第14章 全等三角形（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年人教版数学八年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年人教版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第14章 全等三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知在中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等腰中，，，的邻补角的角平分线交的角平分线于点D，交直线于点E，作交于点F，连接．下列四个结论： ①；②垂直平分；③；④． 其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 8．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，若，平分，且于点，连接，则（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ）个 A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，三角形的面积为，平分，，则三角形的面积是 ． 12．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 13．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ． 14．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点，，， ． 15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 16．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 17．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是 ． 18．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，B、C分别在的两边上，连接，平分，平分，交于D，于M，于N，O为上一点，过O作于F，作于G，且，连接，下列命题中是真命题的序号有： ． ①平分； ②：③：④； ⑤． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 20．（本题6分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 21．（本题8分）（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，垂足为D． (1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） (2)若的平分线分别交，于，两点，证明：． 22．（本题8分）（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 23．（本题8分）（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 24．（本题8分）（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，D、A、E三点均在直线上，且． (1)如图1，若，，，则线段的长为 ； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 25．（本题10分）（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 26．（本题10分）（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第14章 全等三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【思路引导】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识；由 ，，得，因为，所以，而，即可根据“”证明，得，因为，所以，于是得到问题的答案，推导出，进而证明是解题的关键． 【规范解答】解：于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 延长至G，使，从而得出，进一步证明，且，利用证明，根据全等三角形的性质即可判断②；根据线段的等量代换推导即可判断④；设，则，根据平行线的性质，及角的计算即可得出即可判断③；当时，可得出；时，则无法说明，即可判断①． 【规范解答】解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ②是正确； ， ， 平分， 当时，，则； 当时，，则无法说明； ①是错误的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③是正确的； ， ， ， ， ④是正确的； 故选C． 3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，已知在中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了基本作图及角平分线的性质，掌握基本的尺规作图和角平分线的性质是解题的关键．过作,根据作角平分线的基本作法可得平分,根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式求解． 【规范解答】解：如图：过作, 由作图可得平分,, 的面积为. 故选：C 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，作于，于，于， 平分，，， ， ， ∴ ∵ ∴ ，， ， 平分， ，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， 故选：B． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键．在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 【规范解答】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 当点、、在同一直线上，且时，， ， ， ， ， 故选：． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等腰中，，，的邻补角的角平分线交的角平分线于点D，交直线于点E，作交于点F，连接．下列四个结论： ①；②垂直平分；③；④． 其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【思路引导】根据角平分线的定义以及外角等于，即可证明①是正确的；证明，得，则②是正确的；将绕点D顺时针旋转90度，与重合，点F与点M是对应点，结合外角性质以及等角对等边，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵的邻补角的角平分线交的角平分线于点D， ∴， 在中，，故①正确； ∵， ∴， ∵的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，故②正确； 将绕点D顺时针旋转90度，与重合，点F与点M是对应点，如图： 易得， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 则，故④正确； 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误． 综上正确的是①②④． 故选：C 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角以及内角和性质，角平分线，等角对等边等知识内容，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等． 8．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，若，平分，且于点，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查几何的综合应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点作交于点，过点作交于点；根据角平分线的性质，可得，；过点作交于点；过点作交于点，设与的交点为点；与的交点为点；根据平行线的性质，得到，推出，根据三角形的外角和，角的和差，，根据直角三角形中，角互余，可得，利用角的和差，得到，根据全等三角形的判定和性质，得到，推出，根据矩形的判定和性质，得到四边形是矩形，即，再根据三角形的面积公式，即可． 【规范解答】解：过点作交于点，过点作交于点； ∵平分， ∴，； 过点作交于点；过点作交于点，设与的交点为点；与的交点为点； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C．    9．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质； 设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可求解． 【规范解答】解：延长到点，使，连接，延长和交于点，如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 10．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的高和角平分线，全等三角形的判定和性质，由三角形的高可得，进而由三角形角平分线的定义可得，即可判定①；证明，得到，，进而可证明，即可判定②；由得到，，可得，，可判定③④，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故③正确，④错误； 综上，正确的有个， 故选：． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，三角形的面积为，平分，，则三角形的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，可证，得到，即得，，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：正确掌握相关性质内容是解题的关键． ①根据三角形内角和定理可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；②当是的中线时，，进而可以进行判断；③作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断；④过作，于点，，由③知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【规范解答】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②只有当是的中线时，，故②错误； ③如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， ，，，， ∴，， ，， ，故③正确； ④过作，于点，， 由③知，为的角平分线， ， ， ，， ，故④正确． 综上所述：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 13．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂直证明，然后利用全等三角形的性质可得，，从而利用等量代换进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：24． 14．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点，，， ． 【答案】 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、三角形内角和定理等知识．过点F作，垂足分别为，在上截取，根据角平分线性质定理得到，证明，则，证明，得到，则，得到，由即可得到答案． 【规范解答】解：过点F作，垂足分别为，在上截取， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故答案为： 15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【规范解答】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、． 【规范解答】解：①、由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②、由，推出，由判定，故②符合题意； ③、，，，由判定，故③符合题意； ④、增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 17．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解平分线的性质、三角形的面积公式．首根据平分，可知点到的距离和点到的距离相等，所以可得，设，，则，根据点为的中点，可知，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，把和的面积用含的代数式表示出来，再根据和的面积差为，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到的面积． 【规范解答】解： 平分， 点到的距离和点到的距离相等， ， 设，， 则， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， 若的面积比的面积大， ， 解得：， ． 故答案为： ． 18．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，B、C分别在的两边上，连接，平分，平分，交于D，于M，于N，O为上一点，过O作于F，作于G，且，连接，下列命题中是真命题的序号有： ． ①平分； ②：③：④； ⑤． 【答案】①②⑤ 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，①过点O作于H，根据平分得，再根据得，进而根据角平分线的性质可对命题①进行判断；②设，则，，证明平分得，再根据三角形内角和定理，由此可对命题②进行判断；③先证明，则，进而得，然后根据可对命题③进行判断；④先证明和全等得，再证明和全等得，由此可对命题④进行判断；⑤先求出，则，，，由此可求出的度数，进而可对命题⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：①过点O作于H，如图1所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点O在的平分线上， ∴平分， 故命题①是真命题； ②∵平分平分， ∴设， 则， ∴， 在中，， ∵， ∴点O在的平分线上， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 故命题②是真命题； ③∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故命题③是假命题； ④过点E作于点K，连接，如图2所示： ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故命题④是假命题； ⑤在中，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故命题⑤是真命题， 综上所述：是真命题的序号是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【规范解答】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 20．（本题6分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 21．（本题8分）（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，垂足为D． (1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） (2)若的平分线分别交，于，两点，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查角平分线尺规作图，角平分线定义，同角的余角互余等． （1）根据题意以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接和两弧的交点，即为的平分线； （2）根据题意利用角平分线定义可得，后得到，继而得到本题答案． 【规范解答】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接和两弧的交点，如下图即为的平分线： ； （2）解：根据题意画图如下： ，， ， ． ， ． ， ． ， ． 22．（本题8分）（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）（）． (1)用的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)； (2)与全等，理由见解析； (3)． 【思路引导】本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接根据时间和速度表示的长； （）根据“”证明即可； （3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，，得，，解出即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 则， 故答案为：； （2）解：与全等，理由是： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与全等，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，能够使与全等． 23．（本题8分）（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可． （1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答； （2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵是边上的中线， ， ， ． 24．（本题8分）（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，D、A、E三点均在直线上，且． (1)如图1，若，，，则线段的长为 ； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 【答案】(1)9 (2)，理由见解析 (3)3 【思路引导】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解； （2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 25．（本题10分）（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)或 【思路引导】本题考查全等三角形与几何动态综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）利用证得，得到，即可得出结论； （2）由于点运动的速度快，根据点从点到点运动或点从点到点运动分两种情况讨论即可得到答案； （3）利用证明，得到，再分两种情况讨论即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点先从点到点运动时： ； 当点再从点到点运动时： ， 综上所述：的长为或． （3）解：连接连接，且过点， 由（1）得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或． 26．（本题10分）（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$