2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-动点到两定点距离和差最值--从“将军饮马”到“几何对称”

专题35 动点到两定点距离和差最值 ——从“将军饮马”到“几何对称”（一题多变） 【典例展示】 （多选）（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【思路分析】 确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断. 【精细解析】 对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD. 【题后反思】 本例以唐代诗人李颀的诗句为引子，提出所谓“将军饮马”问题．其实质是数学中“在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小；类似的问题还有在直线上求一点，使它到两定点距离之差最大”，问题的解答方法，就是利用对称知识.对称问题一般包括“中心对称”和“轴对称”两大类，这在其它曲线相关问题中也时有出现.在下面的变换题目及综合训练中应细心体会． 【追根溯源】 1．古从军（戎）行 [唐]李颀[lǐ qí] 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. 行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多. 野云万里无城郭，雨雪纷纷连大漠. 胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落. 闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车. 年年战骨埋荒外，空见葡萄（蒲桃）入汉家. 2.交河位于我国新疆吐鲁番，这首诗的背景是：一位将军从军营A处出发到B处的烽火台视察敌情，到黄昏之时，他在从烽火台返回途中，由于马渴了，他必须先到附近的交河l饮马，然后返回军营（如图所示）．为了早一点返回军营，想使由B到l再返回A的路程最短，他应当在交河的何处（C）饮马最合适？（寻找理想位置C） “将军饮马”实质涉及几何中的“点线对称”问题，从而引出动点到两定点距离和差最值．“将军饮马”在数学上是在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小；类似的问题还有在直线上求一点，使它到两定点距离之差最大． 3.对称问题一般包括“中心对称”和“轴对称”两大类，（1）“中心对称”利用的几何特征是“中点”，即设（x0，y0）为已知曲线f（x，y）＝0上任一点，其关于点（a，b）的对称点为（x，y），则从而解得而f（x0，y0）＝0，即可得到f（2a－x，2b－y）＝0. （2）“轴对称”利用的几何特征是“垂直和平分”，即设（x0，y0）为已知曲线f（x，y）＝0上任一点，其关于直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的对称点（x，y），则当然有时利用“点差法”也很奏效． 【变化角度】给出直线方程、两定点，在直线上求一点，使其到两定点距离之和（差）的最值. 1.已知直线和两点，． ①在l上求一点P，使最小； ②在l上求一点P，使最大． 2.已知，求的最小值． 【思路分析】本例是对称问题与最值问题的综合，解题的关键是运用数形结合的思想方法，即赋“数”以“形”，用“形”凸现出“数”的几何意义，使问题在“数”与“形”的结合中得以顺利解决，而利用求对称点的方法能巧妙地获得所求的结果． 【详解】1.①如图1所示，设A关于l的对称点为，则 解方程组，得，，∴．∴的方程是，与l的交点是． 故所求的点为． ②如图2所示，AB的直线方程为，代入l的方程，得直线AB与l的交点为（12，10），故所求的点P的坐标为（12，10）． （2）， 可见，m的最小值的几何意义是直线上的点到和两点的距离和的最小值． 如图3所示，设点关于直线的对称点为，则； 设l的一个方向向量为，∵，∴，即，①又的中点在直线l上，则可得，即，② 由①②解得，即的坐标为． 设直线与l交于点P，则，为直线上的点到A，B距离之和的最小值． 即m的最小值为． 【变换角度】给出直线方程和出发点，增加军营区域，确定将军饮马的最短总路程. （2023·四川德阳·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（ ） A．6    B．5    C．4    D．3 【思路分析】先求得点P关于直线x+y=2的对称点为，再由“将军饮马”问题中的最短总路程为求解. 【详解】如图所示： 设点P关于直线x+y=2的对称点为， 则 ，解得 ，即 ， 所以 ， 则“将军饮马”问题中的最短总路程为. 故选：C 【变换角度】根据直线与椭圆相交弦长及弦中点，讨论椭圆的几何性质、向量数量积和直线上点到椭圆两焦点距离之差的最大值. （多选）（2022·江苏南通·模拟预测）已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（ ） A．椭圆的离心率为    B．椭圆的短轴长为 C．    D．到的两焦点距离之差的最大值为 【思路分析】利用点差法可求得的值，可得出的值，结合离心率公式可判断A选项；将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算，结合韦达定理，可判断C选项；利用对称思想结合三点共线可判断D选项的. 【详解】令、，则， 则，则， 则，则，所以，， 所以，，则，，椭圆的标准方程为， 所以，椭圆的焦点在轴上，即， ，即，A对； 椭圆的方程为，联立， 消可得，，可得， 则，， 所以，，则，所以，椭圆的短轴长为，B错； ，C对； 椭圆的方程为，其标准方程为，， 椭圆的左焦点为，右焦点为，如下图所示： 设点关于直线的对称点为点，则，解得， 即点， 易知，则， 当且仅当点、、三点共线时，等号成立，D对. 故选：ACD． 【变换角度】由椭圆上的点、离心率确定椭圆方程，根据角的平分线求直线方程；探索椭圆上关于直线对称的两点存在性. 如图所示，已知椭圆E经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在x轴上，离心率． （1）求椭圆E的方程． （2）求的角平分线所在直线l的方程． （3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相交两点？若存在，请找出，若不存在，说明理由． 【思路分析】本题是以角平分线为背景设计的问题，其中第（2）、第（3）问都与对称相关，且各有多种解法．第（2）问可以运用角平分线的性质直接求解，也可以运用单位向量运算结合其几何意义求出直线的斜率进而得解．第（3）问可通过假设椭圈E上存在关于直线l对称的相交两点进行探究，看是否能求出或得出与题设矛盾的结果． 【详解】（1）可设椭圆，由，即，，得， ∴椭圆，将代入得，解得， ∴椭圆E的方程为． （2）解法一 由（1）知，，∴直线的方程为，即，直线的方程为． 由图可知，的角平分线所在直线的斜率为正数，设为的角平分线所在直线上的任意一点，则有． 若，得，其斜率为负，舍去． 若，得． ∴所求直线方程为． 解法二 ，， 故，可知． ∴所求直线方程为． （3）不存在，理由如下： 解法一 假设存在这样的两个不同点，， 则． 设BC的中点为，则，． 点M在直线l上，有，① 点B，C在椭圆上，有，，， 即，② 由可得，，即BC的中点为A，这显然不可能，故不存在B，C． 解法二 假设存在点，关于直线l对称，则． 可设直线BC的方程为，代入椭圆方程整理可得且，是该方程的两个根，有． 故，即BC的中点为． 又M在直线上，故，即线段BC的中点坐标为（2，3），与A点重合，矛盾，故不存在B，C． （2024·陕西西安·一模） 1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． （21-22高二上·辽宁本溪·期末） 2．唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着数学中的“将军饮马”问题．在平面直角坐标系中，军营所表示的区域为，军营附近有两条河流，，河流的方程为，河流的方程为．一位将军观望烽火之后从山脚点处出发，先到河流处饮马，再到河流处饮马，最后返回军营（只要到达军营所在区域即为返回军营），则“将军饮马”的总路程最短为 ． 3．求直线关于直线对称的直线的方程． （23-24高二上·全国·课后作业） 4．在直线上求两点P，Q，使得： (1)P到与的距离之差最大； (2)Q到与的距离之和最小． 5．已知在抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，求k的取值范围． 6．已知直线与双曲线交于A，B两点． （1）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求实数a的值． （2）是否存在这样的实数a，使A，B两点关于直线对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题35 动点到两定点距离和差最值 ——从“将军饮马”到“几何对称”（一题多变） 【典例展示】 （多选）（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【思路分析】 确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断. 【精细解析】 对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD. 【题后反思】 本例以唐代诗人李颀的诗句为引子，提出所谓“将军饮马”问题．其实质是数学中“在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小；类似的问题还有在直线上求一点，使它到两定点距离之差最大”，问题的解答方法，就是利用对称知识.对称问题一般包括“中心对称”和“轴对称”两大类，这在其它曲线相关问题中也时有出现.在下面的变换题目及综合训练中应细心体会． 【追根溯源】 1．古从军（戎）行 [唐]李颀[lǐ qí] 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. 行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多. 野云万里无城郭，雨雪纷纷连大漠. 胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落. 闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车. 年年战骨埋荒外，空见葡萄（蒲桃）入汉家. 2.交河位于我国新疆吐鲁番，这首诗的背景是：一位将军从军营A处出发到B处的烽火台视察敌情，到黄昏之时，他在从烽火台返回途中，由于马渴了，他必须先到附近的交河l饮马，然后返回军营（如图所示）．为了早一点返回军营，想使由B到l再返回A的路程最短，他应当在交河的何处（C）饮马最合适？（寻找理想位置C） “将军饮马”实质涉及几何中的“点线对称”问题，从而引出动点到两定点距离和差最值．“将军饮马”在数学上是在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小；类似的问题还有在直线上求一点，使它到两定点距离之差最大． 3.对称问题一般包括“中心对称”和“轴对称”两大类，（1）“中心对称”利用的几何特征是“中点”，即设（x0，y0）为已知曲线f（x，y）＝0上任一点，其关于点（a，b）的对称点为（x，y），则从而解得而f（x0，y0）＝0，即可得到f（2a－x，2b－y）＝0. （2）“轴对称”利用的几何特征是“垂直和平分”，即设（x0，y0）为已知曲线f（x，y）＝0上任一点，其关于直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的对称点（x，y），则当然有时利用“点差法”也很奏效． 【变化角度】给出直线方程、两定点，在直线上求一点，使其到两定点距离之和（差）的最值. 1.已知直线和两点，． ①在l上求一点P，使最小； ②在l上求一点P，使最大． 2.已知，求的最小值． 【思路分析】本例是对称问题与最值问题的综合，解题的关键是运用数形结合的思想方法，即赋“数”以“形”，用“形”凸现出“数”的几何意义，使问题在“数”与“形”的结合中得以顺利解决，而利用求对称点的方法能巧妙地获得所求的结果． 【详解】1.①如图1所示，设A关于l的对称点为，则 解方程组，得，，∴．∴的方程是，与l的交点是． 故所求的点为． ②如图2所示，AB的直线方程为，代入l的方程，得直线AB与l的交点为（12，10），故所求的点P的坐标为（12，10）． （2）， 可见，m的最小值的几何意义是直线上的点到和两点的距离和的最小值． 如图3所示，设点关于直线的对称点为，则； 设l的一个方向向量为，∵，∴，即，①又的中点在直线l上，则可得，即，② 由①②解得，即的坐标为． 设直线与l交于点P，则，为直线上的点到A，B距离之和的最小值． 即m的最小值为． 【变换角度】给出直线方程和出发点，增加军营区域，确定将军饮马的最短总路程. （2023·四川德阳·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（ ） A．6    B．5    C．4    D．3 【思路分析】先求得点P关于直线x+y=2的对称点为，再由“将军饮马”问题中的最短总路程为求解. 【详解】如图所示： 设点P关于直线x+y=2的对称点为， 则 ，解得 ，即 ， 所以 ， 则“将军饮马”问题中的最短总路程为. 故选：C 【变换角度】根据直线与椭圆相交弦长及弦中点，讨论椭圆的几何性质、向量数量积和直线上点到椭圆两焦点距离之差的最大值. （多选）（2022·江苏南通·模拟预测）已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（ ） A．椭圆的离心率为    B．椭圆的短轴长为 C．    D．到的两焦点距离之差的最大值为 【思路分析】利用点差法可求得的值，可得出的值，结合离心率公式可判断A选项；将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量数量积的坐标运算，结合韦达定理，可判断C选项；利用对称思想结合三点共线可判断D选项的. 【详解】令、，则， 则，则， 则，则，所以，， 所以，，则，，椭圆的标准方程为， 所以，椭圆的焦点在轴上，即， ，即，A对； 椭圆的方程为，联立， 消可得，，可得， 则，， 所以，，则，所以，椭圆的短轴长为，B错； ，C对； 椭圆的方程为，其标准方程为，， 椭圆的左焦点为，右焦点为，如下图所示： 设点关于直线的对称点为点，则，解得， 即点， 易知，则， 当且仅当点、、三点共线时，等号成立，D对. 故选：ACD． 【变换角度】由椭圆上的点、离心率确定椭圆方程，根据角的平分线求直线方程；探索椭圆上关于直线对称的两点存在性. 如图所示，已知椭圆E经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在x轴上，离心率． （1）求椭圆E的方程． （2）求的角平分线所在直线l的方程． （3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相交两点？若存在，请找出，若不存在，说明理由． 【思路分析】本题是以角平分线为背景设计的问题，其中第（2）、第（3）问都与对称相关，且各有多种解法．第（2）问可以运用角平分线的性质直接求解，也可以运用单位向量运算结合其几何意义求出直线的斜率进而得解．第（3）问可通过假设椭圈E上存在关于直线l对称的相交两点进行探究，看是否能求出或得出与题设矛盾的结果． 【详解】（1）可设椭圆，由，即，，得， ∴椭圆，将代入得，解得， ∴椭圆E的方程为． （2）解法一 由（1）知，，∴直线的方程为，即，直线的方程为． 由图可知，的角平分线所在直线的斜率为正数，设为的角平分线所在直线上的任意一点，则有． 若，得，其斜率为负，舍去． 若，得． ∴所求直线方程为． 解法二 ，， 故，可知． ∴所求直线方程为． （3）不存在，理由如下： 解法一 假设存在这样的两个不同点，， 则． 设BC的中点为，则，． 点M在直线l上，有，① 点B，C在椭圆上，有，，， 即，② 由可得，，即BC的中点为A，这显然不可能，故不存在B，C． 解法二 假设存在点，关于直线l对称，则． 可设直线BC的方程为，代入椭圆方程整理可得且，是该方程的两个根，有． 故，即BC的中点为． 又M在直线上，故，即线段BC的中点坐标为（2，3），与A点重合，矛盾，故不存在B，C． （2024·陕西西安·一模） 1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C （21-22高二上·辽宁本溪·期末） 2．唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着数学中的“将军饮马”问题．在平面直角坐标系中，军营所表示的区域为，军营附近有两条河流，，河流的方程为，河流的方程为．一位将军观望烽火之后从山脚点处出发，先到河流处饮马，再到河流处饮马，最后返回军营（只要到达军营所在区域即为返回军营），则“将军饮马”的总路程最短为 ． 【答案】9 【分析】利用点关于直线对称，即可求出最短路线. 【详解】 如图，过点A作河流的对称点，易得， 过点作河流的对称点， 由解得，即． 连结，交河流于点，交河流于点， 连结交圆（军营边界）于点， 则“将军饮马”的总路程最短为 ， 故答案为：9． 3．求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】法一，联立方程解出和的交点坐标，直线也过该点，在直线上取一点，求出点M关于直线l的对称点坐标，由两点式可得到直线的方程；法二，联立方程解出和的交点坐标，设直线的斜率为，由点斜式设出直线的方程，在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等，求出，即可求得直线的方程；法三，由于对称轴的斜率为，可用直接代入的方法：把，代入的方程，即可求得直线的方程. 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 解法二：由解法一得，设直线的方程为，即， 在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等， 即，解得或（舍去）． ∴的方程为． 解法三：由于对称轴的斜率为， 可用直接代入的方法：把，代入， 得，即， ∴的方程为． 【点睛】方法点睛：解法三，凡对称轴方程的斜率为，均可用代入法．如果对称轴方程的斜率不为，则不能用此法，只能用上述的解法一和解法二． （23-24高二上·全国·课后作业） 4．在直线上求两点P，Q，使得： (1)P到与的距离之差最大； (2)Q到与的距离之和最小． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 设点B关于l的对称点的坐标为，连接，可得的坐标为，结合图象可知当且仅当三点共线时，最大，联立直线l与的方程，求解即可； (2) 点C关于l的对称点为，可求得的坐标为，结合图象可得当且仅当Q，A，三点共线时，最小，联立直线与l的方程求解即可. 【详解】（1）解：如图，设点B关于l的对称点的坐标为，连接， 则，即，    所以①． 因为的中点在直线l上， 所以，即②． 由①②得， 所以点的坐标为． 于是所在直线的方程为，即． 易知||， 当且仅当三点共线时，最大． 所以联立直线l与的方程， 解得， 即l与的交点坐标为， 故点P的坐标为． （2）解：如图，设点C关于l的对称点为，可求得的坐标为，    所以所在直线的方程为． 易知，当且仅当Q，A，三点共线时，最小， 所以联立直线与l的方程，解得， 即与l的交点坐标为， 故点Q的坐标为． 5．已知在抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，求k的取值范围． 【答案】或． 【分析】解法一，设MN的方程为，联立抛物线方程可得判别式大于0，继而表示出MN中点的坐标，代入，可得，结合判别式大于0，即可得答案； 解法二，设点，，结合关于直线对称可得，结合MN的中点在l上，得出，再结合MN的中点必在抛物线包含的曲线内，可得不等式，求得答案. 【详解】解法一：由题意知，设，是曲线上关于直线l对称的两点， 则MN的方程可设为． 代入得，∴，① 设MN中点的坐标为，则，． ∵点在直线上，∴．∴,②． 将②代入①，得, ∴，即．∴或． 解法二：设点，关于直线对称． 由题意可知， 则，∴，即． 又MN的中点在l上，∴． ∵MN的中点必在抛物线的内部，∴，即， ∴，即或． 6．已知直线与双曲线交于A，B两点． （1）若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，求实数a的值． （2）是否存在这样的实数a，使A，B两点关于直线对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）将直线与双曲线联立消去y，根据题意可得，求出a的范围，设，，再根据题意可得，利用韦达定理即可求解. （2）假设存在实数a，使A，B两点关于直线对称，由直线垂直，斜率乘积等于，求出，再求出A，B两点的中点，代入直线，验证是否成立即可. 【详解】（1）由，消去y得．① 依题意，解得且．② 设，，则 ∵以线段AB为直径的圆过原点O，∴． ∴． ∵， ∴．⑤ 将③④代入⑤，得， 解得，且满足②． ∴． （2）假设存在实数a，使A，B两点关于直线对称， 则直线与垂直， ∴．∴直线AB的方程为． 将代入③得． ∴线段AB的中点横坐标为2，纵坐标为． ∵线段AB的中点不在直线上， ∴不存在实数a，使A，B两点关于直线对称． 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，此题需比较高的运算能力，属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$