2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-不等式中的恒成立问题求解策略

专题11 不等式中的恒成立问题的求解策略（一题多变） 【典例展示】（1）已知，当时，恒成立，则a的取值范围是______． （2）已知对于任意的，都有，则实数a的取值范围是______． 【思路分析】 第（1）小题，有两种不同的思路：①寻找使不等式恒成立的充分条件，通过解不等式来完成；②分离参数，通过构造函数寻求函数的最大值或最小值（即归结为【追根溯源】题型三）来完成．第（2）小题，同样可有两种不同的思路：①化简多项式分离参数a，换元转化为不等式“恒成立”题型进行求解；②根据一元二次函数性质，利用判别式分类讨论进行求解． 【精细解析】（1）解法一 由已知得在上恒成立， 即或解得． 解法二 ，此二次函数图像的对称轴为． i 当时，结合图像知在上单调递增，． 要使恒成立，只需，即，解得．又，∴． ii 当时，，由，解得．又，∴． 综上所述，实数a的取值范围为． （2）解法一 若恒成立，则问题等价于恒成立． 令，则，从而． 当时，恒成立，故，即； 当时，恒成立，故，而 ∴，即实数a的取值范围是． 解法二 令，当，即时，有满足题意． 当时，或，若，符合题意，若，符合题意． 当，即或时． 需满足∴符合题意． 综上所述，a的取值范围为． 【题后反思】 本例是比较典型的含参一元二次不等式恒成立问题，它所提供的解法，也是基本解法.事实上，在诸多高考题目中，含参数不等式恒成立问题并不局限于含参数一元二次不等式．还有许多其他形式的含参数不等式恒成立问题，求解时除了通过转化向常见基本题型靠拢之外，还需要注意运用一些解题方法和技巧．其他解法有：换元法、分离参数法、主参换位法、数形结合法、函数最值法、构建函数法，尤其是含参数不等式成立问题常与其他数学知识相交汇，需要在知识的联系与转化中寻找解题途径．在下面的变式及训练题中，将展示与其它知识的交汇以及解题的多种方法. 【追根溯源】 含参数不等式恒成立问题典型题型： 题型一：设，若在上恒成立且，若在上恒成立且．若a的取值未指明，则必须对的情况加以讨论． 题型二：设． （1）当时，在上恒成立或或在上恒成立 （2）当时，在上恒成立 在上恒成立或或 题型三：对恒成立． 对一切恒成立． 题型四：对一切恒成立在，的图像在的图像的上方． 题型五：分清含参数不等式恒成立与能成立的差异，相对于题型三，下面的题型是能成立问题． 若存在，使成立． 若存在，使成立． 【变化角度】变含参二次函数为含参分段函数，增加恒成立问题求参数范围的难度. （2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f（x）≤恒成立，则a的取值范围是 ． 【思路分析】针对分段函数均是二次函数，需分两类讨论和的情况，结合恒成立的条件，按参变分离思想，应用二次函数的图像和性质整理计求得最终结果. 【详解】 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max；（2）a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【变换角度】与函数的奇偶性、单调性、指数函数相结合，转化成根据一元二次不等式恒成立求参数范围. （重庆高考题）已知定义域为R的函数上是奇函数． （1）求a、b的值． （2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围． 【思路分析】 第（1）问，由是R上的奇函数，由确定b的值，由确定a的值．并注意检验符合题意.第（2）问，两种转化思路，一是计算函数值，应用指数函数的性质，二是利用函数单调性转化为【追根溯源】中的题型一求解． 【详解】（1）∵是R上的奇函数，∴，即，解得． 从而有．又由知，解得． 经检验，，符合题意．∴，． （2）解法一 由（1）知． 又由题设条件得． 即， 整理得．∵底数，故 ① ①式对一切均成立．其判别式，解得，即k的取值范围为． 解法二 由（1）知．① 由①式易知在R上为减函数，又因为是奇函数， 从而不等式等价于．② ∵是R上的减函数，由②式可推得． 即对一切有恒成立， 故其判别式，解得， 即k的取值范围为． 【变换角度】与三角函数相结合，转化成一元二次不等式恒成立问题，或利用“参变分离法”结合函数的性质求参数范围. 对于，恒成立，求实数m的取值范围． 【思路分析】 二次型三角函数不等式在某区间上恒成立，一般有两种解题途径：一是通过换元构造二次函数，借助数形结合，得到确定图像位置的不等式或不等式组，解之求得参数m的范围．二是通过参变分离转化为求三角函数的最值，为使解题过程简捷，也需结合换元法求解． 【详解】 解法一 原不等式变形为：，即． 令，，∴，令， ∴原题转化为在上恒成立． ∴或或 解得或或，∴．即m的取值范围为． 解法二 原不等式变形为． 当时，不等式恒成立． 当时，，即． 令，则，，则． 在上单调递减，． ，∴，即m的取值范围为． 【变换角度】与等差数列相结合，通过构造函数转化成一元二次不等式恒成立问题. （2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ） A．    B．0    C．1    D．2 【思路分析】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围. 【详解】 因为，时，， 时，， 所以，，， 因为为等差数列，所以，， 从而，， 所以，即， 则当时，恒成立， ，解得或， 只有选项A符合题意， 故选：A （22-23高一下·江苏·开学考试） 1．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． （23-24高一下·山东·期中） 2．已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件可知向量在方向上的投影为，令，将恒成立转化为恒成立，利用即可求出参数的取值范围，即可求解. 【详解】因为菱形的边长为1，所以， 且向量在方向上的投影为， 若恒成立，则恒成立， 所以，即. 令，则，即， 要使恒成立， 则，解得， 又向量在方向上的投影向量为， 故其模的取值范围为：. 故答案为： （2024高三下·全国·专题练习） 3．已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】思路一：移向转换为对一切实数x恒成立，对分类讨论即可求解；思路二：移向构造函数，对分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可；思路三：分离参数，构造函数，利用导数求最值即可求解. 【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得， 即对一切实数x恒成立． 当时，不可能恒成立， 从而由二次函数的性质可得，只能，解得． 因此实数a的取值范围为． 解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得， 令，则原问题转化为对恒成立． 当时，抛物线开口向下，显然不合题意； 当时，，其图像是一条直线，也不合题意； 当时，抛物线开口向上，只要，即． 解得或，∴，因此实数a的取值范围为． 解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）： ∵恒成立． ∴问题转化为对恒成立，从而． 令，则， 令，则或． 从而在，上单调递增，在上单调递减． 又，且当时，，故． 于是，因此实数a的取值范围为． 故答案为：. （23-24高一上·吉林延边·期中） 4．已知函数，且.若时，恒成立，则m的取值范围为 【答案】 【分析】根据，即可由对数运算求出，再根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以，即， 所以. 因为恒成立， 等价于恒成立， 令，则， 原不等式等价于在恒成立， 则，解得, 故的取值范围为. 故答案为：. （2024·全国·模拟预测） 5．已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解， （2）将问题转化为在上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解. 【详解】（1）由得， 易知，则，解得， 由于的解集为，则，解得． （2）由（1）知，由得， 得在上恒成立， ，故． 令，若在上恒成立， 则，即，解得或， 故实数的取值范围为． （上海·高考真题） 6．设函数． （1）在区间上画出函数的图象； （2）设集合，．试判断集合和之间的关系，并给出证明； （3）当时，求证：在区间上，的图象位于函数图象的上方． 【答案】（1）图象见解析；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）先做的图象，再将 轴下方的图象翻折到上方即可；（2）先求出方程的三个解，再结合图象观察单调性可得；（3）先求，再对和进行讨论可得：在区间上，的图象位于函数图象的上方． 【详解】（1）函数在区间上画出的图象如下图所示： （2）方程的解分别是，和，由于在和上单调递减，在和上单调递增， 因此， 由于，，． （3）当时，，， ，，又， ①当，即时，取， ． 因为，，则； ②当，即时，取，． 由①②知，当时，，． 因此，在区间上， 的图象位于函数图象的上方． 【点晴】本题考查导函数的图象与性质、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想与转化思想．第二小题先求出方程的解，再利用数形结合思想，观察函数图象可得；第三小题利用转化思想，将命题转化为证明在区间上恒成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 不等式中的恒成立问题的求解策略（一题多变） 【典例展示】（1）已知，当时，恒成立，则a的取值范围是______． （2）已知对于任意的，都有，则实数a的取值范围是______． 【思路分析】 第（1）小题，有两种不同的思路：①寻找使不等式恒成立的充分条件，通过解不等式来完成；②分离参数，通过构造函数寻求函数的最大值或最小值（即归结为【追根溯源】题型三）来完成．第（2）小题，同样可有两种不同的思路：①化简多项式分离参数a，换元转化为不等式“恒成立”题型进行求解；②根据一元二次函数性质，利用判别式分类讨论进行求解． 【精细解析】（1）解法一 由已知得在上恒成立， 即或解得． 解法二 ，此二次函数图像的对称轴为． i 当时，结合图像知在上单调递增，． 要使恒成立，只需，即，解得．又，∴． ii 当时，，由，解得．又，∴． 综上所述，实数a的取值范围为． （2）解法一 若恒成立，则问题等价于恒成立． 令，则，从而． 当时，恒成立，故，即； 当时，恒成立，故，而 ∴，即实数a的取值范围是． 解法二 令，当，即时，有满足题意． 当时，或，若，符合题意，若，符合题意． 当，即或时． 需满足∴符合题意． 综上所述，a的取值范围为． 【题后反思】 本例是比较典型的含参一元二次不等式恒成立问题，它所提供的解法，也是基本解法.事实上，在诸多高考题目中，含参数不等式恒成立问题并不局限于含参数一元二次不等式．还有许多其他形式的含参数不等式恒成立问题，求解时除了通过转化向常见基本题型靠拢之外，还需要注意运用一些解题方法和技巧．其他解法有：换元法、分离参数法、主参换位法、数形结合法、函数最值法、构建函数法，尤其是含参数不等式成立问题常与其他数学知识相交汇，需要在知识的联系与转化中寻找解题途径．在下面的变式及训练题中，将展示与其它知识的交汇以及解题的多种方法. 【追根溯源】 含参数不等式恒成立问题典型题型： 题型一：设，若在上恒成立且，若在上恒成立且．若a的取值未指明，则必须对的情况加以讨论． 题型二：设． （1）当时，在上恒成立或或在上恒成立 （2）当时，在上恒成立 在上恒成立或或 题型三：对恒成立． 对一切恒成立． 题型四：对一切恒成立在，的图像在的图像的上方． 题型五：分清含参数不等式恒成立与能成立的差异，相对于题型三，下面的题型是能成立问题． 若存在，使成立． 若存在，使成立． 【变化角度】变含参二次函数为含参分段函数，增加恒成立问题求参数范围的难度. （2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f（x）≤恒成立，则a的取值范围是 ． 【思路分析】针对分段函数均是二次函数，需分两类讨论和的情况，结合恒成立的条件，按参变分离思想，应用二次函数的图像和性质整理计求得最终结果. 【详解】 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max；（2）a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 【变换角度】与函数的奇偶性、单调性、指数函数相结合，转化成根据一元二次不等式恒成立求参数范围. （重庆高考题）已知定义域为R的函数上是奇函数． （1）求a、b的值． （2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围． 【思路分析】 第（1）问，由是R上的奇函数，由确定b的值，由确定a的值．并注意检验符合题意.第（2）问，两种转化思路，一是计算函数值，应用指数函数的性质，二是利用函数单调性转化为【追根溯源】中的题型一求解． 【详解】（1）∵是R上的奇函数，∴，即，解得． 从而有．又由知，解得． 经检验，，符合题意．∴，． （2）解法一 由（1）知． 又由题设条件得． 即， 整理得．∵底数，故 ① ①式对一切均成立．其判别式，解得，即k的取值范围为． 解法二 由（1）知．① 由①式易知在R上为减函数，又因为是奇函数， 从而不等式等价于．② ∵是R上的减函数，由②式可推得． 即对一切有恒成立， 故其判别式，解得， 即k的取值范围为． 【变换角度】与三角函数相结合，转化成一元二次不等式恒成立问题，或利用“参变分离法”结合函数的性质求参数范围. 对于，恒成立，求实数m的取值范围． 【思路分析】 二次型三角函数不等式在某区间上恒成立，一般有两种解题途径：一是通过换元构造二次函数，借助数形结合，得到确定图像位置的不等式或不等式组，解之求得参数m的范围．二是通过参变分离转化为求三角函数的最值，为使解题过程简捷，也需结合换元法求解． 【详解】 解法一 原不等式变形为：，即． 令，，∴，令， ∴原题转化为在上恒成立． ∴或或 解得或或，∴．即m的取值范围为． 解法二 原不等式变形为． 当时，不等式恒成立． 当时，，即． 令，则，，则． 在上单调递减，． ，∴，即m的取值范围为． 【变换角度】与等差数列相结合，通过构造函数转化成一元二次不等式恒成立问题. （2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ） A．    B．0    C．1    D．2 【思路分析】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围. 【详解】 因为，时，， 时，， 所以，，， 因为为等差数列，所以，， 从而，， 所以，即， 则当时，恒成立， ，解得或， 只有选项A符合题意， 故选：A （22-23高一下·江苏·开学考试） 1．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （23-24高一下·山东·期中） 2．已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是 . （2024高三下·全国·专题练习） 3．已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． （23-24高一上·吉林延边·期中） 4．已知函数，且.若时，恒成立，则m的取值范围为 （2024·全国·模拟预测） 5．已知函数，且的解集为． (1)求和的值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． （上海·高考真题） 6．设函数． （1）在区间上画出函数的图象； （2）设集合，．试判断集合和之间的关系，并给出证明； （3）当时，求证：在区间上，的图象位于函数图象的上方． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$