2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-配方法与二次型函数最值问题

专题08 配方法与二次型函数最值问题（一题多变） 【典例展示】已知函数在区间上的最大值为1，求a的值． 【思路分析】 本例是根据函数在指定区间取得最大值的情况，求参数.由于二次项系数为参数，因此，应该首先从讨论其是否为0开始.而当其不为0时，考虑二次函数图象开口方向及单调性对最值的影响，又分和时，应用配方法求解参数的取值. 【精细解析】ⅰ．当时，． ∵函数在区间上单调递减， ∴．不符合题意，舍去． ⅱ．当时，． 若，即，． 解得，符合题意． 若，即，． 解得（舍去）． ⅲ．当时，． 若，则，与矛盾． 若，则时，． 解得（舍去）． 若，，， 解得（舍去），或． 综上可得，，或． 【题后反思】 本例主要根据含参二次函数在给定区间上的最值，求参数．需首先讨论二次项系数是否为0，以及其的符号的正负，经配方后再讨论对称轴的范围，最后结合图像来求解．当二次项系数为正，即二次函数图像开口向上时，函数在给定区间上的最大值有2种情况，可通过讨论对称轴与区间中点的位置关系而求得；要考虑最小值的话分3种情况，可对对称轴在区间的左侧、内部、右侧3种情况分类讨论求解．当二次项系数为负，即二次函数图像开口向下时的讨论亦类似，最大值分3种情况.本题的解答给解答此类问题，提供了一个“范本”，即处理“二次型”问题时应该关注的几个方面，一般的，在二次项系数正负一定的情况下，解决二次函数在区间的最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想即可解决问题．在下面的变式及训练题中，将围绕与指数函数、对数函数、三角函数、圆锥曲线等相关的“二次”问题进一步深化，注意与换元法的结合. 【追根溯源】 二次型函数通常是指可以转化为二次函数的复合函数，求这类函数的最值或根据函数的最值求参数，通常用配方法，结合复合函数的单调性、对称性加以讨论求解．配方法在高中阶段数学学习中应用广泛．如三角函数中的最值问题，解析几何中与圆锥曲线相关的最值问题以及不等式的证明中，与换元法相结合，配方法的作用至关重要． 1．配方目标的确定性 配方目标的确定性：出现平方式，但出现怎样的平方式又具有灵活性，所以配方途径又是多向的． 2．配方对象的多样性 配方对象的多样性：不排除对更高次数多项式的配方．数、字母具体的数学式、抽象的函数关系等都可以进行配方． 3．配方后必须注重问题的细节 任何一种解题方法的应用都有其适用范围，配方法也不例外，求二次型函数的最值必须把相应简单函数的性质结合起来讨论，不应盲目扩大或缩小方法的使用范围，不要忽视问题中的约束条件． 【变化角度】变含参“二次”函数为与对数的复合函数，变求参数为求对数函数式的最值. 已知且，求函数的最大值和最小值． 【思路分析】本题为求对数函数的最大值和最小值．由于可以通过对数运算转化为关于的二次型函数，可以运用配方法求解，但首先应由两个条件不等式的限制求出的取值范围，在此范围内求最值． 【详解】由，得，则，即． ∵ ， 当，即时，， 当，即时，． ∴函数的最大值为2，最小值为． 【变换角度】变含参“二次”函数为与三角函数函数的复合函数，变由函数的最值求参数为探究参数的存在性. 是否存在实数a，使得函数在上的最大值为1？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由． 【思路分析】首先应用三角函数的同角公式，将其化为关于余弦的复合二次函数，利用换元思想，可利用二次型函数在闭区间上的最值求解，对于含参数的问题要注意讨论所有可能的情况． 【详解】． ∵当时，． ∴若，即，则当时，． 解得（舍去）； 若，即，则当时，． 解得或（舍去）； 若，即，则当时，， 解得（舍去）， 综上可知，存在符合题设． 【变换角度】变含参“二次”函数求参数问题，为椭圆中线段长度比取得最值求参数，应用函数知识解答圆锥曲线中的最值求参数问题. 如图所示：椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8． （1）求椭圆M的标准方程． （2）设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值． 【思路分析】第（1）问，根据椭圆的几何性质及给定矩形的面积，列方程组，求得a，b，进而写出标准方程； 第（2）问，首先将直线方程与椭圆方程联立，经过一系列“标准化”操作，应用根与系数的关系，求得|PQ|的表达式，分，，，等四种情况讨论的最值，求出答案. 【详解】 （1）解：，∴，    ① 矩形ABCD的面积为8，即．        ② 由①②解得，，∴椭圆M的标准方程是． （2）解：． 设，． 则，， 由得． ． 当l过A点时，，当l过C点时，． ⅰ．当时，有，，． （其中）． 由此当，即，时，取得最大值． ⅱ．由对称性，可知若，则当时，取得最大值． ⅲ．当时，，． 由此知，当时，取得最大值． 综上，当和0时，取得最大值． 【变换角度】给出与指数函数、对数函数的复合函数，结合函数的奇偶性、函数的图像，利用换元思想，应用二次函数的性质求最值，达到求参数的. （23-24高一上·重庆·期末）为偶函数，. (1)求实数的值； (2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； (3)求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 【思路分析】第（1）问根据偶函数定义列方程可得解； 第（2）问，由已知，转化成恒成立，参变分离得，利用对数性质求得函数最大值； 第（3）问，化简函数为，利用换元思想，结合讨论求最值，从而得解. 【详解】（1）∵函数为偶函数， ， ， 得， 解得，即. （2）若时，函数的图像恒在图像的上方， 则恒成立， 即，即. 所以. 因为时，， 所以，得， 综上：. （3）， 所以当时， 当 时，取得最大值，当取得最小值， 所以，解得. 【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． （23-24高一上·安徽宣城·开学考试） 1．已知函数在上的最大值为4，求的值． （2008高一·全国·竞赛） 2．若，函数的最大值为0，最小值为，求与的值. （2009高一·全国·竞赛） 3．若函数的定义域为，值域为，求． （2022高一下·江苏南京·竞赛） 4．已知、为方程的两根，求的最小值. 5．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1） （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．    （23-24高一上·江西景德镇·期末） 6．已知函数，（，且）． (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 配方法与二次型函数最值问题（一题多变） 【典例展示】已知函数在区间上的最大值为1，求a的值． 【思路分析】 本例是根据函数在指定区间取得最大值的情况，求参数.由于二次项系数为参数，因此，应该首先从讨论其是否为0开始.而当其不为0时，考虑二次函数图象开口方向及单调性对最值的影响，又分和时，应用配方法求解参数的取值. 【精细解析】ⅰ．当时，． ∵函数在区间上单调递减， ∴．不符合题意，舍去． ⅱ．当时，． 若，即，． 解得，符合题意． 若，即，． 解得（舍去）． ⅲ．当时，． 若，则，与矛盾． 若，则时，． 解得（舍去）． 若，，， 解得（舍去），或． 综上可得，，或． 【题后反思】 本例主要根据含参二次函数在给定区间上的最值，求参数．需首先讨论二次项系数是否为0，以及其的符号的正负，经配方后再讨论对称轴的范围，最后结合图像来求解．当二次项系数为正，即二次函数图像开口向上时，函数在给定区间上的最大值有2种情况，可通过讨论对称轴与区间中点的位置关系而求得；要考虑最小值的话分3种情况，可对对称轴在区间的左侧、内部、右侧3种情况分类讨论求解．当二次项系数为负，即二次函数图像开口向下时的讨论亦类似，最大值分3种情况.本题的解答给解答此类问题，提供了一个“范本”，即处理“二次型”问题时应该关注的几个方面，一般的，在二次项系数正负一定的情况下，解决二次函数在区间的最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想即可解决问题．在下面的变式及训练题中，将围绕与指数函数、对数函数、三角函数、圆锥曲线等相关的“二次”问题进一步深化，注意与换元法的结合. 【追根溯源】 二次型函数通常是指可以转化为二次函数的复合函数，求这类函数的最值或根据函数的最值求参数，通常用配方法，结合复合函数的单调性、对称性加以讨论求解．配方法在高中阶段数学学习中应用广泛．如三角函数中的最值问题，解析几何中与圆锥曲线相关的最值问题以及不等式的证明中，与换元法相结合，配方法的作用至关重要． 1．配方目标的确定性 配方目标的确定性：出现平方式，但出现怎样的平方式又具有灵活性，所以配方途径又是多向的． 2．配方对象的多样性 配方对象的多样性：不排除对更高次数多项式的配方．数、字母具体的数学式、抽象的函数关系等都可以进行配方． 3．配方后必须注重问题的细节 任何一种解题方法的应用都有其适用范围，配方法也不例外，求二次型函数的最值必须把相应简单函数的性质结合起来讨论，不应盲目扩大或缩小方法的使用范围，不要忽视问题中的约束条件． 【变化角度】变含参“二次”函数为与对数的复合函数，变求参数为求对数函数式的最值. 已知且，求函数的最大值和最小值． 【思路分析】本题为求对数函数的最大值和最小值．由于可以通过对数运算转化为关于的二次型函数，可以运用配方法求解，但首先应由两个条件不等式的限制求出的取值范围，在此范围内求最值． 【详解】由，得，则，即． ∵ ， 当，即时，， 当，即时，． ∴函数的最大值为2，最小值为． 【变换角度】变含参“二次”函数为与三角函数函数的复合函数，变由函数的最值求参数为探究参数的存在性. 是否存在实数a，使得函数在上的最大值为1？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由． 【思路分析】首先应用三角函数的同角公式，将其化为关于余弦的复合二次函数，利用换元思想，可利用二次型函数在闭区间上的最值求解，对于含参数的问题要注意讨论所有可能的情况． 【详解】． ∵当时，． ∴若，即，则当时，． 解得（舍去）； 若，即，则当时，． 解得或（舍去）； 若，即，则当时，， 解得（舍去）， 综上可知，存在符合题设． 【变换角度】变含参“二次”函数求参数问题，为椭圆中线段长度比取得最值求参数，应用函数知识解答圆锥曲线中的最值求参数问题. 如图所示：椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8． （1）求椭圆M的标准方程． （2）设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值． 【思路分析】第（1）问，根据椭圆的几何性质及给定矩形的面积，列方程组，求得a，b，进而写出标准方程； 第（2）问，首先将直线方程与椭圆方程联立，经过一系列“标准化”操作，应用根与系数的关系，求得|PQ|的表达式，分，，，等四种情况讨论的最值，求出答案. 【详解】 （1）解：，∴，    ① 矩形ABCD的面积为8，即．        ② 由①②解得，，∴椭圆M的标准方程是． （2）解：． 设，． 则，， 由得． ． 当l过A点时，，当l过C点时，． ⅰ．当时，有，，． （其中）． 由此当，即，时，取得最大值． ⅱ．由对称性，可知若，则当时，取得最大值． ⅲ．当时，，． 由此知，当时，取得最大值． 综上，当和0时，取得最大值． 【变换角度】给出与指数函数、对数函数的复合函数，结合函数的奇偶性、函数的图像，利用换元思想，应用二次函数的性质求最值，达到求参数的. （23-24高一上·重庆·期末）为偶函数，. (1)求实数的值； (2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； (3)求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 【思路分析】第（1）问根据偶函数定义列方程可得解； 第（2）问，由已知，转化成恒成立，参变分离得，利用对数性质求得函数最大值； 第（3）问，化简函数为，利用换元思想，结合讨论求最值，从而得解. 【详解】（1）∵函数为偶函数， ， ， 得， 解得，即. （2）若时，函数的图像恒在图像的上方， 则恒成立， 即，即. 所以. 因为时，， 所以，得， 综上：. （3）， 所以当时， 当 时，取得最大值，当取得最小值， 所以，解得. 【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． （23-24高一上·安徽宣城·开学考试） 1．已知函数在上的最大值为4，求的值． 【答案】或. 【分析】先求得其对称轴为，讨论对称轴和区间中点值的大小关系，求得其最大值，由最大值为，可求得的值． 【详解】函数的图象为对称轴为，开口向上的抛物线， 当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故， 当时，即时，此时离对称轴更远， 所以当时有最大值，最大值为， 由已知，故， 所以或. （2008高一·全国·竞赛） 2．若，函数的最大值为0，最小值为，求与的值. 【答案】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系将函数化简为关于的二次函数，然后根据三角函数和二次函数的性质分类讨论，进而得出结果. 【详解】， 令，则， ，按对称轴的位置分类讨论： 当，即时， 时，取得最大值；时，取得最小值. 解得：或（舍去）， 当，即时，时，取得最大值；时，取得最小值. 解得：，与矛盾，舍去. 综上，满足要求. （2009高一·全国·竞赛） 3．若函数的定义域为，值域为，求． 【答案】或 【分析】三角换元之后由辅助角公式得到的取值范围，由同角三角函数关系得到，再结合二次函数的单调性求出 【详解】令，，则，， 则， ， 当时，由已知有 当时，由已知有 当时，不合题意． 综上所得：或. （2022高一下·江苏南京·竞赛） 4．已知、为方程的两根，求的最小值. 【答案】9 【分析】利用一元二次方程的概念及性质可求出，从而可代入，再利用二次函数的最值即可求得结论. 【详解】 、为方程的两根， 则， ， 当时，取到最小值， 故，即最小值为9. 5．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1） （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．    【答案】（1）x2=4y （2）当t=﹣时，|MN|的最小值是 【详解】（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1 由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4 由解得点M的横坐标为xM===， 同理可得点N的横坐标为xN= 所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||= 令4k﹣3=t，t不为0，则k= 当t＞0时，|MN|=2＞2 当t＜0时，|MN|=2=2≥ 综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是 （23-24高一上·江西景德镇·期末） 6．已知函数，（，且）． (1)当时，求函数的单调区间； (2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)存在，或 【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性即可求解； （2）先令，并求值域，再分别对进行分类求的最大值，进而求的值. 【详解】（1）由题意可得，即函数的定义域为. 当时，， 令，则，易知函数在上单调递增. 函数图象的对称轴为直线， 当，函数在上递增，在上递减． 所以，由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），（，且）. 令，由，得， 则的值域为. （ⅰ）时，在上单调递减， 所以函数在上的最大值为， 则，，满足题意. （ⅱ）时，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为， 则，满足题意． 综上所述：的值为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$