2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-用导数研究函数的极值（最值）

专题14 用导数研究函数的极值（最值）（一题多变） 【典例展示】（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【思路分析】思路一：转化法，零点的问题转为函数图象的交点.依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.思路二：构造新函数，二次求导.依题可知，设函数，再次求导数，分类讨论. 【精细解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则g， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则g在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【题后反思】 本例是根据函数的极值点求参数范围，其中方法一，根据题意，转化成利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，避免了繁琐计算，是该题的最优解；方法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出a的范围，属于通性通法．作为该题的两种解法，都涉及到了“构造函数”，值得注意.另外，某些“恒成立”问题，也可以转化成最值问题求解. 应用导数研究函数的极值、最值问题，是高考命题的热点，常见题型包括： （1）求极值点、最值点； （2）求极值、最值； （3）根据极值点、最值点求参数范围； （4）根据极值、最值求参数范围； （5）极值点、最值点的辨析. （6）函数的优化问题即实际问题中的最值问题. 【追根溯源】 1．求可导函数极值的步骤 （1）第一步，求导数． （2）第二步，求方程的所有实数根． （3）第三步，考察每个根．附近，从左到右，若导函数的符号由正变负，则是极大值；若导函数的符号由负变正，则是极小值，若在的根的左、右侧，的符号不变，则不是极值，所以，可导函数在点处取得极值的充要条件是是的变号零点． 2．函数的最大值与最小值 （1）设是定义在区间上的函数，且在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分两步进行． 第一步，求在内的极值； 第二步，将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． （2）若函数在上是单调增函数，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上是单调减函数，则为函数的最大值，为函数的最小值． 3．极值与最值的关系 极值只是对某点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考查问题的整体而言． 4.利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．有些不易分参的也可采用“同构”技巧． 5.解决恒成立、能成立问题的基本策略：分离变量，①构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．②转化策略：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max ；a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min；a≥f (x)能成立⇔a≥f (x)min；a≤f (x)能成立⇔a≤f (x)max. 【变化角度】根据含参数函数的极值点，确定参数的大小关系. （2021·全国·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【变换角度】根据函数极值点的存在性，确定参数不等关系. （2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A．    B．    C．    D． 【思路分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 【变换角度】与导数的几何意义相结合，根据函数极值点情况求参数范围. （2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【思路分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）思路一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；思路二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 【变换角度】研究函数的单调性并求极值，探索参数是否存在，使函数取得最小值. （21-22高三上·四川眉山·阶段练习）已知，，，其中e是自然对数的底数，． (1)讨论当a=1时，函数的单调性和极值； (2)求证：在（1）的条件下； (3)是否存在正实数a，使的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【思路分析】（1）利用导数讨论得到函数的单调性，求出极值； （2）先求出在上的最小值为1，再利用导数求，，即证； （3）假设存在实数a，使有最小值3.对a进行分类讨论：①当时，②当时，分别求出最小值，解方程进行验证. 【详解】（1）∵当a=1时，，∴． ∴当时，；当时，时. ∴在区间单调递减，在区间单调递增， ∴的极小值为，无极大值． （2）∵的极小值为1， ∴在区间上的最小值为1，即． 又，∴当时，，在区间上单调递增． ∴，∴ ， ∴在（1）的条件下，． （3）假设存在正实数a，使有最小值3， 则． ①当时，即，由，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，满足条件； ②当时，即，，在区间上单调递减，，（舍去）． 综上，存在实数使得当时，有最小值3 【点睛】方法点睛 （1）求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式求解，其判定方法为：设函数在某个区间内可导，如果，则在该区间内单调递增；如果，则在该区间内单调递减． （2）利用导数证明不等式通常转化为最值问题. （2024·云南·模拟预测） 1．已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．-1 【答案】C 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切，求得上的一点的切线方程为，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切， 又由，可得，则， 可得在点的切线为，即， 令，所以， 令，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． （23-24高二下·湖北荆州·阶段练习） 2．若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】变形不等式得到，设，求导得到函数单调性，得到，令，则求导得到函数单调性和极值最值情况，求出，设，求导得到单调性，并求出，，所以，得到答案. 【详解】不等式，即， 所以．设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以． 令，则． 当时，，单调递增，则， 故满足条件； 当时，在单调递减；在单调递增，则； 设，则，则在上单调递减， 又，所以， 所以，所以的最大值为． 故选：D （2024·上海·三模） 3．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. （2024·四川南充·模拟预测） 4．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，函数与函数有相同的最大值，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】（1）求导，对进行分类讨论，即可. （2）先对求导，分析单调性，求出最大值，与的最大值建立等量关系，求出即可 【详解】（1）解           ①当时，当 时， 单调递增；当 时，单调递减. ②当时，在单调递增.             . 综上所述，当时，在单调递增，在单调递减. 当时，在单调递增. （2）由（1）得当时，当 时，取得最大值，   ,易知单调递减 ，令，， 当时， 0，单调递增; 当时，单调递减，所以，当时，取得最大值 依题意，有，所以 令 则           由的单调性可知，当时，在时取得最大值0，即,从而可得 因此在上单调递减，又, 所以，. （2023·北京·高考真题） 5．设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. （2023·全国·高考真题） 6．（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解（2） 【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【点睛】关键点睛： 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 用导数研究函数的极值（最值）（一题多变） 【典例展示】（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【思路分析】思路一：转化法，零点的问题转为函数图象的交点.依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.思路二：构造新函数，二次求导.依题可知，设函数，再次求导数，分类讨论. 【精细解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则g， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则g在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【题后反思】 本例是根据函数的极值点求参数范围，其中方法一，根据题意，转化成利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，避免了繁琐计算，是该题的最优解；方法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出a的范围，属于通性通法．作为该题的两种解法，都涉及到了“构造函数”，值得注意.另外，某些“恒成立”问题，也可以转化成最值问题求解. 应用导数研究函数的极值、最值问题，是高考命题的热点，常见题型包括： （1）求极值点、最值点； （2）求极值、最值； （3）根据极值点、最值点求参数范围； （4）根据极值、最值求参数范围； （5）极值点、最值点的辨析. （6）函数的优化问题即实际问题中的最值问题. 【追根溯源】 1．求可导函数极值的步骤 （1）第一步，求导数． （2）第二步，求方程的所有实数根． （3）第三步，考察每个根．附近，从左到右，若导函数的符号由正变负，则是极大值；若导函数的符号由负变正，则是极小值，若在的根的左、右侧，的符号不变，则不是极值，所以，可导函数在点处取得极值的充要条件是是的变号零点． 2．函数的最大值与最小值 （1）设是定义在区间上的函数，且在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分两步进行． 第一步，求在内的极值； 第二步，将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． （2）若函数在上是单调增函数，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上是单调减函数，则为函数的最大值，为函数的最小值． 3．极值与最值的关系 极值只是对某点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考查问题的整体而言． 4.利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．有些不易分参的也可采用“同构”技巧． 5.解决恒成立、能成立问题的基本策略：分离变量，①构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．②转化策略：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max ；a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min；a≥f (x)能成立⇔a≥f (x)min；a≤f (x)能成立⇔a≤f (x)max. 【变化角度】根据含参数函数的极值点，确定参数的大小关系. （2021·全国·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【变换角度】根据函数极值点的存在性，确定参数不等关系. （2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A．    B．    C．    D． 【思路分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 【变换角度】与导数的几何意义相结合，根据函数极值点情况求参数范围. （2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【思路分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）思路一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；思路二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 【变换角度】研究函数的单调性并求极值，探索参数是否存在，使函数取得最小值. （21-22高三上·四川眉山·阶段练习）已知，，，其中e是自然对数的底数，． (1)讨论当a=1时，函数的单调性和极值； (2)求证：在（1）的条件下； (3)是否存在正实数a，使的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【思路分析】（1）利用导数讨论得到函数的单调性，求出极值； （2）先求出在上的最小值为1，再利用导数求，，即证； （3）假设存在实数a，使有最小值3.对a进行分类讨论：①当时，②当时，分别求出最小值，解方程进行验证. 【详解】（1）∵当a=1时，，∴． ∴当时，；当时，时. ∴在区间单调递减，在区间单调递增， ∴的极小值为，无极大值． （2）∵的极小值为1， ∴在区间上的最小值为1，即． 又，∴当时，，在区间上单调递增． ∴，∴ ， ∴在（1）的条件下，． （3）假设存在正实数a，使有最小值3， 则． ①当时，即，由，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，满足条件； ②当时，即，，在区间上单调递减，，（舍去）． 综上，存在实数使得当时，有最小值3 【点睛】方法点睛 （1）求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式求解，其判定方法为：设函数在某个区间内可导，如果，则在该区间内单调递增；如果，则在该区间内单调递减． （2）利用导数证明不等式通常转化为最值问题. （2024·云南·模拟预测） 1．已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．-1 （23-24高二下·湖北荆州·阶段练习） 2．若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． （2024·上海·三模） 3．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． （2024·四川南充·模拟预测） 4．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，函数与函数有相同的最大值，求的值. （2023·北京·高考真题） 5．设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． （2023·全国·高考真题） 6．（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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