2026届高三数学一轮复习之一题多变系列讲义-用函数观点处理等差数列问题

专题21 用函数观点处理等差数列问题（一题多变） 【典例展示】设等差数列的前n项和为，已知，且，． （1）求公差d的范围． （2）该数列前几项的和最大？说明理由． 【思路分析】第（1）小题，解法实质是解一个不等式组 第（2）小题，是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题，这是等差数列考查中的一种常见题型． 思路一：，，可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n是取得最大值的n．特别提醒：若对称轴为，则与同时取得最大值． 思路二：由解出n的范围，从而确定此范围中的自然数n． 思路三：设法确定前n项为正，或者是否有零项，可知所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大． 【精细解析】（1）根据题意，有，整理得解之得． （2）解法—：由可知为一个递减数列．因此，在1≤n≤12中，必存在一个自然数n，使得，，此时对应的就是，，…，中的最大项． 由于于是，从而，因此，最大，该数列前6项的和最大． 解法二：由（1）知是递减数列．解关于n的不等式组： 得由，可得 ∴．故n=6，即最大，该数列前6项的和最大． 解法三：利用前n项和公式，得 ． ∵，∴当最小时，最大．由于，则． ∴当n=6时，最小，因此最大，该数列前6项的和最大． 【题后反思】 1．本例两道小题分别是求公差的范围、研究等差数列的前n项和最大值问题，解答过程均体现了函数方程思想，特别是第（2）小题所提供的三种解法，解法1、2均利用“函数（数列）”的单调性，明确了数列正、负项分界点，得出数列前几项和最大的结论．解法3则利用等差数列前n项和的二次函数特性，利用二次函数的图像和性质，达到解题目的，事实上，像这类问题，结合二次函数的图像和性质也是常用方法． 一般地，等差数列前n项和公式，当，时，有最大值，当，时，有最小值． 2．从以往的高考命题看，等差数列的考查方向主要有： （1）等差数列的基本运算（知三求二型，与数学文化相关） （2）等差数列的判定与证明． （3）等差数列性质在解题中的应用． （4）等差数列前n项和的最值． （5）与等比数列综合考查． 在解答过程中，除注意准确应用公式、精确计算外，还要注意充分利用等差数列的“函数特性”，运用函数观点予以处理． 【追根溯源】 1．等差数列的概念 （1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋)． （2）等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项． 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：an＝a1＋(n－1)d． 该式又可以写成an＝nd＋(a1－d)，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数． （2）前n项和公式：Sn＝＝na1＋d． 该式又可以写成Sn＝n2＋n，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下． 3．等差数列的性质 （1）与项有关的性质 ①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝． ②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． ③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列． ④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2． ⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md． （2）与和有关的性质 ①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． ②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和． 若等差数列的项数为2n(n∈N*)， 则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，(S奇≠0)； 若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)， S奇－S偶＝an， (S奇≠0)． ③{an}为等差数列⇒为等差数列． ④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为 (bn≠0，T2n－1≠0)． 4．常用结论与知识拓展 （1）若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列． （2）等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关． ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值． ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． ③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值； 若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值． {an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)． 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列． （3）等差数列与函数： ①把等差数列的通项公式改写为，并且与相对照，可以明显地看出通项公式所具备的一次函数特性，其图像是直线上一些孤立的点，这条直线的斜率为（可由，两式相减得到）． ②等差数列前n项和公式可变形为，当时，是n的二次函数且常数项为零，此时，又有，因此也构成一个等差数列． 【变化角度】利用等差数列前n项和的“函数特性”，借助二次函数的图像和性质求解． 在数列中，，． （1）求数列的前n项和． （2）求使数列是递增数列的n的取值范围． 【思路分析】（1）由已知得数列的首项、公差，应用前n项求和公式计算可得． （2）对应的函数为，应用二次函数的图像和性质即可得解． 【详解】（1）解：∵，∴，∴数列是等差数列，公差， 又∵，∴数列前n项和，即． （2）解：对应的函数为，它的图像是抛物线，开口方向向上，对称轴为． 当时，函数是增函数．∵，且，∴． 综上，使函数是递增数列的n的取值范围是． 【变换角度】变为由等差数列的某些项的和，求其它多项的和，多角度展示此类问题的解法． 在等差数列中，已知，，求． 【思路分析】一个数学问题可以从不同的视角进行分析，本题可以套用公式，列方程，用解方程组的“通性通法”求解；可以由公差不为0的等差数列前n项和这个公式，结合二次函数的性质求解；可以创造一个“和数列”，即将等差数列的每10项分成一组，每组的和作为一项构造新数列：，，，…，．该数列仍然是一个等差数列，以此求解．可以根据等差数列的性质，即m，n，p，，且，则进行整体代换求解．还可以构造这一关于n的一次函数，利用点共线求解． 【详解】解法一：设数列的公差为，则解得，． ∴． 解法二：设，则 解得，．∴． 从而． 解法三：将数列依照原有的顺序每10项分为一组，每组的和作为一项构造新数列，，，…，，这个数列是一个首项为，第10项为的等差数列． 设新数列的公差为，则该数列的前10项和等于． ∴，解得． 于是前11项和． 解法四：，∴，又由， ∴． 解法五：∵，∴形式上是关于n的一次函数， ∴点、、共线，则，解得． 【变换角度】在数列的递推关系下，求数列的通项公式、求和，探究不等式恒成立的参数范围． 已知数列，满足，，． （1）求、、、． （2）求数列的通项公式． （3）求，则实数a为何值时，恒成立． 【思路分析】第（1）小题，利用代入法，先求出的递推关系；第（2）小题两种思路，数列一应用构造法构造新的特殊数列；思路二，应用特征根法，得到是首项为，公差为-1的等差数列，即可得解；第（3）小题，首先利用“裂项相消法”求和Sn，化简，讨论恒成立的条件．运用函数观点、应用函数的性质，运用分类讨论的思想方法求解． 本题构思新颖，解法巧妙，且涉及归纳构造、参数分离、裂项求和等多种数学思想方法．不论在知识点的落实还是解题技巧上都值得借鉴． 【详解】（1）以代入，得． ∵，，∴，，． （2）解法一：∵，，，∴． 化简得，而，易得，从而． 解法二：∵，∴其特征方程是． 易得特征根是，∴． ∴是首项为，公差为-1的等差数列，从而得到． （3）， ． ∴． 由条件可知，恒成立，即可满足条件． 设，当时，恒成立． 当时，由二次函数的性质知上述不等式不可能成立； 当时，对称轴，在上为单调减函数． ，∴，而．∴当时不等式恒成立，综上所述，时，恒成立． 【变换角度】根据Sn与an的关系判断等差数列，与等比数列相结合，求等差数列前n项和的最值． 记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1． （1）证明：{an}是等差数列； （2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 【思路分析】 （1）根据＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2nan＋n①，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，①－②整理得an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，可得证； （2）根据（1）的结果及a4，a7，a9成等比数列，可确定数列的通项公式，进一步求和讨论即可． 【详解】（1）证明：因为＋n＝2an＋1，即2Sn＋n2＝2nan＋n①，当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)，即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1，即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，所以{an}是以1为公差的等差数列． （2）由（1）可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，又a4，a7，a9成等比数列，所以＝a4·a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)·(a1＋8)，解得a1＝－12，所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝（n－）2－，所以，当n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78． （2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学） 1．数列满足，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由知为等差数列，即可求出，再代入知，再利用裂项相消求出，解不等式，即可得出答案． 【详解】因为， 由等差中项的概念可知为等差数列， 又其公差为，， 所以， 代入得 解得即n的最小值为13 故选:C （2023·广西玉林·校联考模拟预测 2．设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．当时有最大值 D．设，则当或时数列的前n项和取最大值 【答案】BD 【分析】根据等差数列的定义求出通项公式判断A，求出，然后利用等差数列定义判断B，结合二次函数求等差数列前n项和的最大值判断C，根据的符号判定前n项和的最值判断D. 【详解】对于A，由知数列为等差数列，公差为，首项为， 所以该数列的通项公式为，错误； 对于B，因为，所以， 则当时，，故数列为等差数列，正确； 对于C，，故当时，有最大值，错误； 对于D，令得，令得， 则当或时，， 当时，，当时，，当时，， 又，， 所以或时，数列的前n项和取最大值，正确. 故选：BD （2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习） 3．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 【答案】BCD 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；A：代入的通项公式检验即可；B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以，， 对于A：，故错误； 对于B：， 由二次函数的性质可知，故正确； 对于C：令，解得，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，故正确； 故选：BCD. （2023上·安徽·高三校联考） 4．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是递增数列 C．数列的最小项为和 D．满足的最大正整数 【答案】ABD 【分析】先根据求出，即可判断选项A、B；再利用二次函数性质可判断选项C；最后根据解不等式即可判断选项D. 【详解】 当时，； 当时，； . 数列是递增数列，故选项A、B正确； ， 当或时最小，即数列的最小项为和，故选项C错误， 令，得，，即满足的最大正整数，故选项D正确. 故选：ABD （2024·全国·模拟预测） 5．已知数列满足，若对恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先由条件得到，再将问题转化为或，从而得解. 【详解】法一： 由，得，两式相减得， 则数列，都是以2为公差的单调递增数列. 要使对恒成立，只需， 而，，则，解得. 法二： 由，得，两式相减得， 又，则，， 要使对恒成立，即， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将恒成立，转化为或，从而得解. 6．等差数列的首项，设其前项和为，且，则当为何值时，有最大值？ 【答案】当或时，最大． 【分析】根据已知条件利用等差数列前项和公式求出和的关系，再利用公差表示，将看成关于的二次函数，利用二次函数的性质结合即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由得 ，整理可得：，所以 ， 为关于的二次函数，开口向下的抛物线，对称轴为， 因为，所以或时，有最大值. 【点睛】结论点睛：等差数列的前项和为关于的二次函数不含常数项，在离对称轴最近的整数位置取得最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 用函数观点处理等差数列问题（一题多变） 【典例展示】设等差数列的前n项和为，已知，且，． （1）求公差d的范围． （2）该数列前几项的和最大？说明理由． 【思路分析】第（1）小题，解法实质是解一个不等式组 第（2）小题，是探究数列最大项问题或多少项的和最大问题，这是等差数列考查中的一种常见题型． 思路一：，，可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n是取得最大值的n．特别提醒：若对称轴为，则与同时取得最大值． 思路二：由解出n的范围，从而确定此范围中的自然数n． 思路三：设法确定前n项为正，或者是否有零项，可知所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大． 【精细解析】（1）根据题意，有，整理得解之得． （2）解法—：由可知为一个递减数列．因此，在1≤n≤12中，必存在一个自然数n，使得，，此时对应的就是，，…，中的最大项． 由于于是，从而，因此，最大，该数列前6项的和最大． 解法二：由（1）知是递减数列．解关于n的不等式组： 得由，可得 ∴．故n=6，即最大，该数列前6项的和最大． 解法三：利用前n项和公式，得 ． ∵，∴当最小时，最大．由于，则． ∴当n=6时，最小，因此最大，该数列前6项的和最大． 【题后反思】 1．本例两道小题分别是求公差的范围、研究等差数列的前n项和最大值问题，解答过程均体现了函数方程思想，特别是第（2）小题所提供的三种解法，解法1、2均利用“函数（数列）”的单调性，明确了数列正、负项分界点，得出数列前几项和最大的结论．解法3则利用等差数列前n项和的二次函数特性，利用二次函数的图像和性质，达到解题目的，事实上，像这类问题，结合二次函数的图像和性质也是常用方法． 一般地，等差数列前n项和公式，当，时，有最大值，当，时，有最小值． 2．从以往的高考命题看，等差数列的考查方向主要有： （1）等差数列的基本运算（知三求二型，与数学文化相关） （2）等差数列的判定与证明． （3）等差数列性质在解题中的应用． （4）等差数列前n项和的最值． （5）与等比数列综合考查． 在解答过程中，除注意准确应用公式、精确计算外，还要注意充分利用等差数列的“函数特性”，运用函数观点予以处理． 【追根溯源】 1．等差数列的概念 （1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋)． （2）等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项． 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：an＝a1＋(n－1)d． 该式又可以写成an＝nd＋(a1－d)，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数． （2）前n项和公式：Sn＝＝na1＋d． 该式又可以写成Sn＝n2＋n，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下． 3．等差数列的性质 （1）与项有关的性质 ①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝． ②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． ③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列． ④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2． ⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md． （2）与和有关的性质 ①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． ②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和． 若等差数列的项数为2n(n∈N*)， 则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，(S奇≠0)； 若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)， S奇－S偶＝an， (S奇≠0)． ③{an}为等差数列⇒为等差数列． ④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为 (bn≠0，T2n－1≠0)． 4．常用结论与知识拓展 （1）若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列． （2）等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关． ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值． ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． ③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值； 若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值． {an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)． 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列． （3）等差数列与函数： ①把等差数列的通项公式改写为，并且与相对照，可以明显地看出通项公式所具备的一次函数特性，其图像是直线上一些孤立的点，这条直线的斜率为（可由，两式相减得到）． ②等差数列前n项和公式可变形为，当时，是n的二次函数且常数项为零，此时，又有，因此也构成一个等差数列． 【变化角度】利用等差数列前n项和的“函数特性”，借助二次函数的图像和性质求解． 在数列中，，． （1）求数列的前n项和． （2）求使数列是递增数列的n的取值范围． 【思路分析】（1）由已知得数列的首项、公差，应用前n项求和公式计算可得． （2）对应的函数为，应用二次函数的图像和性质即可得解． 【详解】（1）解：∵，∴，∴数列是等差数列，公差， 又∵，∴数列前n项和，即． （2）解：对应的函数为，它的图像是抛物线，开口方向向上，对称轴为． 当时，函数是增函数．∵，且，∴． 综上，使函数是递增数列的n的取值范围是． 【变换角度】变为由等差数列的某些项的和，求其它多项的和，多角度展示此类问题的解法． 在等差数列中，已知，，求． 【思路分析】一个数学问题可以从不同的视角进行分析，本题可以套用公式，列方程，用解方程组的“通性通法”求解；可以由公差不为0的等差数列前n项和这个公式，结合二次函数的性质求解；可以创造一个“和数列”，即将等差数列的每10项分成一组，每组的和作为一项构造新数列：，，，…，．该数列仍然是一个等差数列，以此求解．可以根据等差数列的性质，即m，n，p，，且，则进行整体代换求解．还可以构造这一关于n的一次函数，利用点共线求解． 【详解】解法一：设数列的公差为，则解得，． ∴． 解法二：设，则 解得，．∴． 从而． 解法三：将数列依照原有的顺序每10项分为一组，每组的和作为一项构造新数列，，，…，，这个数列是一个首项为，第10项为的等差数列． 设新数列的公差为，则该数列的前10项和等于． ∴，解得． 于是前11项和． 解法四：，∴，又由， ∴． 解法五：∵，∴形式上是关于n的一次函数， ∴点、、共线，则，解得． 【变换角度】在数列的递推关系下，求数列的通项公式、求和，探究不等式恒成立的参数范围． 已知数列，满足，，． （1）求、、、． （2）求数列的通项公式． （3）求，则实数a为何值时，恒成立． 【思路分析】第（1）小题，利用代入法，先求出的递推关系；第（2）小题两种思路，数列一应用构造法构造新的特殊数列；思路二，应用特征根法，得到是首项为，公差为-1的等差数列，即可得解；第（3）小题，首先利用“裂项相消法”求和Sn，化简，讨论恒成立的条件．运用函数观点、应用函数的性质，运用分类讨论的思想方法求解． 本题构思新颖，解法巧妙，且涉及归纳构造、参数分离、裂项求和等多种数学思想方法．不论在知识点的落实还是解题技巧上都值得借鉴． 【详解】（1）以代入，得． ∵，，∴，，． （2）解法一：∵，，，∴． 化简得，而，易得，从而． 解法二：∵，∴其特征方程是． 易得特征根是，∴． ∴是首项为，公差为-1的等差数列，从而得到． （3）， ． ∴． 由条件可知，恒成立，即可满足条件． 设，当时，恒成立． 当时，由二次函数的性质知上述不等式不可能成立； 当时，对称轴，在上为单调减函数． ，∴，而．∴当时不等式恒成立，综上所述，时，恒成立． 【变换角度】根据Sn与an的关系判断等差数列，与等比数列相结合，求等差数列前n项和的最值． 记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1． （1）证明：{an}是等差数列； （2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 【思路分析】 （1）根据＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2nan＋n①，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，①－②整理得an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，可得证； （2）根据（1）的结果及a4，a7，a9成等比数列，可确定数列的通项公式，进一步求和讨论即可． 【详解】（1）证明：因为＋n＝2an＋1，即2Sn＋n2＝2nan＋n①，当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)，即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1，即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，所以{an}是以1为公差的等差数列． （2）由（1）可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，又a4，a7，a9成等比数列，所以＝a4·a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)·(a1＋8)，解得a1＝－12，所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝（n－）2－，所以，当n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78． （2023上·四川内江·高三四川省内江市第二中学） 1．数列满足，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 （2023·广西玉林·校联考模拟预测 2．设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．当时有最大值 D．设，则当或时数列的前n项和取最大值 （2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习） 3．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 （2023上·安徽·高三校联考） 4．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是递增数列 C．数列的最小项为和 D．满足的最大正整数 （2024·全国·模拟预测） 5．已知数列满足，若对恒成立，则的取值范围为 . 6．等差数列的首项，设其前项和为，且，则当为何值时，有最大值？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$