分母为根指数，分子为被开方数的指数，即，负指数取倒数后再转化. 【变式4-1】（多选），下列运算（化简）中正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】化简： (1) (2)（） 【变式4-3】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 题型05 指数幂的化简与求值 【典例5】已知，则 ． 指数幂的化简与求值策略 指数幂的四则运算是一类常见题型，其运算顺序是:有括号的先算括号里面的，无括号的先作指数运算，再作加减乘除这四则运算(先乘除，后加减). 进行指数幂的综合运算的具体方法有:幂的运算性质法、转化法、凑公式法. 1.幂的运算性质法 即利用书本上所讲述的三条幂的运算性质达到简化运算的目的 2.转化法 在指数幂的综合运算中，往往需要用到转化的思想，常见的转化技巧有： ①小数化为分数,根式化为分数指数幂; ②如果指数是负数,底数是分数,那么对调底数的分子和分母并将负指数变为正指数; ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式分解进行变形根式的化简结果. 【变式5-1】下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，则满足的的取值范围 . 【变式5-3】下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 题型06 整体代换法解决条件求值问题 【典例6】若，则 整体代换法解决条件求值问题 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 【变式6-1】已知，，则的值为 . 【变式6-2】已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若实数、、满足，，则的最小值是 . 题型07 解指数方程 【典例7】解下列方程． （1）； （2） ． 指数方程的类型及求解策略 求解指数式方程的关键是通过指数运算进行等价转化，指数式方程常见的类型有： （1） （2） 类型(1)通过同底法可解，类型(2)常利用换元法求解. 【变式7-1】（2025·上海静安·二模）指数方程的解是 . 【变式7-2】解下列指数方程： (1)； (2); (3). 题型08 指数幂的等式证明问题 【典例8-1】证明下列恒等式. (1)(·(·(=1(a>0); (2)··=1(m>0). 【典例8-2】已知ax3＝by3＝cz3，及＋＋＝1，求证(ax2＋by2＋cz2)＝a＋b＋c. 指数幂等式的证明策略 1.证明等式A＝B的常用思路： 思路一：A＝C，B＝CA＝B. 思路二：A－B＝0A＝B. 思路三：aA＝aBA＝B. 思路四：＝1A＝B. 2.有关条件等式的证明方法： 对条件等式的证明问题，首先对条件进行化简或变形，对连等式有时要引进字母参数，设而不求，通过转化证明等式的左右两端相等，要注意引用分数指数幂的运算性质． 【变式8】已知求证：. 题型09 幂的综合应用问题 【典例9】已知f(x)=,g(x)=. (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(已知y=在R上是增函数) (2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明. 幂的综合问题破解策略 解决有关幂的综合问题时，首先要善于观察、分析，并对它进行适当的加工、处理、变形，以创设运用公式和幂的有关性质的条件，然后进行化简、求值即可；其次，要注意方程思想、整体思想、化归与转化、换元等数学思想方法的运用. 【变式9】已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a>1). (1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值; (2)设f(x)·f(y)=4,g(x)·g(y)=8,求的值. 练基础 1.（2024秋·北京·高一校考期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·周测）若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津河东·期末）已知 则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广西·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2025·河北衡水·高一校考阶段练习）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（　　） A． B．﹣ C． D． 8．（多选）（2025·山东泰安·高一泰安一中校考期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值9 B．的最小值是 C．ab有最大值 D．的最小值是 9．（2025·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）若，则的值为 . 10．（2023·全国·高一专题练习）若，则 . 11．（2025·江苏·高一专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 12．（2025·山东·校联考模拟预测）计算： (1)； (2) 练提升 13．（24-25高三上·山东威海·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 15．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 16．（2024秋·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）设，，求的值为 ． 17.（2024秋·河南洛阳·高一校考阶段练习） . 18．（2025·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值. 19．（2025·全国·高一随堂练习）已知，，求的值． 练创新 20．（24-25高二下·山东菏泽·期末）定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 21．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 22．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w若ax＝by＝cz＝70w≠1，＝＋＋，求a，b，c的值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$