2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-圆锥曲线中的最值与范围问题

专题36 圆锥曲线中的最值与范围问题（一题多变） 【典例展示】 （2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值． 【思路分析】 （1）设是椭圆上任意一点，再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出； （2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值． 【精细解析】 （1）设是椭圆上任意一点，， ，当且仅当时取等号，故的最大值是. （2）设直线，直线方程与椭圆联立，可得，设，所以， 因为直线与直线交于， 则，同理可得，.则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 【题后反思】 本例是一道比较典型的高考命题，两道小题分别确定定点与椭圆上动点距离的最值、直线交点之间距离的最值.关于它们的解法，反映了解答此类问题的两种基本方法. 1.解析几何中的最值问题，主要是结合直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线以及直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.此类问题多以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力. 解答总体思路：（1）几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； （2）代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数与导数方法、不等式方法等求解. 2.解析几何中的范围问题，主要是结合直线与椭圆、直线与双曲线以及直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关范围问题. 解题应考虑的五个方面： (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 3.最值、范围问题的常见解法： （1）函数性质法，二次函数、“对号函数”较为常见，应用配方法、判别式法、单调性质法等； （2）三角换元法：根据给定方程特点，利用“参数思想”得到三角函数式； （3）基本不等式法：改变表达式的结构，创造应用基本不等式的条件； （4 ）导函数法：当表达式较为复杂时换元转换好难，可应用导数研究其最值（范围）； （5）几何性质法：主要根据图形涉及到的相关几何性质，如圆中弦、弦心距、半径构成的三角形，椭圆、双曲线中的“焦点三角形”，三角形问题涉及中线、角平分线等. 在下面的变换题目及综合训练中应细心体会． 【追根溯源】 1．求解直线与圆的最值问题的两种基本思路 （1）代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法进行求解，在转化过程中常用到向量的数量积、韦达定理．换元等知识和方法． （2）几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系．分析其与圆的位置变化情况，找到最大值、最小值的取值点． 2．圆的最值问题的两种常见形式 若是定圆上的一动点，如何求和这两种形式的最值的方法： （1）代数法：求的最值通常是先设，与圆方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值；求的最值通常先设．则，与圆方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值． （2）几何法：求的最值通常是先设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值；求的最值，而的几何意义即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． 3．圆锥曲线中的最值问题以及变量的取值范围问题的求解 由于此类问题大都是综合性问题，解题灵活，技巧性强，涉及代数、三角函数、平面几何方面的知识． （1）代数法：运用函数思想建立目标函数，求解最值或参变量的取值范围，常把有关问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、均值不等式．函数的单调性或三角函数的有界性等解之．求参数的范围时，往往是先根据已知条件建立等式或不等式，再求参数的范围． ． （2）几何法：注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质，常须扣住圆锥曲线的定点并和平面几何有关结论巧妙结合． 【变化角度】给出圆的一般方程，求圆上点的坐标之差的最值. （2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ） A．    B．4    C．    D．7 【思路分析】思路一：令，利用判别式法即可； 思路二：通过整理得，利用三角换元法即可， 思路三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 【变换角度】给出双曲线方程，过双曲线上任意一点作两条渐近线的垂线，求垂足与该点连线段之和的最小值. （2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为 . 【思路分析】 先由双曲线的标准方程求得其渐近线方程，再利用点线距离公式及双曲线的几何性质求得的范围，从而得解. 【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为， 设是双曲线上任意一点，则， 所以，则， 由点线距离公式得， 两边平方得 ， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【变换角度】根据抛物线上的点到准线的距离，求抛物线方程；求三点在抛物线上时正方形面积的最小值， （2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1． (1)求抛物线的方程； (2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值． 【思路分析】（1）根据抛物线定义可求解； （2）有三种思路.思路一：设出，，点的坐标，的斜率为，根据斜率公式可得，，再根据，可得，可求出正方形面积的表达式，利用不等式放缩可求出面积的最小值. 思路二：先将直线的斜率用倾斜角的正切表示，把面积转化成三角函数式；再应用换元法转化成关于t的函数，利用单调性求解； 思路三：设直线：，（为参数），转化成三角函数式、换元求解. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得， ∴， 抛物线的方程为. （2）方法一：如图设三个顶点有两个在轴的右侧（包括轴）， 设在抛物线上的三个点，，点的坐标分别为，，，，的斜率为（）． 则有 ，， 即，．所以，，① 又，所以 即， 代入①，得， 即， ∵， ，， ∴， 化简得， 正方形的面积为， ∵，∴，当且仅当时等号成立， 所以，即， ∴. 方法二：的斜率为（），点的坐标为，则 由，得， ∴，， 又， ∴，即， ∴，即， ∴， 正方形的面积， 令，，则 ， 设，， 则， ， ∵，∴， ∴单调递增， . 方法三：设直线：，（为参数） 代入抛物线，得， 即， ∴，， 设，则， 同理，， 不妨设， ∵，∴， 化简得， ∴， ， 设， 则，， ， ∵，∴， ∴单调递增， . 【变换角度】由直线与椭圆的一个公共点和焦点的连线段之和最小，求椭圆方程；根据直线与椭圆交点形成向量的关系，求直线在y轴截距的范围. 设椭圆的两个焦点是，． （1）设E是直线与椭圆的一个公共点，求使得取最小值时椭圆的方程． （2）已知，设斜率为的直线l与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足，且，求直线l在y轴上截距的取值范围． 【思路分析】在研究直线与曲线相交问题时，需要有判别式大于零或大于等于零这一条件进行保证．本题无论对于第（1）问还是第（2）问的解答过程中都必须牢牢抓住这一点．一般而言，解决有关最值问题或求范围时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率、截距等），建立目标函数，然后利用有关函数或不等式的知识与方法求解． 【详解】（1）由题意知，即． 由得． 由，解得或（舍去），∴． 此时，当且仅当时，取得最小值．此时椭圆方程为． （2）设直线l的方程为， 由方程组消去y，得． ∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B， ∴，即① 设点A，B的坐标分别为，．则， 由，得Q为线段AB的中点， 则，， ∵，∴，即． 化简，得，代入①式，得，解得， 又由，得． ∴直线l在y轴上的截距t的取值范围是． （2024·全国甲卷·高考真题） 1．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． （2021·全国乙卷·高考真题） 2．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2021·全国乙卷·高考真题） 3．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 （2020·全国·高考真题） 4．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 （2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测） 5．已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，. (1)求双曲线的标准方程. (2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值. （2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习） 6．已知椭圆：的焦点分别为和，离心率为.不过且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，直线与椭圆的另一交点为点. (1)求椭圆的方程； (2)①若直线交轴于点，求以为直径的圆的方程； ②若过与垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，当取最小值时，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题36 圆锥曲线中的最值与范围问题（一题多变） 【典例展示】 （2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值． 【思路分析】 （1）设是椭圆上任意一点，再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出； （2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值． 【精细解析】 （1）设是椭圆上任意一点，， ，当且仅当时取等号，故的最大值是. （2）设直线，直线方程与椭圆联立，可得，设，所以， 因为直线与直线交于， 则，同理可得，.则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 【题后反思】 本例是一道比较典型的高考命题，两道小题分别确定定点与椭圆上动点距离的最值、直线交点之间距离的最值.关于它们的解法，反映了解答此类问题的两种基本方法. 1.解析几何中的最值问题，主要是结合直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线以及直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.此类问题多以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力. 解答总体思路：（1）几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； （2）代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数与导数方法、不等式方法等求解. 2.解析几何中的范围问题，主要是结合直线与椭圆、直线与双曲线以及直线与抛物线的位置关系的设计命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关范围问题. 解题应考虑的五个方面： (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 3.最值、范围问题的常见解法： （1）函数性质法，二次函数、“对号函数”较为常见，应用配方法、判别式法、单调性质法等； （2）三角换元法：根据给定方程特点，利用“参数思想”得到三角函数式； （3）基本不等式法：改变表达式的结构，创造应用基本不等式的条件； （4 ）导函数法：当表达式较为复杂时换元转换好难，可应用导数研究其最值（范围）； （5）几何性质法：主要根据图形涉及到的相关几何性质，如圆中弦、弦心距、半径构成的三角形，椭圆、双曲线中的“焦点三角形”，三角形问题涉及中线、角平分线等. 在下面的变换题目及综合训练中应细心体会． 【追根溯源】 1．求解直线与圆的最值问题的两种基本思路 （1）代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法进行求解，在转化过程中常用到向量的数量积、韦达定理．换元等知识和方法． （2）几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系．分析其与圆的位置变化情况，找到最大值、最小值的取值点． 2．圆的最值问题的两种常见形式 若是定圆上的一动点，如何求和这两种形式的最值的方法： （1）代数法：求的最值通常是先设，与圆方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值；求的最值通常先设．则，与圆方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值． （2）几何法：求的最值通常是先设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值；求的最值，而的几何意义即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． 3．圆锥曲线中的最值问题以及变量的取值范围问题的求解 由于此类问题大都是综合性问题，解题灵活，技巧性强，涉及代数、三角函数、平面几何方面的知识． （1）代数法：运用函数思想建立目标函数，求解最值或参变量的取值范围，常把有关问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、均值不等式．函数的单调性或三角函数的有界性等解之．求参数的范围时，往往是先根据已知条件建立等式或不等式，再求参数的范围． ． （2）几何法：注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质，常须扣住圆锥曲线的定点并和平面几何有关结论巧妙结合． 【变化角度】给出圆的一般方程，求圆上点的坐标之差的最值. （2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ） A．    B．4    C．    D．7 【思路分析】思路一：令，利用判别式法即可； 思路二：通过整理得，利用三角换元法即可， 思路三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 【变换角度】给出双曲线方程，过双曲线上任意一点作两条渐近线的垂线，求垂足与该点连线段之和的最小值. （2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为 . 【思路分析】 先由双曲线的标准方程求得其渐近线方程，再利用点线距离公式及双曲线的几何性质求得的范围，从而得解. 【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为， 设是双曲线上任意一点，则， 所以，则， 由点线距离公式得， 两边平方得 ， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【变换角度】根据抛物线上的点到准线的距离，求抛物线方程；求三点在抛物线上时正方形面积的最小值， （2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1． (1)求抛物线的方程； (2)若正方形的三个顶点、、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值． 【思路分析】（1）根据抛物线定义可求解； （2）有三种思路.思路一：设出，，点的坐标，的斜率为，根据斜率公式可得，，再根据，可得，可求出正方形面积的表达式，利用不等式放缩可求出面积的最小值. 思路二：先将直线的斜率用倾斜角的正切表示，把面积转化成三角函数式；再应用换元法转化成关于t的函数，利用单调性求解； 思路三：设直线：，（为参数），转化成三角函数式、换元求解. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得， ∴， 抛物线的方程为. （2）方法一：如图设三个顶点有两个在轴的右侧（包括轴）， 设在抛物线上的三个点，，点的坐标分别为，，，，的斜率为（）． 则有 ，， 即，．所以，，① 又，所以 即， 代入①，得， 即， ∵， ，， ∴， 化简得， 正方形的面积为， ∵，∴，当且仅当时等号成立， 所以，即， ∴. 方法二：的斜率为（），点的坐标为，则 由，得， ∴，， 又， ∴，即， ∴，即， ∴， 正方形的面积， 令，，则 ， 设，， 则， ， ∵，∴， ∴单调递增， . 方法三：设直线：，（为参数） 代入抛物线，得， 即， ∴，， 设，则， 同理，， 不妨设， ∵，∴， 化简得， ∴， ， 设， 则，， ， ∵，∴， ∴单调递增， . 【变换角度】由直线与椭圆的一个公共点和焦点的连线段之和最小，求椭圆方程；根据直线与椭圆交点形成向量的关系，求直线在y轴截距的范围. 设椭圆的两个焦点是，． （1）设E是直线与椭圆的一个公共点，求使得取最小值时椭圆的方程． （2）已知，设斜率为的直线l与条件（1）下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足，且，求直线l在y轴上截距的取值范围． 【思路分析】在研究直线与曲线相交问题时，需要有判别式大于零或大于等于零这一条件进行保证．本题无论对于第（1）问还是第（2）问的解答过程中都必须牢牢抓住这一点．一般而言，解决有关最值问题或求范围时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率、截距等），建立目标函数，然后利用有关函数或不等式的知识与方法求解． 【详解】（1）由题意知，即． 由得． 由，解得或（舍去），∴． 此时，当且仅当时，取得最小值．此时椭圆方程为． （2）设直线l的方程为， 由方程组消去y，得． ∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B， ∴，即① 设点A，B的坐标分别为，．则， 由，得Q为线段AB的中点， 则，， ∵，∴，即． 化简，得，代入①式，得，解得， 又由，得． ∴直线l在y轴上的截距t的取值范围是． （2024·全国甲卷·高考真题） 1．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C （2021·全国乙卷·高考真题） 2．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． （2021·全国乙卷·高考真题） 3．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】设点，因为，，所以 ， 而，所以当时，的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.． （2020·全国·高考真题） 4．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得 故 联立，解得 故 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值： 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. （2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测） 5．已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，. (1)求双曲线的标准方程. (2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率为，得到，再根据，得到求解. （2）设，则，求得，再利用双曲线的定义得到，，再由，求解. 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为， 所以，又过点的直线PA的斜率不存在时，， 所以. 解得， 所以双曲线的方程为：； （2）设，则，且， 所以， ， ， 由双曲线定义得， 所以，则， 所以， ， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值. （2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习） 6．已知椭圆：的焦点分别为和，离心率为.不过且与轴垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，直线与椭圆的另一交点为点. (1)求椭圆的方程； (2)①若直线交轴于点，求以为直径的圆的方程； ②若过与垂直的直线交椭圆于，两个不同的点，当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②或. 【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程； （2）①联立直线与椭圆方程，表示出直线的方程，再由根与系数的关系求出点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求长度,进而得长度，根据不等式即可求解最值，得直线的方程. 【详解】（1）由题意可知，，得，由，得， 所以椭圆的方程为. （2）①显然直线AB的斜率必存在，且，则设直线的方程为， 则，联立有，可得， 所以，直线的方程为令可得点的横坐标为 . 所以为一个定点，其坐标为，则圆心坐标为，半径为2， 则以为直径的圆的方程为. ②根据①可进一步求得: ， 因为 , 所以 , 则 , 由 ， 当且仅当时取等号，即时，取得最小值，此时直线的方程为或.    【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$